গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

রামরাম বসু রচিত গ্রন্থ 'রাজা প্রতাপাদিত্য চরিত্র' (১৮০১)।
- এটি বাঙালি রচিত বাংলা সাহিত্যের প্রথম মুদ্রিত গ্রন্থ।
- রামরাম বসু, উইলিয়াম কেরীকে বাংলা ভাষা শেখান ( ১৭৯৩ থেকে ১৭৯৬ পর্যন্ত) 
- তাই তিনি কেরি সাহেবের মুন্‌সি নামে পরিচিত ছিলেন। 

- 'লিপিমালা' (১৮০২) রামরাম বসু রচিত অপর একটি বিখ্যাত গ্রন্থ। 
- উইলিয়াম কেরি রচিত গ্রন্থ 'ইতিহাসমালা' (১৮১২)
- মৃত্যুঞ্জয় বিদ্যালঙ্কার রচিত গ্রন্থাবলি - প্রবোধচন্দ্রিকা(১৮৩৩)।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

বিষয়বস্তুর দিক থেকে বাংলা নাটক তিন প্রকার:
- পৌরাণিক নাটক 
- ঐতিহাসিক নাটক 
- সামাজিক নাটক 

এছাড়া আছে রূপক বা সাঙ্কেতিক নাটক, গীতিনাট্য, , নৃত্যনাট্য, চরিত নাটক বা জীবনী নাটক ইত্যাদি। 

উৎস: বাংলা সাহিত্যের ইতিহাস, মাহবুবুল হক। 

উনিশ শতকের প্রথম দিকে বাংলা সাহিত্যে উপন্যাসের উদ্ভব ঘটে ।
- এর মূলে রয়েছে পাশ্চাত্য সাহিত্যের প্রভাব ।

- ফুলমণি ও করুণার বিবরণ ( ১৮৫২) উপন্যাস তৈরির একটি প্রচেষ্টা ।
- কাল গত দিক দিয়ে বাংলা সাহিত্যের প্রথম উপন্যাসের প্রয়াস হেনা ক্যাথারিন ম্যালেন্স রচিত ফুলমণি ও করুণার বিবরণ ।

উৎস: লাল নীল দীপাবলি (হুমায়ুন আজাদ)

বাংলা মৌলিক নাটকের সূত্রপাত হয় ১৮৫২ সালে।
- যোগেন্দ্রচন্দ্র গুপ্তের 'কীর্তিবিলাস' ও তারাচরণ শিকদারের 'ভদ্রার্জুন' এই বছর প্রকাশিত নাটক।
- কীর্তিবিলাস বিয়োগাত্মক নাটক রচনার প্রথম প্রকাশ।
- ভদ্রার্জুন ইংরেজ ও সংস্কৃতের যুক্ত আদর্শে রচিত প্রথম মৌলিক মধুরান্তিক বাংলা নাটক।
- বাংলায়  প্রথম সার্থক নাটক মাইকেল মধুসূদন দত্তের 'শর্মিষ্ঠা' (১৮৫৯)।

উৎস: বাংলা সাহিত্যের ইতিহাস, মাহবুবুল হক।

• ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানির ইংরেজ কর্মচারীদের দেশীয় ভাষায় শিক্ষাদানের উদ্দেশ্যে ১৮০০ সালে কলকাতায় ফোর্ট উইলিয়াম কলেজ প্রতিষ্ঠা করা হয়।
- এই কলেজে ১৮০১ সালে বাংলা বিভাগ প্রবর্তিত হলে অধ্যক্ষ হিসেবে আসেন শ্ররিামপুর মিশনের পাদ্রি এবং বাইবেলের অনুবাদক উইলিয়াম কেরি। তাঁরা অধীনস্ত দু-জন পণ্ডিত এবং ছয় জন সহকার পণ্ডিতের সহযোগিতায় বাংলা গদ্যে কলেজের পাঠোপযোগী পুস্তক রচনায় আত্মনিয়োগ করেন।
- তাদের এই প্রচেষ্টার ফলাফল দিয়েই বাংলা গদ্যের অনুশীলনে ফোর্ট উইলিয়াম কলেজের ভূমিকা নিরূপণ করা হয়।

