শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

• রূঢ়ি শব্দ: 
- যে শব্দ প্রত্যয় বা উপসর্গযোগে মূল শব্দের অর্থের অনুগামী না হয়ে অন্য কোন বিশিষ্ট অর্থ জ্ঞাপন করে, তাকে রূঢ়ি শব্দ বলে।
যেমন:
- সন্দেশ: সংবাদ (মূল অর্থ) - মিষ্টান্ন (পরিবর্তিত অর্থ)।
- চিকন: চকচকে (মূল অর্থ) - সরু (পরিবর্তিত অর্থ)।
- জ্যাঠামি: জেঠার ভাব (মূল অর্থ) - চাপল্য (পরিবর্তিত অর্থ)।
- প্রবীণ: প্রকৃষ্ট বীণাবাদক (মূল অর্থ) - বয়স্ক ব্যক্তি (পরিবর্তিত অর্থ)।

আরো কিছু রূঢ়ি শব্দ:
- বাঁশি, তৈল, প্রবীণ, সন্দেশ, বৎস, শুশ্রূষা ইত্যাদি।

অন্যদিকে,
--------------------
• যোগরূঢ় শব্দ:
সমাস নিষ্পন্ন যে সকল শব্দ সম্পূর্ণভাবে সমস্যমান পদসমূহের অনুগামী না হয়ে কোনো বিশিষ্ট অর্থ গ্রহণ করে, তাদের যোগরূঢ় শব্দ বলে।
যেমন:
- পঙ্কজ: পঙ্কে জন্মে যা। শৈবাল, শালুক, পদ্মফুল প্রভৃতি উদ্ভিত পঙ্কে জন্মে থাকে। কিন্তু ‘পঙ্কজ’ শব্দটি একমাত্র ‘পদ্মফুল’ অর্থেই ব্যবহৃত হয়।
- রাজপুত: ‘রাজার পুত্র’ অর্থ পরিত্যাগ করে  যোগরূঢ় শব্দ হিসেবে অর্থ হয়েছে ‘জাতিবিশেষ’।
- মহাযাত্রা: ‘মহাসমারোহে যাত্রা’ অর্থ পরিত্যাগ করে  যোগরূঢ় শব্দরূপে অর্থ ‘মৃত্যু’।
- জলধি: ‘জল ধারণ করে এমন’ অর্থ পরিত্যাগ করে একমাত্র ‘সমুদ্র’ অর্থেই ব্যবহৃত হয়।

• যৌগিক শব্দ:
যে সকঅল শব্দের ব্যুৎপত্তি গত অর্থ ও ব্যবহারিক অর্থ একই রকম, সেগুলোকে যৌগিক শব্দ বলে।
- অর্থাৎ, শব্দগঠনের প্রক্রিয়ায় যাদের অর্থ পরিবর্তিত হয় না, তাদেরকে যৌগিক শব্দ বলে।
যেমন:
- গায়ক = গৈ + ণক (অক); অর্থ: গান করে যে।
- কর্তব্য = কৃ + তব্য; অর্থ: যা করা উচিত।
- বাবুয়ানা = বাবু + আনা; অর্থ: বাবুর ভাব।
- মধুর = মধু + র ; অর্থ; মধুর মতো মিষ্টি গুণযুক্ত।
- দৌহিত্র = দুহিতা + ষ্ণ্য; অর্থ: কন্যার পুত্র, নাতি।
- চিকামারা = চিকা + মারা; অর্থ: দেওয়ালের লিখন।

উংস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি (২০১৯ সংস্করণ) এবং মাধ্যমিক বাংলা দ্বিতীয় পত্র, উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

• গঠনগত দিক থেকে শব্দকে ২ শ্রেণিতে ভাগ করা যায়।
যথা:
- মৌলিক শব্দ ও
- সাধিত শব্দ।

