নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: সংখ্যা পদ্ধতিতে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান:
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট (Set of Natural Numbers)
গণনাকারী সংখ্যাগুলোকে (counting numbers) স্বাভাবিক সংখ্যা বলা হয়। 1, 2, 3, 4, ইত্যাদিকে স্বাভাবিক সংখ্যা হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোই প্রথম আবিষ্কৃত হয় এবং গণনার জন্য এক সময় শুধু এগুলোই ব্যবহার করা হতো। সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অতএব, N = {1, 2, 3, 4, 5, ........ }

পূর্ণ সংখ্যার সেট (Set of Integers)
শূন্যসহ ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক সকল অখন্ড সংখ্যাই পূর্ণ সংখ্যার আওতাভুক্ত। স্বাভাবিক সংখ্যা, স্বাভাবিক সংখ্যার ঋণাত্মক এবং শূন্য মিলে যে সংখ্যা গঠিত হয় তাকে পূর্ণ সংখ্যার সেট বলে ।
যেমন, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যার উদাহরণ ।
সকল পূর্ণ সংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
অতএব, Z = {.............., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ..............}
স্বাভাবিক সংখ্যা এবং পূর্ণ সংখ্যার বর্ণনা থেকে আমরা পাই, Z এর মধ্যে N এর সকল সদস্য অন্তর্ভুক্ত আছে। অতএব, N হল Z এর উপসেট অর্থাৎ N ⊂ Z.

মূলদ সংখ্যার সেট (Set of Rational Numbers)
যে সমস্ত সংখ্যা দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ যে সংখ্যাকে a/b( এখানে a ও b পূর্ণ সংখ্যা এবং b ≠ 0) আকারে প্রকাশ করা যায় ঐ সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
যেমন, 10/24, 2/3, - 4/3 ইত্যাদি মূলদ সংখ্যার উদাহরণ।
উল্লেখ্য, যদি b = 1 হয় তাহলে প্রত্যেক পূর্ণ সংখ্যাই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ 10 = 10/1, - 3 = - 3/1 ইত্যাদি।
অতএব, সকল পূর্ণ সংখ্যা মূলদ সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত। মূলদ সংখ্যার সেটকে Q দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অতএব, Q = {x ; x = a/b যেখানে a, b ∈ Z এবং b ≠ 0}
এক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যার সেট Z হল মূলদ সংখ্যার সেট Q এর উপসেট। অতএব, Z ⊂ Q
পূর্বের আলোচনায় আমরা পেয়েছি, N ⊂ Z এবং এক্ষেত্রে Z ⊂ Q সুতরাং N ⊂ Z ⊂ Q.

বাস্তব সংখ্যার সেট (Set of real numbers)
সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে একত্রে বাস্তব সংখ্যা বলে। অর্থাৎ Q ∪ Q‘ হল বাস্তব সংখ্যার সেট। বাস্তব সংখ্যার সেটকে R দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অতএব, R = Q ∪ Q। মূলদ সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যার বর্ণনা থেকে আমরা পাই মূলদ সংখ্যার সেট হল বাস্তব সংখ্যার সেটের উপসেট অর্থাৎ Q ⊂ R.
অতএব, N ⊂ Z ⊂ Q  এবং Q ⊂ R থেকে পাই,
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
বাস্তব সংখ্যার সেট R এর উপসেটগুলো নিম্নরূপ :
(ক) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N
(খ) পূর্ণ সংখ্যার সেট Z
(গ) মূলদ সংখ্যার সেট Q
(ঘ) অমূলদ সংখা সেট Q‘

প্রশ্ন: ২, ৩, ৫, ২, ৮, ৫, ৯, ৫, ১০ উপাত্তগুলোর প্রচুরক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্তগুলোয় ৫ সবচেয়ে বেশীবার রয়েছে।