উৎস: বাংলা সাহিত্যের ইতিহাস, মাহবুবুল আলম। 

- নাট্যকার হিসেবে রামনারায়ণ তর্করত্ন প্রভূত খ্যাতিলাভের পশ্চাতে রয়েছে তাঁর সামাজিক নাটক ‘কুলীনকুলসর্বস্ব’ (১৮৫৪) সালে অভিনয় সাফল্য লাভ করে।
- তাঁর ‘কুলীনকুলসর্বস্ব’ নাটক তৎকালীন নাট্যসাহিত্যে প্রবল আলোড়ন সৃষ্টি করতে সক্ষম হয়।
- সমকালীন সমাজব্যবস্থার কুসংস্কারাচ্ছন্ন দিকগুলো নাটকে রূপায়িত করতে গিয়ে আঙ্গিকগত দিক থেকে তাঁর চূড়ান্ত সার্থকতা লাভ করা সম্ভব হয় নি।
- ‘কুলীনকুলসর্বস্ব’ নাটক রচনার জন্য রামনারায়ণ রংপুরের জমিদার কালীচন্দ্র রায়চৌধুরী ঘোষিত পঞ্চাশ টাকা পুরস্কার লাভ করেন।
- এই নাটকের মাধ্যমে দর্শকদের প্রবলভাবে মাতিয়ে তোলা সম্ভব হয়েছিল। সে কারণে তিনি ‘নাটুকে নারায়ণ’ নামে খ্যাতি লাভ করেছিল।

• সংস্কৃতে সুপণ্ডিত রামনারায়ণ তর্করত্ন সংস্কৃত থেকে কতিপয় নাটক বাংলায় অনুবাদ করেন:
- শকুন্তলা
- মালতীমাধব
- রত্নাবলী

উৎস: বাংলা সাহিত্যের ইতিহাস, মাহবুবুল আলম।

খনার বচন: 
খনার বচন বিশেষ অর্থবোধক বাক্য বা উক্তি। ইংরেজি saying, proverb কিংবা বাংলা প্রবাদ শব্দ অনেকটা এর সমার্থক, কিন্তু বচনের তাৎপর্য আরও ব্যাপক ও ভিন্ন।
শুভাশুভ, বিধিবিধান, নীতি ও উপদেশবাচক প্রতিপাল্য প্রাজ্ঞোক্তিই সাধারণ অর্থে বচন, যেমন গুরুর বচন, মহাপুরুষের বচন ইত্যাদি। বাংলায় ডাক ও খনার উক্তি বচনের প্রকৃষ্ট উদাহরণ।
- খনার বচনগুলো কৃষি, আবহাওয়া, ঋতু, জ্যোতিশাস্ত্র সম্পর্কিত। এছাড়াও স্বাস্থ্য, খাদ্য ও পুষ্টি বিষয়ের খনার বচন রয়েছে।
- ‘খনার বচন’ রচয়িতার প্রকৃত নাম লীলাবতী; লীলাবতী আর্যার প্রণেতা ও খনা একই ব্যক্তি।
- আনুমানিক ৮ম থেকে ১২শ শতাব্দীর মধ্যে রচিত।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর এবং বাংলাপিডিয়া

• বিখ্যাত গুপি-গাইন, বাঘা-বাইন চরিত্রের স্রষ্টা উপেন্দ্রকিশোর রায়চৌধুরী। 

• উপেন্দ্রকিশোর রায়চৌধুরী (১৮৬৩-১৯১৫)  প্রখ্যাত শিশুসাহিত্যিক, চিত্রশিল্পী, বাংলা মুদ্রণশিল্পের অন্যতম পথিকৃৎ।
- তরুণ বয়সেই উপেন্দ্রকিশোরের সাহিত্যচর্চায় হাতেখড়ি ঘটে এবং তৎকালীন শিশুকিশোর পত্রিকা সখা, বালক, সাথী, সখা ও সাথী, মুকুল ইত্যাদির সঙ্গে যুক্ত ছিলে
- ১৮৮৩ সালে ছাত্রাবস্থায় সখা পত্রিকায় তাঁর প্রথম রচনা প্রকাশিত হয়। ন।
-  উপেন্দ্রকিশোর রায়চৌধুরীর সম্পাদনায় ১৯১৩ সালে বিখ্যাত শিশুতোষ মাসিক পত্রিকা সন্দেশ প্রথম প্রকাশিত হয় যা আজও  কলকাতা থেকে প্রকাশিত একটি জনপ্রিয় শিশুকিশোর সাহিত্য পত্রিকা।

