Math Master

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি 180°।
ধরি, কোণ দুটি হলো 13x এবং 5x।
শর্তমতে,
13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180° / 18
⇒ x = 10°
∴ প্রথম কোণটি = 13x = 13 × 10° = 130°
এবং দ্বিতীয় কোণটি = 5x = 5 × 10° = 50°
সুতরাং, কোণ দুটির পরিমাণ হলো 130° এবং 50°।

• দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে তাদেরকে সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles) বলা হয়।

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৪৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° এবং বাকি দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ, যাদের সমষ্টি ৯০°।
ধরি, ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্মকোণটি হলো ক।
তাহলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটি হবে (ক + ৪৫)°।
শর্তমতে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০°।
ক + (ক + ৪৫) = ৯০°
⇒ ২ক + ৪৫ = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪৫°
⇒ ২ক = ৪৫°
⇒ ক = ৪৫°/২
∴ ক = ২২.৫০°
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটির মান হলো ২২.৫০°।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৫০ বার ঘোরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
চাকা ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০/৬০ বার
​= ৫/২ বার

গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ৫/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে =(৩৬০° × ৫)/২
​ = ৯০০°

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ৮ কি.মি. পূর্ব দিকে যায় এবং তারপর ১৫ কি.মি. দক্ষিণ দিকে যায়। যাত্রা শুরুর স্থান থেকে গাড়িটির বর্তমান অবস্থানের সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?
​
​সমাধান: 
​প্রথমে ৮ কি.মি. পূর্ব দিকে যায়।
​পরে ১৫ কি.মি. দক্ষিণ দিকে যায়।

​পূর্ব দিকে এবং দক্ষিণ দিকে যাত্রা পরস্পর লম্ব হওয়ায়, এই দুটি দূরত্ব একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহু (ভূমি এবং লম্ব) তৈরি করে। সর্বনিম্ন দূরত্বটি হবে ত্রিভুজটির অতিভুজ।
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, 
​অতিভুজ^২ = ভূমি^২+ লম্ব^২
​বা, অতিভুজ = √(৮^২ + ১৫^২)
​বা, অতিভুজ = √(৬৪ + ২২৫)
​বা, অতিভুজ = √২৮৯
​বা, অতিভুজ = ১৭ 

​অতএব, যাত্রা শুরুর স্থান থেকে গাড়িটির বর্তমান অবস্থানের সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১৭ কি.মি.।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের ব্যাস = 2r
এবং বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 60
⇒ 2r(π - 1) = 60
⇒ 2r{(22/7) - 1} = 60
⇒ 2r{(22 - 7)/7} = 60
⇒ 2r(15/7) = 60
⇒ r = (60 × 7)/(2 × 15)
⇒ r = 420/30
∴ r = 14

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14 সেমি।

প্রশ্ন: বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-কে কী বলা হয়?

সমাধান:
- বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা-কে ব্যাস বলা হয়। ব্যাস বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায় এবং বৃত্তকে দুটি সমান অর্ধবৃত্তে বিভক্ত করে।

​• ব্যাস (Diameter):
​ - ব্যাস হলো একটি বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা। এটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত দুটি বিন্দুর মধ্যে সবচেয়ে দীর্ঘতম সংযোজক রেখাংশ।
​- একটি বৃত্তে অসংখ্য জ্যা থাকতে পারে, কিন্তু ব্যাস হলো সেই নির্দিষ্ট জ্যা যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে।
​- ব্যাসের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের (radius) দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হয়। অর্থাৎ, ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ।
​- ব্যাস বৃত্তটিকে দুটি সমান অংশে ভাগ করে, যাদেরকে অর্ধবৃত্ত (semicircle) বলা হয়।

​• জ্যা (Chord) হলো বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ। ব্যাস একটি বিশেষ ধরনের জ্যা।

​• ব্যাসার্ধ (Radius) হলো বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্ব।

​• চাপ (Arc) হলো বৃত্তের পরিধির একটি অংশ।

​• পরিধি:
​-  পরিধি হলো কোনো বৃত্তের বাইরের সম্পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য। অর্থাৎ, একটি বৃত্তের একপ্রান্ত থেকে শুরু করে পুরো বৃত্তাকার পথে ঘুরে আবার সেই একই প্রান্তে ফিরে এলে যে দূরত্ব অতিক্রম করা হয়, তাকেই ঐ বৃত্তের পরিধি বলা হয়। একে ইংরেজিতে Circumference বলা হয়।