তাই, উপাত্তগুলোর প্রচুরক হবে ৫। 

প্রশ্ন: 52 খানা তাসের মধ্য হতে 1টি তাস দৈবভাবে উঠানো হলে, তাসটির লাল টেক্কা হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
52 খানা তাসের মধ্যে,
লাল তাস থাকে = 26টি
কালো তাস থাকে = 26টি

টেক্কা মোট 4টি;
যার মধ্যে লাল টেক্কা 2টি
কালো টেক্কা 2টি

∴ লাল টেক্কা হবার সম্ভাবনা = 2/52 = 1/26

প্রশ্ন: B = {x : x² < 2 এবং x একটি পূর্ণ সংখ্যা }, B কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন?

সমাধান:
(- 2)² = 4 ∴ - 2 ∉ B
( - 1)² = 1 ∴ - 1 ∈ B 
0² = 0 ∴ 0 ∈ B
1² = 1 ∴ 1 ∈ B
2² = 4 ∴ 2 ∉ B

∴ B = {- 1, 0, 1}

প্রশ্ন: যদি ⁿP₄ = 12 × ⁿP₂ হয়, তবে n =?

সমাধান:
ⁿP₄ = 12 × ⁿP₂
⇒ n!/(n - 4)! = 12 × {n!/(n - 2)!}
⇒ {n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × (n - 4)!}/(n - 4)!} = 12 × [{n × (n - 1) × (n - 2)!}/(n - 2)!]
⇒ n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) = 12 × n × (n - 1)
⇒ (n - 2) × (n - 3) = 12
⇒ n² - 5n + 6 = 12
⇒ n² - 5n - 6 = 0
⇒ n² - 6n + n - 6 = 0
⇒ n(n - 6) + 1(n - 6) = 0
⇒ (n - 6)(n + 1) = 0
∴ n = 6 এবং n = - 1 [ ঋনাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
∴ n = 6

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। প্রথম মুদ্রায় H এবং ২য় মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে ঘটনাগুলো ঘটে সেগুলো হলো {HH, HT, TH, TT}
এখানে মোট ঘটনা = 4

∴ প্রথম মুদ্রায় H এবং ২য় মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 1/4

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের ছাত্রদের গণিতে প্রাপ্ত নম্বর থেকে ৬৯ বাদ দেওয়ার পর ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় ৫০ থেকে ৪৭ এ নেমে আসলো। ঐ ক্লাসে মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি, ক্লাসের ছাত্রসংখ্যা = x জন
প্রশ্নমতে,
50x - 47x = 69
⇒ 3x = 69
⇒ x = 23

প্রশ্ন: ২৫ - ৩০ এর শ্রেণি ব্যবধান কত? 

সমাধান: 
২৫ - ৩০ এর শ্রেণি ব্যবধান = (৩০ - ২৫) + ১
= ৫ + ১
= ৬ 

প্রশ্ন: নিচের কোন উপাত্তসমূহের গড়, মধ্যক, প্রচুরক একই? 

সমাধান:
৪, ৩, ৪, ৩, ৪, ৬, ৪ এর গড় = (৪ + ৩ + ৪ + ৩ + ৪ + ৬ + ৪)/ ৭ 
= ২৮/৭ 
= ৪ 

প্রচুরক = ৪ 

উর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, ৩, ৩, ৪, ৪, ৪, ৪, ৬ 
মধ্যক = ৪ 

প্রশ্ন: একটি বিয়ের অনুষ্ঠানে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করায় মোট করমর্দনের সংখ্যা 105টি। ঐ অনুষ্ঠানে লোক সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
ধরি,
অনুষ্ঠানে উপস্থিত মোট লোক ছিল = n, 

∴ মোট করমর্দন ⁿC₂ = 105
বা, {(n(n - 1)}/2 =105
বা, (n² - n)/2 = 105
বা, n² - n = 210
বা, n² - n - 210= 0
বা, n² - 15n + 14n - 210 = 0
বা, n(n - 15) + 14(n - 15) = 0
বা, (n - 15)(n + 14) = 0