• উপেন্দ্রকিশোর শিশুকিশোরদের জন্য বহুসংখ্যক সাহিত্য পুস্তক রচনা করেছেন,
এর মধ্যে উলে­খযোগ্য গ্রন্থ:
- ছোটদের রামায়ণ,
- ছোটদের মহাভারত,
- সেকালের কথা,
- মহাভারতের গল্প,
- ছোট্ট রামায়ণ,
- টুনটুনির বই এবং
- গুপী গাইন বাঘা বাইন। 

উৎস: বাংলাপিডিয়া।

• বাংলা সাহিত্যের প্রথম সার্থক ট্রাজেডি নাটক 'কৃষ্ণকুমারী'।
- এর রচয়িতা মাইকেল মধুসূদন দত্ত।
- এই নাটকের কাহিনী উইলিয়াম টডের 'রাজস্থান' নামক গ্রন্থ থেকে সংগ্রহীত।

- এই নাটকের উল্লেখযােগ্য চরিত্রঃ
- কৃষ্ণকুমারী,
- মনিকা,
- ভীম-সিংহ,
- জগৎসিংহ,
- ধনদাস প্রমুখ।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

বাংলা সাহিত্যে 'হুতোমী বাংলা' রীতির প্রবর্তক কালীপ্রসন্ন সিংহ।
- 'হুতোম প্যাঁচা' ছদ্মনামে কালীপ্রসন্ন সিংহ পরিচিত।
- তিনি জন্মগ্রহণ করেন কলকাতার জোড়াসাকোয় ১৮৪০ সালে।
- 'হুতোমী বাংলা' ভাষা রীতি অনুসরণ করে তিনি সাহিত্য রচনা করেন।

কালীপ্রসন্ন সিংহ রচিত বিখ্যাত গ্রন্থ হলো,
-হুতোম প্যাঁচার নকশা।
-সংস্কৃত মহাভারতের গদ্য-অনুবাদ।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

• বাংলা সাহিত্যে জনপ্রিয় কাল্পনিক গোয়েন্দা চরিত্র 'ফেলুদা', ফটিক চাঁদ, প্রফেসর শঙ্কু প্রভৃতি চরিত্র এর স্রষ্টা সত্যজিৎ রায়। 

- ১৯৬৫ সালের ডিসেম্বর মাসের সন্দেশ পত্রিকায় ফেলুদা সিরিজের প্রথম গল্প ফেলুদার গোয়েন্দাগিরির প্রথমভাগ প্রকাশিত হয় যা পরের আরো দুইটি সংখ্যার মাধ্যমে শেষ হয়।
- ১৯৬৫ থেকে ১৯৯৭ পর্যন্ত এই সিরিজের মোট ৩৫টি সম্পূর্ণ ও চারটি অসম্পূর্ণ গল্প ও উপন্যাস প্রকাশিত হয়েছে।
- ফেলুদার প্রধান সহকারী তার খুড়তুতো ভাই তপেশরঞ্জন মিত্র ওরফে তোপসে ও লেখক লালমোহন গাঙ্গুলি (ছদ্মনাম জটায়ু)।
- ফেলুদার চরিত্র নির্মাণে সত্যজিৎ রায় তার ছোটবেলায় পড়া শার্লক হোমস এর গোয়েন্দা গল্পের দ্বারা প্রভাবিত হয়েছিলেন।
- তাই ফেলুদার চরিত্রের সাথে অনেক জায়গায় আমরা হোমসের আর ফেলুদার ভাই ও সহকারী তোপসের সাথে হোমসের সহকারী ওয়াটসনের মিল পাওয়া যায়। - নিজের লেখা অধিকাংশ গল্পের বইয়ের মতই ফেলুদার বইতেও সত্যজিৎ রায় নিজেই প্রচ্ছদ ও অলংকরণ করতেন।

