১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

সংখ্যাটি x হলে,
২x + ৩x = ৯০
৫x = ৯০
∴ x = ১৮

২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল.সা.গু. = ৬০
৯৯৯৯ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ১৬৬ এবং ভাগশেষ হয় ৩৯।
ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্যই হবে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (৬০-৩৯) = ২১

১০০ টাকায় কমে ২০ টাকা
∴ ৮০   〃   〃(২০×৮০)/১০০〃
               = ১৬ টাকা
∴ ২টি ডিমের দাম ১৬ টাকা
∴ ১〃    〃   〃(১৬÷২) = ৮ টাকা

১০০ টি ফলের মধ্যে কমলা ৪০ টি
∴ ১৫〃 〃 〃 〃(৪০×১৫)/১০০ টি
                  = ৬ টি
∴ ১৫ টি ফলের মধ্যে আপেল (১৫-৬) = ৯ টি

সুদ = ৫০০০০ × ১.২৫ = ৬২৫০০ টাকা
১০ বছরের সুদ ৬২৫০০ টাকা
∴ ১   〃    〃 ৬২৫০   〃
৫০০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৬২৫০ টাকা
∴ ১০০ 〃 ১ 〃 〃 (৬২৫০×১০০)/৫০০০০ টাকা
                    = ১২.৫ টাকা

৪০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৪০০×৫) বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৫০০ টাকার ৬ বছরের সুদ = (৫০০×৬) বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
∴ (২০০০+৩০০০) বা ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪৫০ টাক
∴ ১০০ টাকার ১বছরের সুদ (৪৫০×১০০)/৫০০০ টাকা
= ৯ টাকা

৬০ লিটার মিশ্রণে আমের রস আছে (৬০×২) / (২+১) = ৪০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস আছে (৬০-৪০) = ২০ লিটার।
মিশ্রণটিতে আম ও কমলার রসের অনুপাত ১:২ হতে হলে কমলার রস থাকতে হবে (৪০×২) = ৮০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস মিশাতে হবে (৮০-২০) = ৬০ লিটার

৫:১৮, ৭:২, ৩:৬ = ৫:১৮, ৭:২, ১:২
সুতরাং, মিশ্র অনুপাত = (৫×৭×১) : (১৮×২×২) = ৩৫:৭২

১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১০/১২ টাকা বা ৫/৬ টাকা
এবং ১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য ১০/৮ বা ৫/৪ টাকা
∴ ১ টি লেবুতে লাভ হয় (৫/৪ - ৫/৬) টাকা বা ৫/১২ টাকা
৫/৬ টাকায় লাভ হয় ৫/১২ টাকা
∴ ১০০ 〃 〃 〃(৫×৬/১২×৫)×১০০ টাকা
                 = ৫০ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৩৬০০ টাকা হলে ২০% লাভে ক্রয়মূল্য (৩৬০০×১০০)/১২০ টাকা বা ৩০০০ টাকা।
আবার, বিক্রয়মূল্য ৩৬০০ টাকা হলে ২০% ক্ষতিতে ক্রয়মূল্য (৩৬০০×১০০)/৮০ টাকা বা ৪৫০০ টাকা।
মোট ক্রয় মূল্য = (৩০০০+৪৫০০) টাকা = ৭৫০০ টাকা
মোট বিক্রয় মূল্য = (৩৬০০+৩৬০০) টাকা = ৭২০০ টাকা।
∴ ক্ষতি হয়েছে (৭৫০০-৭২০০) টাকা = ৩০০ টাকা

ধরি, পণ্যটির ক্রয়মূল্য x টাকা
প্রশ্নমতে, ২(x-৩৬) = ৭২-x
⇒ ২x -৭২ = ৭২ -x
⇒ ৩x = ১৪৪
∴ x = ৪৮ টাকা

২৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা
∴ 〃 ৩৮০ 〃 〃 〃 (১২৫×৩৮০)/১০০〃
                      = ৪৭৫ টাকা
আবার ৫% ছাড়ে,
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে লিখিত মূল্য ১০০ টাকা
∴ 〃 ৪৭৫ 〃 〃 〃 〃 (১০০×৪৭৫)/৯৫〃
                          = ৫০০ টাকা

(x+y)² = (x-y)²+4xy
         = 2² + 4×24
         = 100
∴ x+y = ± 10
ধনাত্মক মান নিয়ে,
(x+y) + (x-y) = 10+2
⇒ 2x = 12
∴ x = 6

a³-b³ = (a-b)³ + 3ab(a-b)
⇒ 513 = 3³ + 3ab(3)
⇒ 513 - 27 = 9ab
⇒ ab = 486/9
∴ ab = 54

ধরি, f(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 20
∴ f(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21(-1) - 20 = 0
∴ x- (-1) বা, x+1 হচ্ছে প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