• মৌলিক শব্দ:
যে-সব শব্দ বিশ্লেষণ করা যোয় না বা ভেঙে আলাদা করা যায় না, গােটা শব্দটাই নিজে নিজেই সমপূর্ণ হয়ে আছে বা স্বয়ংসিদ্ধ, তাকে মৌলিক শব্দ বলে। মৌলিক শব্দ ভাঙতে চাইলেও তার ভগ্ন বা বিশ্লিষ্ট অংশের কোনাে অর্থ হয় না; সে কারণে অবিভাজ্য ও অর্থযুক্ত শব্দই মৌলিক শব্দ অর্থাৎ স্পষ্ট অর্থ ও অবিভাজ্যতাই মৌলিক শব্দের প্রধান বৈশিষ্ট্য।
যেমন- মা, পা, ঘােড়া, উট, বউ, গােলাপ, নাক, লাল, শাল, তিন, লতা ইত্যাদি।

• সাধিত শব্দ:
যেসব শব্দকে বিশ্লেষণ করলে তার মধ্যে এক বা একাধিক অর্থপূর্ণ অংশ থাকে, সেগুলােকে সাধিত শব্দ বলে। উপসর্গ বা প্রত্যয় যােগ করে অথবা সমাস প্রক্রিয়ায় সাধিত শব্দ তৈরি হয়।
যেমন- পরিচালক, গরমিল, সম্পাদকীয়, সংসদ সদস্য, নীলাকাশ, ডুবুরি, চলন্ত ইত্যাদি।
শব্দের দ্বিত্ব করেও সাধিত শব্দ হয়ে থাকে। যেমন: ফিসফিস, ধুমাধুম ইত্যাদি।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি (২০১৯ সংস্করণ) এবং ভাষা-শিক্ষা, ড. হায়াৎ মামুদ।

• উৎস বিবেচনায় বাংলা শব্দভাণ্ডারকে চার শ্রেণিতে বিভক্ত করা যায়: তৎসম, তদ্ভব, দেশি ও বিদেশি। এর মধ্যে তৎসম ও তদ্ভব শ্রেণিকে নিজস্ব উৎসের এবং দেশি ও বিদেশি শ্রেণিকে আগন্তুক উৎসের শব্দ হিসেবে গণ্য করা হয়।

• তদ্ভব শব্দ:
প্রাচীন ভারতীয় আর্যভাষা থেকে বিবর্তিত যেসব শব্দ বাংলা ভাষায় একেবারেই স্বতন্ত্র, সেগুলোকে তদ্ভব শব্দ বলা হয়। উদাহরণ: হাত, পা, কান, নাক, জিভ, দাঁত, হাতি, ঘোড়া, সাপ, পাখি, কুমির, কুমড়া ইত্যাদি।

• তৎসম শব্দ:
প্রাচীন ভারতীয় আর্যভাষা থেকে বিবর্তিত যেসব বাংলা শব্দের লিখিত চেহারা সংস্কৃত ভাষার শব্দের অনুরূপ সেগুলোকে তৎসম শব্দ বলে। যথা: পৃথিবী, আকাশ, গ্রহ, বৃক্ষ। সংস্কৃত ব্যাকরণ অনুসরণ করে গঠিত পারিভাষিক শব্দকেও তৎসম শব্দ বলা হয়। যথা: অধ্যাদেশ, গণপ্রজাতন্ত্রী, মহাপরিচালক, সচিবালয় ইত্যাদি।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ সংস্করণ) এবং বাংলা একাডেমি, আধুনিক বাংলা অভিধান।

• ইন্দো-ইউরোপীয় ভাষা গোষ্ঠীর শ্রেণিবিভাগ:
ইন্দো-ইউরোপীয় ভাষা গোষ্ঠীর প্রাচীন শাখা - ৯টি। আধুনিককালে অনেকে ১০টি বলেও উল্লেখ করেছেন।
আমরা যেহেতু আধুনিক যুগের মানুষ তাই সেহেতু আধুনিক মতকেই স্বীকার করবো।

ভাষাতাত্ত্বিক অধ্যাপক অ্যাসকোলি আদি ইন্দো-ইউরোপীয় ভাষাগোষ্ঠী থেকে সৃষ্ট ভাষাগুলোকে দুটো প্রধান ভাগে ভাগ করেছেন।
- একটি শতম (Satam) ও অন্যটি কেন্তম (Centum)।
- কেন্তম ও শতম এ বিভাজন হয়েছিলো মূলত কণ্ঠবর্ণের উচ্চারণ বৈশিষ্ঠ্য লক্ষ্য করে।
- এ বিভাজনের ফলে ইন্দো-ইউরোপীয় ভাষা গোষ্ঠির অন্তর্ভূক্ত ভাষাগুলোর ভেতর একটি ভৌগোলিক বিভাজনও হয়।
- অ্যাসকোলির ধারণা - কেন্তম গোষ্ঠীর ভাষাগুলো সব পশ্চিমের আর শতম গোষ্ঠির ভাষাগুলো সব পূর্বের।