প্রশ্ন: নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

সমাধান:
​আমরা জানি,
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের (বৃহত্তম বাহুর) বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

অপশন (ক): ২, ৩, ৪
বৃহত্তম বাহু = ৪ ⇒ ৪^২ = ১৬
অন্য দুই বাহু: ২^২ + ৩^২ = ৪ + ৯ = ১৩
যেহেতু ১৬ ≠ ১৩, তাই সমকোণী নয়।

অপশন (খ) ৫, ১২, ১৩
বৃহত্তম বাহু = ১৩ ⇒ ১৩^২ = ১৬৯
অন্য দুই বাহু: ৫^২ + ১২^২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯
যেহেতু ১৬৯ = ১৬৯, তাই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

অপশন (গ) ৬, ৮, ১০
বৃহত্তম বাহু = ১০ ⇒ ১০^২ = ১০০
অন্য দুই বাহু: ৬^২ + ৮^২ = ৩৬ + ৬৪ = ১০০
যেহেতু ১০০ = ১০০, তাই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
​
​সুতরাং, (খ) ও (গ) উভয়ের ক্ষেত্রেই সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ? 

​সমাধান:
​প্রবৃদ্ধ কোণ হলো সেই কোণ যার মান ১৮০° থেকে বড় এবং ৩৬০° থেকে ছোট। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ২১০° একমাত্র কোণ যা এই শর্ত পূরণ করে (১৮০° < ২১০° < ৩৬০°)।
​∴ ২১০° একটি প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle)।

উল্লেখ্য,
​• ১৮০° হলো একটি সরলকোণ, যা একটি সরলরেখা বরাবর গঠিত হয়।
​• ৬০° হলো একটি সূক্ষ্মকোণ, কারণ এর মান ৯০° এর থেকে ছোট।
​• ১৬৫° হলো একটি স্থূলকোণ, কারণ এর মান ৯০° থেকে বড় কিন্তু ১৮০° থেকে ছোট।
​• ৩৬০° কোণকে পূর্ণকোণ বা সম্পূর্ণ কোণ বলা হয়। এটি একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন (Full Rotation) নির্দেশ করে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার, ১২ মিটার এবং ১৬ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
​আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

​এখানে, বৃহত্তম বাহু = ১৬ মিটার
​এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৮ মিটার

​সুতরাং, এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১২ মিটার এর অর্ধেক।
​∴  দূরত্ব = ১২/২ = ৬ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান- 
​
​সমাধান:
​সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle) হলো এমন একটি ত্রিভুজ যার তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।

​আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
যেহেতু একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান,
∴ প্রতিটি কোণের মান = ১৮০°/৩ = ৬০°

​সুতরাং, একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান ৬০°।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 5 : 7 হলে, বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হলো 180°।
ধরি, কোণ তিনটি হলো যথাক্রমে 3x, 5x এবং 7x।
শর্তমতে,
3x + 5x + 7x = 180°
⇒ 15x = 180°
⇒ x = 180°/15
⇒ x = 12°
সুতরাং, বৃহত্তম কোণটি হলো 7x
∴ বৃহত্তম কোণ = 7 × 12° = 84°

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকে ∠B = 80° হলে, ∠A + ∠C = ?
​

সমাধান:
আমরা জানি, একটি সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান এবং এর যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180°।
এখানে, ∠B = 80°।
যেহেতু ∠A এবং ∠B সন্নিহিত কোণ,
অতএব, ∠A + ∠B = 180°
বা, ∠A + 80° = 180°
বা, ∠A = 180° - 80°
∴ ∠A = 100°
আবার, সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান হওয়ায়,
∠A = ∠C = 100°
সুতরাং, ∠A + ∠C = 100° + 100° = 200°

প্রশ্ন: 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-
​
​সমাধান:
​• রেডিয়ান: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

​ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করার সূত্র হলো: রেডিয়ান = ডিগ্রি × (π/180)

∴ 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে = 60° × (π/180)
​ = π/3 রেডিয়ান।

প্রশ্ন: ΔABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। GD = ৫ সেমি হলে AD = ?

সমাধান:
​
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (G) মধ্যমাকে (AD) ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ, AG : GD = ২ : ১
দেওয়া আছে, GD = ৫ সেমি।

প্রশ্নমতে,
​ AG : GD = ২ : ১
​ ⇒ AG/৫ = ২/১
​ ⇒ AG = ৫ × ২ 
​∴ AG = ১০

এখন, মধ্যমা AD = AG + GD
= ১০ সেমি + ৫ সেমি
= ১৫ সেমি