৪০ দিনে ৪৭তম বিসিএস প্রস্তুতি - Archived

আমরা জানি,
x²+y² = (x-y)² + 2xy
= 14+2×2
= 18

9x²+16y²
= (3x)² + 2.3x.4y + (4y)² - 24xy
= (3x+4y)² - 24xy
অর্থাৎ 24xy যোগ করতে হবে।

x²+y² = 4
⇒ (x+y)² - 2xy = 4
⇒ 2² - 2xy = 4 [∵ x+y = 2]
⇒ 2xy = 4-4
∴ xy = 0
এখন,
x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²)
          = 2(4-0)
          = 8

(a+1/a)² = 3
∴ a+1/a = √3
এখন,
a³+1/a³ = (a+1/a)³ -3.a.1/a. (a+1/a)
= √3³ - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0

১ম রাশি = a²-b²-c²-2bc
= a²-(b²+2bc+c²)
= a²-(b+c)²
= (a+b+c)(a-b-c)
২য় রাশি = b²-c²-a²-2ac
= b²-(c²+2ac+a²)
= b²-(c+a)²
= (a+b+c)(b-c-a)
∴ সাধারণ উৎপাদক a+b+c

x²+x-(a+1)(a+2)
= x²+(a+2)x-(a+1)x-(a+1)(a+2)
= x(x+a+2) - (a+1)(x+a+2)
= (x+a+2)(x-a-1)

4x⁴-25x²+36
= (2x²)² - 2.2x.6 + (6)² - x²
= (2x²-6)² - x²
= (2x²-6+x)(2x²-6-x)
= (2x²+4x-3x-6)(2x²-4x+3x-6)
= {2x(x+2) - 3(x+2)}{2x(x-2) + 3(x-2)}
= (x+2)(2x-3)(x-2)(2x+3)

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x এর 40%+42 = x
⇒ 40x/100 + 42 = x
⇒ (40x+4200)/100 = x
⇒ 40x+4200 = 100x
⇒ 100x - 40x = 4200
⇒ 60x = 4200
∴ x = 70

ধরি, সংখ্যা দুইটি 8x ও 5x
প্রশ্নমতে,
8x - 5x = 33
⇒ 3x = 33
∴ x = 11
∴ সংখ্যা দুইটি (8×11) = 88 এবং, (5×11) = 55

2(5x-18) = 14
⇒ 5x-18 = 7
⇒ 5x = 25
∴ x = 5

1/a < 1/b
∴ a > b
কোন ভগ্নাংশকে বিপরীতকরণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।

4x-7 < 2x+13
⇒ 4x-7-2x+7 < 2x+13-2x+7
⇒ 2x < 20
∴ x < 10

x²-5x+6 > 0
⇒ x²-2x-3x+6 > 0
⇒ x(x-2) - 3(x-2) > 0
⇒ (x-2)(x-3) > 0
x > 0 হবে যদি (x-2) ও (x-3) উভয়ই ধনাত্মক বা উভই ঋনাত্মক হয়। তাই সমাধান হবে (-∞,2) ∪ (3,+∞)।

দেয়া আছে, x = 3y এবং
x+5y = 24
⇒ 3y+5y = 24 [∵ x = 3y]
⇒ 8y = 24
∴ y = 3

x+y = 4 --------- (i)
x-y = 3 ---------- (ii)
(i) + (ii) ⇒
2x = 7
∴ x = 7/2
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই -
7/2 + y = 4
⇒ y = 4 - 7/2
∴ y = ½
x ও y এর মান প্রদত্ত রাশিতে বসালে পাই-
x+2y = 7/2 + 2(½) = 7/2 + 1 = 9/2

a+b = 2 ---------(i)
a-b = 0 ----------(ii)
(i) + (ii) ⇒ 2a = 2
∴ a = 1
আবার, (i) - (ii) ⇒ 2b = 2
∴ b = 1
∴ a/b = 1/1 = 1

3log2 + log4
= log2³ + log4
= log8 + log4
= log(8×4)
= log32

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3-1 = 2
পদ সংখ্যা, n = (51-1)/2 + 1 = 26
n তম পদ = 51
∴ সমষ্টি, S = 26(51+1)/2 = 676