• বর্তমানকালে হিত্তি বা হিত্তিক (Hittic) ভাষা ইন্দো-ইউরোপীয় গোষ্ঠীর দশম শাখা হিসেবে পরিচিত।
- ড. মুহম্মদ শহীদুল্লাহর মতে, এশিয়া মাইনরে প্রায় দেড় হাজার খ্রিস্টপূর্বে হিত্তি (হিত্তিক) ভাষা প্রচলিত ছিল। এবং তোখারিক (তুখারিক) ভাষা মধ্য এশিয়ায় খ্রিস্টীয় অষ্টম শতক পর্যন্ত জীবিত ছিল।

উৎস: ইন্দো-ইউরোপীয় থেকে বাংলা (বাংলা ভাষার ইতিহাস), রেজাউল ইসলাম।

• ‘ত’ অঘোষ ব্যঞ্জনধ্বনির উদাহরণ।

• ধ্বনির কম্পনমাত্রা অনুযায়ী বিভাজন:
ব্যঞ্জনধ্বনি উচ্চারণের সময়ে স্বরযন্ত্রের ধ্বনিদ্বারে বায়ুর কম্পন কমবেশি হওয়ার ভিত্তিতে ব্যঞ্জনধ্বনিকে দুই ভাগে ভাগ করা যায়: ঘােষ ও অঘোষ।

• ঘােষ ব্যঞ্জন:
যেসব ধ্বনি উচ্চারণের সময়ে ধ্বনিদ্বারের কম্পন অপেক্ষাকৃত বেশি, সেসব ধ্বনিকে বলা হয় ঘােষধ্বনি।
যথা: ব, ভ, ম, দ, ধ, ন, র, ল, ড, ঢ, ড়, ঢ়, জ, ঝ, গ, ঘ, ঙ, হ।

• অঘোষ ব্যঞ্জন:
যেসব ধ্বনি উচ্চারণের সময়ে ধ্বনিদ্বারের কম্পন অপেক্ষাকৃত কম, সেসব ধ্বনিকে বলা হয় অঘােষধ্বনি।
যথা: প, ফ, ত, থ, স, ট, ঠ, চ, ছ, শ, ক, খ।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২সংস্করণ)।

৭ই মার্চের ভাষণ:
- ১৯৭০ সালের নির্বাচনে সামরিক সরকার নির্বাচিত প্রতিনিধিদের হাতে ক্ষমতা হস্তান্তর না করায় পাকিস্তানের রাজনৈতিক অঙ্গনে এক অস্থিরতা সৃষ্টি হয়।
- পূর্ব ঘোষণা অনুযায়ী ১৯৭১ সালের ৭ই মার্চ রেসকোর্স ময়দানের সমাবেশে লক্ষ লক্ষ জনতার ঢল নামে।
- ২৫ মার্চ আহূত জাতীয় পরিষদের অধিবেশনে যোগদানের জন্য ভাষণে চারটি দাবী উপস্থাপন করা হয়। 
এগুলো হলো:
১. চলমান সামরিক আইন প্রত্যাহার;
২. সৈন্যদের ব্যারাকে ফিরিয়ে নেওয়া;
৩. গণহত্যার তদন্ত করা এবং
৪. নির্বাচিত প্রতিনিধিদের হাতে ক্ষমতা হস্তান্তর করা। 