উৎস: দৈনিক পত্রিকা এবং বাংলা সাহিত্যের ইতিহাস, মাহবুবুল হক।  

• নীলকর সাহেবদের বীভৎস অত্যাচারে লাঞ্ছিত নীল চাষিদের দূরবস্থা অবলম্বনে রচিত নাটক নীল-দর্পণ রচিত, প্রকাশিত ও মঞ্চস্থ হয় ১৮৬০ সালে।
- নীল-দর্পণ নাটকের কাহিনী মেহেরপুর অঞ্চলের, দীনবন্ধু ঢাকায় অবস্থানকালে এটি রচনা করেন।
- নাটকটি প্রথম প্রকাশ হয় - ঢাকার বাংলা প্রেস থেকে এবং প্রথম মঞ্চস্থও হয় ঢাকাতে। তাই এটিকে বাংলাদেশের নাটক বলা হয়।
- প্রথম প্রকাশের সময় দীনবন্ধুর নাম ছিল না। 'নীলকর-বিষধর-দংশন-কাতর-প্রজানিকর-ক্ষেমঙ্কর-কেনচিৎ পথিকেনাভি প্রণীতম' এইভাবে গ্রন্থাকারের নাম গুপ্ত রাখা হয়।
- নীল-দর্পণ মাইকেল মধুসূদন দত্ত ইংরেজিতে অনুবাদ করেছিলেন। অনুবাদের নাম - Nil Darpan or The Indigo Planting Mirror যা ১৮৬১ সালে প্রকাশিত হয়।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

বাংলা গদ্যরীতিকে পাঠ্যপুস্তকের বাইরে সর্বপ্রথম ব্যবহার করেন রাজা রামমোহন রায় (১৭৭৪-১৮৩৩)। 
- তাঁর বলিষ্ঠ হাতে বাংলা গদ্য বিচার -বিশ্লেষণের উচ্চতর চিন্তাধারার প্রকাশের বাহন হিসেবে অপরিসীম গুরুত্ব লাভ করে। 

- তিনি প্রায় ৩০ টি গ্রন্থ রচনা করেন।

তাঁর মধ্যে উল্লেখযোগ্য হলো-
- বেদান্তগ্রন্থ,
- বেদান্তসার,
- ভট্টাচার্যের সহিত বিচার,
- গোস্বামীর সহিত বিচার,
- সহমরন বিষয়ক প্রবর্তক ও নিবর্তকের সম্বাদ,
- গৌড়ীয় ব্যাকরণ ইত্যাদি।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর; বাংলা সাহিত্যের ইতিহাস, মাহবুবুল হক এবং বাংলাপিডিয়া।

• শ্রীকৃষ্ণকীর্তন বৈষ্ণব কাব্য।
- রচয়িতা  বড়ু চন্ডীদাস।
- ১৩১৬ বঙ্গাব্দে (খ্রি. ১৯০৯) বসন্তরঞ্জন রায়বিদ্বদ্বল্লভ বাঁকুড়া জেলার বনবিষ্ণুপুরের কাঁকিল্যা গ্রাম নিবাসী দেবেন্দ্রনাথ মুখোপাধ্যায়ের নিকট থেকে এর  পুথি আবিষ্কার করেন। 
- শ্রীকৃষ্ণকীর্তন গীতি-আলেখ্য। রাধাকৃষ্ণের প্রণয়লীলা এর বিষয়বস্ত্ত।
- মোট ১৩ খন্ডে ৪১৮টি পদে এটি  বিন্যস্ত।

• খন্ডগুলি: জন্মখন্ড, তাম্বূল খন্ড, দানখন্ড, নৌকাখন্ড, ভারখন্ড, ছত্রখন্ড, বৃন্দাবন খন্ড, কালীয়দমন খন্ড, যমুনা খন্ড, হারখন্ড, বাণখন্ড, বংশীখন্ড ও বিরহখন্ড (রাধাবিরহ)। 
উৎস: বাংলাপিডিয়া।

• বাংলা সাহিত্যের অন্যতম প্রতিভভাবান নাট্যকার - সাঈদ আহমদ।
১৯৫৪ সালে লন্ডনে স্যামুয়েল ব্যাকেটের নাটক দেখে সাঈদ আহমদ এই ধরনের নাটকের প্রতি আকৃষ্ট হন এবং বাংলায় অ্যাবসার্ডধর্মী নাটকের প্রচলন করেন।

তার রচিত উল্লেখযোগ্য নাটক: কালবেলা, মাইলপোস্ট, তৃষ্ণায়, প্রতিদিন একদিন, শেষ নবাব।

১৯৭৫ সালে অ্যাবসার্ডধারার বাইরে এসে দেশের আর্থ-সামাজিক অবস্থা নিয়ে রচনা করেন - 'প্রতিদিন একদিন' নাটক।
বঙ্গবন্ধুকে নিয়ে তার লেখা নাটক 'শেষ নবাব'। এটি তার শেষ নাটকও।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা-ড. সৌমিত্র শেখর।