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3-1 = 2
মনে করি, n তম পদ = 383
∴ a + (n-1)d = 383
⇒ 1 + (n-1)2 = 383
⇒ 2n - 2 = 382
⇒ 2n = 384
∴ n = 192

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে n তম পদ = arⁿ⁻¹
∴ তৃতীয় পদ ar³⁻¹ = ar² = 20 ------- (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar⁶⁻¹ = ar⁵ = 160 ------- (ii)
এখন, (ii) ÷ (i)
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই প্রথম পদ-
a.2² = 20
∴ a = 5

A′ = U - A = {1,2,3,4,5,6} - {1,2,3} = {4,5,6}
B′ = U - B = {1,2,3,4,5,6} - {2,4,6} = {1,3,5}
∴ A′ ∩ B′ = {4,5,6} ∩ {1,3,5} = {5}

অর্থনীতি নিয়েছে, E = 19 জন
ভূগোল নিয়েছে, G = 17 জন
পৌরনীতি নিয়েছে, C = 11 জন
অর্থনীতি ও ভূগোল নিয়েছে, E ∩ G = 12 জন
অর্থনীতি ও পৌরনীতি নিয়েছে, E ∩ C = 7 জন
ভূগোল ও পৌরনীতি নিয়েছে, G ∩ C = 5 জন
সবগুলো বিষয় নিয়েছে, E ∩ G ∩ C = 2 জন
কমপক্ষে একটি বিষয় নিয়েছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা -
E + G + C - (E ∩ G) - (E ∩ C) - (G ∩ C) + (E ∩ G ∩ C)
= 19 + 17 + 11 - 12 - 7 - 5 + 2
= 25 জন
∴ কোন বিষয়ই নেয়নি (30-25) = 5 জন

যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না। অর্থাৎ ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৪টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৩টি।
∴ উপায় সংখ্যা ৪×৩ = ১২

মোট অংক, n = 4 ; প্রতিবারে নিতে হবে, r = 3
∴ সংখ্যা গঠন করা যাবে ⁿPᵣ = n!/(n-r)! = 4!/(4-3)! = 4!/1! = (4×3×2×1)/1 = 24

৩ জন ছাত্রকে একত্রে রাখতে হবে তাই তিনজনকে একজন ধরে এবং ৫ জন ছাত্রীকে নিয়ে সাজানো যায় ৬! = ৬×৫×৪×৩×২×১ = ৭২০ ভাবে। আবার তিনজন ছাত্রকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় ৩! = ৩×২×১ = ৬ ভাবে।
মোট সাজানোর সংখ্যা = ৭২০×৬ = ৪৩২০

যেহেতু একজন পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সুতরাং পুরুষ = 6-1 = 5 এবং মহিলা = 4.
∴ কমিটি গঠনের উপায় = ⁵C₃×⁴C₀ + ⁵C₂×⁴C₁ + ⁵C₁×⁴C₂ + ⁵C₀×⁴C₃
= 10+40+30+4 = 84

প্রথমটিতে head আসার সম্ভাব্যতা ½. দ্বিতীয়টিতে tail আসার সম্ভাব্যতা ½.
দুইটিতে একত্রে head এবং tail আসার সম্ভাব্যতা ½ × ½ = ¼ .

মোট বল সংখ্যা (6+8+10) = 24 টি। সাদা বলের সংখ্যা 8 টি।
∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাব্যতা (24-8)/24 = 18/24 = ⅔

30 জন ছাত্রের মোট বয়স = (30×9) = 270 বছর
শিক্ষক সহ 31 জনের মোট বয়স = (31×10) = 310 বছর
∴ শিক্ষকের বয়স (310-270) = 40 বছর

আমরা জানি,
ab = {(a+b)/2}² - {(a-b)/2}²
= (15/2)² - (13/2)²
= 225/4 - 169/4
= 56/4
= 14

ধরি, বইয়ের মূল্য x টাকা। তাহলে কলমের মূল্য x-17 টাকা।
প্রশ্নমতে,
x + x - 17 = 103
⇒ 2x = 120
∴ x = 60