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি।

- পাকিস্তানের সামরিক শাসক ইয়াহিয়া খান আওয়ামী লীগের হাতে ক্ষমতা হস্তান্তর না করে জাতীয় পরিষদের অধিবেশন ১লা মার্চ স্থগিত ঘোষণা করেন।
- এ ঘোষণার প্রতিবাদে পূর্ব পাকিস্তানের ছাত্র, শ্রমিক, সরকারি-বেসরকারি কর্মকর্তা-কর্মচারী তথা সাধারণ মানুষ বিক্ষোভে ফেটে পড়ে।
- বিভিন্ন স্থানে জনতা পাকিস্তানি সেনাদের আক্রমণ করে।
- সারাদেশে বিচ্ছিন্ন সংঘর্ষে বহু লোক নিহত ও আহত হয়।
- ২রা মার্চ দেশব্যাপী ধর্মঘট আহ্বান করা হয়।
- ১৯৭১ সালের ২রা মার্চ ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ে আয়োজিত এক ছাত্র সমাবেশে প্রথম বাংলাদেশের পতাকা উত্তোলন করা হয়।
- ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের কলাভবনে বাংলাদেশের মানচিত্র খচিত প্রথম পতাকা উঠান ডাকসুর ভিপি আ স ম আবদুর রব।

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি।

- ২০১৭ সালে '১৯৭১ সালে ৭ই মার্চ এর ভাষণ'কে বিশ্ব প্রামাণ্য ঐতিহ্য হিসেবে স্বীকৃতি দিয়েছে ইউনেস্কো(UNESCO).
- এটি 'Memory of the World International Heritage Register' এর তালিকায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।
- ৭ই মার্চ এর ভাষণকেই প্রথম পাণ্ডুলিপিবিহীন ও অলিখিত ঐতিহ্য হিসেবে স্বীকৃতি দেয়া হয়েছে।

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি।

বাংলাদেশ সরকার (মুজিবনগর সরকার) গঠন:
- ১৯৭১ সালের ২৫শে মার্চ পাকিস্তান সামরিক বাহিনী কর্তৃক গণহত্যা শুরু হলে বিচ্ছিন্নভাবে বাঙালিরা তাদের বিরুদ্ধে প্রতিরোধ গড়ে তোলে।
- মুক্তিযুদ্ধ সুষ্ঠুভাবে পরিচালনার জন্য ১০ই এপ্রিল গঠিত হয় বাংলাদেশের প্রথম সরকার।
- এ সরকার শপথ গ্রহণ করে ১৭ই এপ্রিল মেহেরপুর জেলার বৈদ্যনাথতলায়।
- শপথ অনুষ্ঠানে বিপুলসংখ্যক দেশি-বিদেশি সাংবাদিক ও গণ্যমান্য ব্যক্তি উপস্থিত ছিলেন।

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি।

মুজিবনগর সরকার:
রাষ্ট্রপতি- বঙ্গবন্ধু শেখ মুজিবুর রহমান
উপ-রাষ্ট্রপতি- সৈয়দ নজরুল ইসলাম (বঙ্গবন্ধুর অনুপস্থিতিতে অস্থায়ী রাষ্ট্রপতি)
প্রধানমন্ত্রী- তাজউদ্দীন আহমদ
অর্থমন্ত্রী- ক্যাপ্টেন এম. মনসুর আলী
স্বরাষ্ট্র, ত্রাণ ও পুনর্বাসন, কৃষি মন্ত্রী- এ.এইচ.এম কামারুজ্জামান
পররাষ্ট্র, আইন ও সংসদ বিষয়ক মন্ত্রী- খন্দকার মোশতাক আহমদ
প্রধান সেনাপতি- কর্নেল (অব.) এম.এ.জি ওসমানী
চিফ অব স্টাফ- লে. কর্নেল (অব.) আবদুর রব
ডেপুটি চিফ অব স্টাফ- গ্রুপ ক্যাপ্টেন এ.কে. খন্দকার