হয়                              
n - 15 = 0                  
∴ n = 15 
 
অথবা 
 n + 14 = 0
∴ n = - 14 [গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ অনুষ্ঠানে উপস্থিত মোট লোক ছিল 15 জন।

প্রশ্ন: 3 এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

সমাধান:
অসীম সেট (Infinite set):
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না, একে অসীম সেট বলে ।
অসীম সেটের একটি উদাহরণ 3 এর গুণিতকের সেট , A = {3, 6, 9, 12, 15,.......} 
এখানে, A সেটের উপাদান সংখ্যা অসংখ্য যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না ।

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে ৩ এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র ={1, 2, 3, 4, 5, 6} 

৩ এর গুণিতক = {3, 6} 

৩ এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 2/6 = 1/3

প্রশ্ন: “EQUATION" শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“Equation" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি

প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁸P₃
= 336

প্রশ্ন: 7 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (n - 1)!
7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (7 - 1)!
= 6!
= 720

প্রশ্ন: যদি ২০২৩ সালের জুন মাসের ৪র্থ সপ্তাহে মোট ৪ দিন বৃষ্টি হয় তবে, ঐ সপ্তাহে রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহ = ৭ দিন
বৃষ্টি হয়েছে = ৪ দিন

∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭
অর্থাৎ, রবিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৭

∴ রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা= ১ - ৪/৭ = ৩/৭

প্রশ্ন: (১, ২, ৩, ৪,......,১০০) স্বাভাবিক সংখ্যার সেটটি হতে একটি সংখ্যা বাছাই করলে, সংখ্যাটি ঘনসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
1³ = 1
2³ = 8 
3³ = 27
4³ = 64
5³ = 125 > 100

(১, ২, ৩, ৪,......,১০০) স্বাভাবিক সংখ্যার সেটটি তে মোট সংখ্যা = ১০০ 
(১, ২, ৩, ৪,......,১০০) স্বাভাবিক সংখ্যার সেটটি তে ঘন সংখ্যা = ৪ 

∴ (১, ২, ৩, ৪,......,১০০) স্বাভাবিক সংখ্যার সেটটি হতে একটি সংখ্যা বাছাই করলে, সংখ্যাটি ঘনসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা  = ৪/১০০ 
= ১/২৫

প্রশ্ন: ৫২ টি তাসের প্যাকেট থেকে একটি তাস দ্বৈবভাবে নেয়া হল। তাসটি হরতন বা রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = ৫২
হরতন তাসের সংখ্যা = ১৩
রুইতন তাসের সংখ্যা = ১৩

তাসটি হরতন বা রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা = (১৩/৫২) + (১৩/৫২)
= (১/৪) + (১/৪)
= ১/২

প্রশ্ন: 6 টি গণিতের এবং 6 টি পদার্থের বই থেকে 5 টি বই কত উপায়ে বাছাই করা যায় যেখানে গণিতের 3 টি বই থাকবে এবং বাকীগুলো পদার্থ বিজ্ঞানের বই।

সমাধান: 
6 টি গণিতের বই থেকে 3 টি বাছাই করা যায় = ⁶C₃ = 20 উপায়ে
6 টি পদার্থবিজ্ঞানের বই থেকে 2 টি বাছাই করা যায় = ⁶C₂ = 15 উপায়ে

∴ 5 টি বই বাছাইয়ের উপায় = 20 × 15 = 300

প্রশ্ন: P(C) এর উপাদান সংখ্যা 16 হলে C এর উপাদান সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ঐ সেটের শক্তিসেটের উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ 
P(C) এর উপাদান সংখ্যা =16
2ⁿ = 16
⇒ 2ⁿ = 2⁴
∴ n = 4

প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3 অঙ্কগুলো দ্বারা চার অঙ্কের কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা তৈরি করা যায়  যেন কোনো সংখ্যার পুনরাবৃত্তি না হয়? 