ফোর্ট উইলিয়ম কলেজ ফোর্ট উইলিয়মের অভ্যন্তরভাগে গভর্নর জেনারেল লর্ড ওয়েলেসলী কর্তৃক ১৮০০ সালে প্রতিষ্ঠিত প্রাচ্যবিষয়ক একটি প্রশিক্ষণ কেন্দ্র। 
- ফোর্ট উইলিয়াম কলেজের পণ্ডিতগণ হলেন- উইলিয়াম কেরী, রামরাম বসু, গোলকনাথ শর্মা, মৃত্যুঞ্জয়‌ বিদ্যালঙ্কার, তারিণীচরণ মিত্র, রাজীবলােচন, চণ্ডীচরণ মুনশী ইত্যাদি। 
-  ফোর্ট উইলিয়মের পর্বে ১৮০১ থেকে ১৮১৫ সালের এই সময়ের মধ্যে ৮ জন লেখক ১৩ খানই বাংলা গদ্যপুস্তক লিখেছিলেন। 
- ফোর্ট উইলিয়াম কলেজের পণ্ডিতদের মধ্যে মৃত্যুঞ্জয় বিদ্যালঙ্কার সবচেয়ে বেশি গ্রন্থ রচনা করেন।

উৎস: বাংলা সাহিত্যের ইতিহাস, মাহবুবুল হক এবং বাংলাপিডিয়া।

শাক্তসঙ্গীত/শ্যামাসঙ্গীত রচনা করে বিখ্যাত হয়েছিলেন - রামপ্রসাদ সেন।
- তিনি শাক্ত পদাবলীর আদি ও শ্রেষ্ঠ কবি।
- তার গানের সুর 'রামপ্রসাদি সুর' নামে পরিচিত।
- তার রচিত শ্যামাসঙ্গীতের সংখ্যা প্রায় তিনশ।

- তার গান শুনে বাংলার শেষ নবাব সিরাজঊদৌলা অভিভূত হয়েছিলেন।
- রামপ্রসাদ সেনকে রাজা কৃষ্ণচন্দ্র 'কবিরঞ্জন' উপাধি দিয়েছিলেন।


- বিখ্যাত গান
"মনরে কৃষি কাজ জান না
এমন মানবজমিন রইল পতিত
আবাদ করলে ফলতো সোনা।"

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর এবং বাংলাপিডিয়া। 

মধ্যযুগের অনুবাদ সাহিত্যের প্রথম সূত্রপাত করেন কৃত্তিবাস ওঝা।
- রামায়ণের প্রথম বাংলা অনুবাদক কৃত্তিবাস ওঝা ।
- গিয়াসউদ্দিন আজম শাহের নির্দেশে কৃত্তিবাস বাংলায় ''রামায়ণ'' অনুবাদ করেন ।

- সংস্কৃত ভাষায় রামায়ণ রচনা করেন বাল্মীকি ।
- রামায়ণের প্রথম মহিলা অনুবাদক ছিলেন চন্দ্রাবতী ।
- 'মহাভারত' এর প্রথম বাংলায় অনুবাদ করেন - কবীন্দ্র পরমেশ্বর।
-  শ্রীকর নন্দী রচিত মহাভারতকে বলা হয় ‘ছুটিখানি মহাভারত’।
- মালাধর বসু ভগবতের প্রথম বাংলা অনুবাদক।

উৎস: বাংলা সাহিত্যের ইতিহাস, মাহবুবুল হক এবং বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

প্রশ্ন: a⁴ - 6a²b² + b⁴ এর উৎপাদকগুলো হলো- 

সমাধান: 
a⁴ - 6a²b² + b⁴
= (a²)² - 2a²b² + (b²)² - 4a²b² 
= (a² - b²)² - (2ab)² 
= (a² - b² + 2ab)(a² - b² - 2ab)
= (a² + 2ab - b²)(a² - 2ab - b²)

প্রশ্ন: ।2x - 4। < 6 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান: 
।2x - 4। < 6
বা, - 6 < 2x - 4 < 6
বা, - 6 + 4 < 2x - 4 + 4 < 6 + 4
বা, - 2 < 2x < 10
বা, - 2/2 < 2x/2 < 10/2
    - 1 < x < 5

প্রশ্ন: 2y + 5z = 16, y - 2z = - 1 হলে (y, z) এর মান কত? 