2a² + 7ab - 15b²
⇒ 2a² + 10ab -3ab - 15b²
⇒ 2a(a+5b) - 3b(a+5b)
⇒(a+5b)(2a-3b)

ধরি, শফিকের বর্তমান বয়স x বছর
∴ রফিকের বর্তমান বয়স 2x বছর
প্রশ্নমতে,
2x-3 = 3(x-3)
⇒ 2x-3 = 3x-9
∴ x = 6 বছর।

ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
∴ বড় সংখ্যাটি = x+1
প্রশ্নমতে,
(x+1)² - x² = 199
⇒ x²+2x+1-x² = 199
⇒ 2x = 198
∴ x = 99
∴ (x+1) = 100

ধরি, সংখ্যা দুটি x ও y
প্রশ্নমতে, x²+y² = 85 এবং xy = 42
সূত্রানুসারে,
x²-y² = √{(x²+y²)² - 4x²y²}
⇒ x²-y² = √{(85)² - 4(42)²}
⇒ x²-y² = √(7225- 4×1764)
⇒ x²-y² = √(7225 -7056)
⇒ x²-y² = √169
∴ x²-y² = 13

│x+1│< 3
⇒ -3 < x+1< 3
⇒ -3-1 < x+1-1 < 3-1
⇒ -4 < x < 2

x > y এবং z ঋণাত্মক সংখ্যা হওয়ায় xz < yz হবে।

(∛3 × ∛4)⁶ = (∛3 × ∛4)³˙² = (3×4)² = 144

log₅25√5 = log₅5².5¹/²
= log₅5²⁺¹/²
= log₅5⁵/²
= 5/2 log₅5
= 5/2 ×1
= 5/2

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n-1)d
∴ 6 তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 52 = a + (6-1)10
⇒ a = 52 - 50
∴ a = 2
∴ 15 তম পদ = 2 + (15-1)10
                 = 2+140
                 =142

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4-1 =3
n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 73 = 1 + (n-1)3
⇒ 73 = 1 + 3n - 3
⇒ 3n = 75
∴ n = 25
∴ ধারাটির সমষ্টি, S = n/2{2a+(n-1)d}
= 25/2{2×1+(25-1)×3}
= 25/2 (2+72)
= 25/2 × 74
= 925

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = ⅓   < 1
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
Sₙ = a.(1-rⁿ)/(1-r) ; যখন r < 1
∴ ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি
S₅ = 1{1-(⅓)⁵} / (1-⅓)
= (1-1/243) / ⅔
= 242/243 × 3/2
= 121/81

ত্রিভুজের একটি কোণের মান 90° হলে অপর দুইটি কোণের সমষ্টি হবে 90°।
ধরি, অপর দুইটি কোণ 2x ও 3x.
∴ 2x+3x = 90
⇒ 5x = 90
∴ x = 18
∴ ছোট কোণ 2x এর পূরক কোণ = 3x = 3×18 = 54°

ধরি, ভূমি = 4x মিটার।
∴ লম্ব = (4x এর ¾) মিটার = 3x মিটার
প্রশ্নমতে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য 3×5 = 15 মিটার

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = √{(ভূমি)² + (লম্ব)²} = √(৩² + ৪²) = √২৫ = ৫ সেন্টিমিটার

আমরা জানি, বৃত্তের সমীকরণ (x-p)² + (y-q)² = r²
যেখানে, (p,q) বৃত্তের কেন্দ্র এবং r ব্যাসার্ধ। (p,q) = (0,0) এবং r = 4 হলে বৃত্তের সমীকরণ দাঁড়ায় -
x² + y² = 16

বৃত্তের পরিধি 2πr এবং ব্যাস 2r
∴ ব্যাস : পরিধি = 2r : 2πr = 2r/2πr = 1/π = 1/(22/7) = 7/22।
[বি:দ্র: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত 22/7]

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x একক হলে কর্ণ x√2.
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x = 4 বর্গ একক
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x² = 4² = 16

চৌবাচ্চাটির আয়তন = (০.১×০.১×০.১) ঘনমিটার
                         = ০.০০১ ঘনমিটার
∴ চৌবাচ্চাটিতে ০.০০১ ঘনমিটার পানি ধরে।

ধরি, x জন উভয় খেলাই খেলে।
শুধু ক্রিকেট খেলে (২৮ - x) জন
শুধু ফুটবল খেলে (১৬ - x) জন
প্রশ্নমতে,
(২৮- x) + (১৬- x) + x + ৯ = ৪৫
⇒ ৫৩ - x = ৪৫
∴ x = ৮

মোট বল = (6+8+10) = 24 টি
দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 8/24 = ⅓
∴ দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - ⅓ = ⅔

52 টি তাসের মধ্যে টেক্কা থাকে 4 টি।
∴ উত্তোলিত তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাব্যতা = 4/52 = 1/13