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 4! 
= 24

0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! 
= 6

∴ চার অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (24 - 6)
= 18

প্রশ্ন: x ও y গড় 9 এবং z = 5x + 2 হলে, y ও z এর গড় কত?

সমাধান: 
 x ও y গড় 9 হলে, 
(x + y)/2 = 9
⇒ x + y = 18
∴ y = 18 - x

অতএব, 
y ও z এর গড়
= (y + z)/2 
= (18 - x + 5x + 2)/2 
= (4x + 20)/2 
= 2(2x + 10)/2
= 2x + 10

সুতরাং y ও z এর গড় 2x + 10

প্রশ্ন: A = Ø, B = {a}, C = {a, b} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, P(A) = {0}
A সেটের উপাদান সংখ্যা শূন্য এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2⁰ = 1
আবার,
P(B) = {{a}, 0}
∴ B সেটের উপাদান সংখ্যা 1 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা  = 2¹ = 2
এবং P(C) = {{a}, {6}, {a, b}, 0}
∴ C সেটের উপাদান সংখ্যা 2 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2² = 4 

∴ সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার সমষ্টি = 1 + 2 + 4 = 7

প্রশ্ন: 3, 2, 4, 1 একবার ব্যবহার করে অংকগুলো দ্বারা 2000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায়?

সমাধান: 
এখানে,
মোট সংখ্যা = 4 টি
2000 থেকে বড় সংখ্যাগুলোতে 2, 3 বা 4 অব্যশই প্রথমে থাকবে।

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = ³P₁ × ³P₃
= 3 × 6
= 18

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি হলুদ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি হলুদ বল থাকে?

সমাধান:
সাদা বল = 2টি
হলুদ বল = 3টি 
লাল বল =  4টি 

3টি হলুদ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = ³C₁ × ⁶C₂
3টি হলুদ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় = ³C₂ × ⁶C₁
3টি হলুদ বল থেকে 3টি  = ³C₃

মোট উপায়  = (³C₁ × ⁶C₂) + (³C₂ × ⁶C₁) + (³C₃) 
= (45 + 18 + 1)
= 64

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা- 

সমাধান:
১ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ২০০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু - {১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬}

∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ১৪/২০০
= ৭/১০০

প্রশ্ন: m সংখ্যক সংখ্যার গড় x এবং n সংখ্যক সংখ্যার গড় y হলে সব সংখ্যার গড় কত?

সমাধান: 
ধরি,
m সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = my
n সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = ny
মোট সংখ্যা = m + n
∴ সব সংখ্যার গড় = (mx + ny)/(m + n)

প্রশ্ন: 'JUPITER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান: 
'JUPITER'  শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 3টি 
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel  তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3! 
=120 × 6 
= 720

প্রশ্ন: একটি থলিতে ৬টি নীল বল, ৮টি সাদা বল, ১০টি কালো বল আছে। দৈবভাবে ১টি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বলের সংখ্যা = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪টি
সাদা বল = ৮টি

∴ দৈবভাবে বল তুললে সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/২৪ = ১/৩
∴ সাদা বল না হওয়ার সম্ভাবনা = (১ - ১/৩) = ২/৩

প্রশ্ন: 5, 6, 7, 6 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

সমাধান: 
এখানে, তথ্য সংখ্যা, n = 4
গাণিতিক গড় = (5 + 6 + 7 + 6)/4
= 24/4
= 6

ভেদাঙ্ক = {(5 - 6)² + (6 - 6)² + (7 - 6)² + (6 - 6)²}/4
= (1 + 0 + 1 + 0)/4
= 2/4
= 1/2
= 0.5

প্রশ্ন: ’COLLEGE’ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট বর্ণ 7 টি
যার মধ্যে, L= 2 টি, E = 2 টি

মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7! / (2! x 2!) = 1260