সমাধান: 
2y + 5z = 16.............(1)
y - 2z = - 1.............(2)

(1) - (2) × 2  ⇒ 
2y + 5z - 2y + 4z = 16 + 2
9z = 18
z = 18/9
z = 2

(2)  ⇒ 
y - 2z = - 1
y - 2 × 2 = - 1
y - 4 = - 1
y = - 1 + 4
y = 3 

(y, z) = (3, 2)

প্রশ্ন: 3x² - x - 14 এর একটি উৎপাদক হলো- 

সমাধান: 
3x² - x - 14
= 3x² - 7x + 6x - 14
= x(3x - 7) + 2(3x - 7)
= (3x  - 7)(x + 2)

প্রশ্ন: 5x - 3 > 4x - 2 অসমতাটির সমাধান কত? 

সমাধান: 
5x - 3 > 4x - 2
5x - 3 - 4x > 4x - 2 - 4x
x - 3 > - 2
x - 3 + 3  > - 2 + 3
x > 1

প্রশ্ন: 2x - 1/3x = 5 হলে 8x³ - 1/27x³ এর মান কত?

সমাধান: 
2x - 1/3x = 5

8x³ - 1/27x³ = (2x)³ - (1/3x)³ 
= (2x - 1/3x)³ + 3. 2x. 1/3x(2x - 1/3x)
= 5³ + 2 × 5 
= 125 + 10 
= 135 

প্রশ্ন: x + 4y = 14, 7x - 3y = 5 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান: 
x + 4y = 14.............(1)
7x - 3y = 5..............(2)

(1) × 3 + (2) × 4 ⇒
3x + 12y + 28x - 12y = 42 + 20
31x = 62
x = 2

(1) ⇒ 
x + 4y = 14
2 + 4y = 14
4y = 14 - 2
4y = 12
y = 3

(x, y) = (2,3)

প্রশ্ন: x³ + 3x² + 3x + 2 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 

সমাধান: 
ধরি 
f(x) = x³ + 3x² + 3x + 2
f(- 2) = (- 2)³ + 3(- 2)² + 3(- 2) + 2
         = - 8 + 12 - 6 + 2 
         = 14 - 14 
         = 0 
x + 2, f(x) এর একটি উৎপাদক 

f(x) = x³ + 3x² + 3x + 2
 = x³ + 2x² + x² + 2x + x + 2
 = x²(x + 2)+ x(x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2)(x² + x + 1)

প্রশ্ন: 2 ≤ x ≤ 6 কে পরমমান চিহ্নে প্রকাশ করলে হবে- 

সমাধান: 
এখানে 
(2 + 6)/2 = 4

2 - 4 ≤ x - 4 ≤ 6 - 4
- 2 ≤ x - 4 ≤ 2
। x - 4। ≤ 2

প্রশ্ন: x⁴ - 3x² + 1 = 0 হলে x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত? 

সমাধান: 
 x⁴ - 3x² + 1 = 0   
x⁴ + 1 = 3x²
x⁴/x² + 1/x²  = 3x²/x²
x² + 1/x² = 3x²/x²
(x² + 1/x²)² = 3² 
(x²)² + 2.x² .1/x² + (1/x²)² = 9 
x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 9
x⁴ + 1/x⁴ = 9 - 2
x⁴ + 1/x⁴ = 7

প্রশ্ন: 4x + 3y = 15, 5x + 4y = 19 হলে xy এর মান কত?  

সমাধান: 
4x + 3y = 15.............(1)
5x + 4y = 19.............(2)

(1) × 4 - (2) × 3 ⇒
16x + 12y - 15x - 12y = 60 - 57 
x = 3

(1) ⇒
4x + 3y = 15
4 × 3 + 3y = 15 
3y  = 15 - 12
3y = 3
y = 1

 xy = 3 × 1= 3

প্রশ্ন: x² + y² - 2xy - 1 এর একটি উৎপাদক হলো- 

সমাধান: 
x² + y² - 2xy - 1
= x² - 2xy + y² - 1
= (x - y)² - 1²
= (x - y + 1)(x - y - 1)

প্রশ্ন: x + y = 3 , x² + y² = 5 হলে x³ + y³ = কত? 

সমাধান: 
x + y = 3
x² + y² = 4

এখানে,
(x + y)² = x² + y² + 2xy 
3² = 5 + 2xy
9 = 5 + 2xy 
9 - 5 = 2xy
4 = 2xy
xy = 2

x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
 = 3³ - 3 × 2 × 3
= 27 - 18
= 9

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত? 


সমাধান:
ভগ্নাংশটি = x/y 

প্রশ্নমতে,
(x + 7)/y = 2
x + 7 = 2y 
x - 2y = - 7 .......................(1)

আবার,
 x/(y - 2) = 1
x = y - 2
x - y = - 2 .......................(2)

(1) - (2) ⇒
x - 2y - x +y = - 7 + 2
- y = - 5
y = 5

(2)  ⇒
x - y = - 2
x - 5 = - 2
x = - 2 + 5
x = 3 

ভগ্নাংশটি = x/y  = 3/5 

প্রশ্ন: 2x² + 9x - 35 এর উৎপাদক গুলো হলো- 

সমাধান: 
2x² + 9x - 35
= 2x² + 14x - 5x - 35 
= 2x(x + 7) - 5(x + 7)
= (x + 7)(2x - 5)

প্রশ্ন: x² - 19x + 90 < 0 অসমতাটির সমাধান কত? 

সমাধান: 
x² - 19x + 90 < 0
x² - 9x - 10x + 90< 0
x(x - 9) - 10 (x - 9) < 0
∴ (x - 10)(x - 9) < 0

x² - 19x + 90 < 0 সত্য হবে যদি x - 9 < 0 এবং x - 10 > 0 হয়।
এখন, x - 9 < 0 এবং x - 10 > 0
অর্থাৎ,  x < 9 এবং x > 10
9এর চেয়ে ছোট এবং 10 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 11x + 30 < 0 সত্য হবে যদি x - 9 > 0 এবং x - 10 < 0 হয়।
এখন,  x - 9 > 0 এবং x - 10 < 0
অর্থাৎ x > 9 এবং x <10
x এর মান 9 এর চেয়ে বড় এবং 10 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 9 < x < 10

প্রশ্ন: x + 2y = 3 হলে, x³ + 8y³ + 18xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে 
 x + 2y = 3
এখন 
 x³ + 8y³ + 18xy 
= x³ + (2y)³  + 18xy 
= (x + 2y)³ - 3x.2y(x + 2y) + 18xy
= 3³ - 6xy.3 + 18xy
= 27 - 18xy + 18xy
= 27 

প্রশ্ন: 3x - 2y = 5, 2x + 3y = 12 হলে x - y এর মান কত?

সমাধান: 
3x - 2y = 5..................(1)
2x + 3y = 12..................(2)

(1) × 3 + (2) × 2 ⇒
9x - 4y + 4x + 12y = 15 + 24 
13x = 39
x = 39/13
x = 3 

2x + 3y = 12
2 × 3 + 3y = 12
6 + 3y = 12
3y = 12 - 6
3y = 6
y = 2

x - y = 3 - 2 = 1

প্রশ্ন: ax² + x(1 - a²) - a এর উৎপাদকগুলো হলো-

সমাধান: 
ax² + x(1 - a²) - a
= ax² + x - a²x - a
= x(ax + 1) - a(ax + 1)
= (ax + 1)(x - a)

প্রশ্ন: x - 1/x = √5 হলে x + 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = √5

আমরা জানি
(x + 1/x)² = (x - 1/x)² + 4x.1/x
(x + 1/x)²= ( √5)² + 4 
(x + 1/x)²= 5 + 4 
(x + 1/x)² = 9 
(x + 1/x) = √9
(x + 1/x) = 3

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 2/3 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি 100 হলে, বড় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = x
ছোট সংখ্যাটি = 2x/3

প্রশ্নমতে,
x + (2x/3) = 100
(3x + 2x)/3 = 100
5x/3 = 100
5x = 300
x = 60

প্রশ্ন: 8x² + 18x + 9 এর উৎপাদক গুলো কী কী?

সমাধান: 
8x² + 18x + 9 
= 8x² + 12x + 6x + 9
= 4x(2x + 3) + 3(2x + 3)
= (2x + 3)(4x + 3)

প্রশ্ন: x² = 11 + 2√30 হলে, x + 1/x এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x² = 11 + 2√30 
x² = 6 +  2√30 + 5
x² = (√6)² + 2 (√6)(√5) + (√5)²
x² = (√6 + √5)²
x = √6 + √5
1/x = 1/(√6 + √5)
1/x = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
1/x = (√6 - √5)/{(√6)² - (√5)²}
1/x = (√6 - √5)/(6 - 5)
1/x= √6 - √5

x + 1/x = √6 + √5 +√6 - √5 = 2√6

প্রশ্ন: - 16x + 3x² - 12 এর একটি উৎপাদক হলো-

সমাধান: 
- 16x + 3x² - 12
= 3x² - 16x - 12
= 3x² - 18x + 2x - 12
= 3x(x - 6) + 2(x - 6)
= (x - 6)(3x + 2)

প্রশ্ন: ।6 - 2x। < 8 এর সমাধান হলো- 

সমাধান: 
।6 - 2x। < 8
- 8 < 6 - 2x < 8
- 8 - 6 <  6 - 2x - 6 < 8 - 6
- 14 < - 2x < 2
- 14/2 < - 2x/2 < 2/2
- 7 < - x < 1
- 7( - 1) > - x( - 1) > 1( - 1)
7 > x > - 1
- 1 < x < 7

প্রশ্ন: a - 1/a = 11 হলে (a⁴ + 1)/a² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a - 1/a = 11

(a⁴ + 1)/a²
= a⁴/a² + 1/a²
= a² + 1/a²
= (a - 1/a )² + 2a.1/a
= 11² + 2
= 121 + 2
= 123

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 552 টাকা চাঁদা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি
ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা x  জন।
প্রত্যেকের সহপাঠীর সংখ্যা হবে (x - 1) জন।

প্রশ্নমতে,
x(x - 1) = 552
বা, x² - x - 552 = 0
বা, x² - 24x + 23x - 552 = 0
বা, x(x - 24) + 23(x - 24) = 0
(x + 23)(x - 24) = 0

হয়                                     
x + 23 = 0                              
x =- 23   [মানুষের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]                              

অথবা 
 x - 24 = 0
x = 24

ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা = 24 জন।

প্রশ্ন: 5(3 - 2x) ≤ 3(4 - 3x) হলে - 

সমাধান: 
5(3 - 2x) ≤ 3(4 - 3x)
15 - 10x ≤ 12 - 9x
15 - 10x - 15 ≤ 12 - 9x - 15
- 10x ≤ - 9x - 3
- 10x + 9x ≤ - 9x - 3 + 9x
- x ≤ - 3 
- x( - 1) ≥ - 3( - 1)
x ≥ 3

প্রশ্ন: x + 1/x = 1 হলে (x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) এর মান কত? 

সমাধান: 
x + 1/x = 1
(x + 1/x)² = 1²
x² + 2x.1/x + (1/x)² = 1
x² + 2 + 1/x² = 1
x² + 1/x² = 1 - 2
x² + 1/x² = - 1
(x² + 1/x²)² = (- 1)²
(x²)² + 2.x².1/x² + (1/x²) = 1
x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 1
x⁴ + 1/x⁴ = 1 - 2
x⁴ + 1/x⁴ = - 1


(x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) = (- 1)(- 1) = 1

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা x জন

প্রশ্নমতে,
30(47 - x) + 60x = 1680
বা, 1410 - 30x + 60x = 1680
বা, 30x = 1680 - 1410
বা, 30x = 270
বা, x = 9

প্রশ্ন: x²  - y² - 1 + 2y এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x²  - y² - 1 + 2y
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)² 
= {x + (y - 1)}{x - (y - 1)}
 =(x + y - 1)(x - y + 1)

প্রশ্ন: x⁴ + 1 = 51x² হলে x - 1/x এর মান কত?

সমাধান: 
 x⁴ + 1 = 51x² 
x⁴/x² + 1/x² = 51x²/x²
x² + 1/x² = 51
(x)² + (1/x)² = 51
(x - 1/x)² + 2.x.1/x = 51
(x - 1/x)² + 2 = 51
(x - 1/x)² = 49
x - 1/x = ± 7

প্রশ্ন: ax - by = a - b, ax + by = a + b হলে x +  y এর মান কত? 

সমাধান: 
 ax - by = a - b.................(1)
ax + by = a + b.................(2)


 (1) + (2) ⇒
ax - by + ax + by = a - b + a + b
2ax = 2a
x = 2a/2a
x = 1

(2) ⇒ 
ax + by = a + b
1. a + by = a + b
a + by = a + b
by = a + b - a
by = b
y = 1

x + y = 1 + 1 = 2