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি।

মুক্তিযুদ্ধ পরিচালনা:
- ১০ই এপ্রিল মুজিবনগর সরকার গঠিত হওয়ার পর মুক্তিযুদ্ধ পরিচালনার জন্য সামরিক, বেসামরিক জনগণকে নিয়ে একটি মুক্তিযোদ্ধা বাহিনী গড়ে তোলার উদ্যোগ গ্রহণ করা হয়।
- ১০ই এপ্রিল সরকার ৪টি সামরিক জোনে বাংলাদেশকে ভাগ করে ৪ জন সেক্টর কমান্ডার নিযুক্ত করে।
- ১১ই এপ্রিল তা পুনর্গঠিত করে ১১টি সেক্টরে বিভক্ত করা হয়।
- এ ছাড়া বেশ কিছু সাব-সেক্টর এবং তিনটি ব্রিগেড ফোর্স গঠিত হয়।
- এসব সেক্টরে পাকিস্তান সেনাবাহিনীতে কর্মরত বাঙালি সেনা কর্মকর্তা, সেনাসদস্য, পুলিশ, ইপিআর, নৌ ও বিমানবাহিনীর সদস্যগণ যোগদান করেন।
- প্রতিটি সেক্টরেই নিয়মিত সেনা, গেরিলা ও সাধারণ যোদ্ধা ছিল।
- এরা মুক্তিযোদ্ধা বা মুক্তিফৌজ নামে পরিচিত ছিল।
- এসব বাহিনীতে দেশের ছাত্র, যুবক, নারী, কৃষক, রাজনৈতিক দলের কর্মী-সমর্থক, শ্রমিকসহ বিভিন্ন শ্রেণি পেশার মানুষ অংশ নিয়েছিল।
- ভারতের বিভিন্ন প্রশিক্ষণ ক্যাম্পে প্রশিক্ষণ শেষে যোদ্ধাগণ দেশের অভ্যন্তরে প্রবেশ করে পাকিস্তানি সামরিক ছাউনি বা আস্তানায় হামলা চালায়।
- মুক্তিযুদ্ধে সরকারের অধীন বিভিন্ন বাহিনী ছাড়াও বেশ কয়েকটি আঞ্চলিক বাহিনী দেশের অভ্যন্তরে স্বতঃস্ফূর্তভাবে গড়ে উঠেছিল।

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি।

শহিদ বুদ্ধিজীবী স্মৃতিসৌধ:
- বাঙালি জাতিকে মেধাশূন্য করার ষড়যন্ত্রের অংশ হিসেবে মুক্তিযুদ্ধের সময় অগণিত বুদ্ধিজীবীকে হত্যা করা হয়।
- পাকিস্তান সেনাবাহিনীকে মানবতাবিরোধী এই বর্বর কাজে সহায়তা করেছে রাজাকার ও আলবদর বাহিনী।
- পাকিস্তানি হানাদার বাহিনী চূড়ান্ত পরাজয়ের দুই দিন পূর্বে ১৪ই ডিসেম্বর অসংখ্য বুদ্ধিজীবীকে হত্যা করে।
- তাঁদের স্মৃতি অমর করে রাখার জন্য ঢাকার মিরপুরে শহিদ বুদ্ধিজীবী স্মৃতিসৌধ নির্মাণ করা হয়।
- এর স্থপতি ছিলেন মোস্তফা আলী কুদ্দুস।
- ১৯৭২ সালে এই স্মৃতিসৌধের নির্মাণকাজ শেষ হয়। 

উৎস: বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর 6 সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব 16 সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 192 বর্গ সে.মি. হয় তবে সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু = a সে.মি.
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = a + 6 সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুইটির লম্ব দূরত্ব, h = 16 সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 192 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
(1/2) × (a + a + 6) × 16 = 192
⇒ 8 × (2a + 6) = 192
⇒ 16a + 48 = 192
⇒ 16a = 144
∴ a = 9

∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু = 9 সে.মি.
এবং ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = (9 + 6) = 15 সে.মি.

∴ সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = (9 + 15) = 24 সে.মি.

প্রশ্ন: tan⁡A + cot⁡A = 2 হলে, sin⁡A এর মান কত?

সমাধান:
tan⁡A + cot⁡A = 2
⇒ {(sinA/cosA) + (cosA/sinA)} = 2
⇒ (sin²A + cos²A)/(sinA.cosA) = 2
⇒ 1 = 2sinA.cosA
⇒ sin2A = 1
⇒ sin2A = sin90°
⇒ 2A = 90°
∴ A = 45°

এখন,
 sinA
= sin45°
= 1/√2

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 24 একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় 13 একক। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গএকক?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a একক এবং ভূমি b একক হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²) বর্গএকক

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 13 একক
ভূমির দৈর্ঘ্য = 24 একক

এখানে, a = 13 একক, b = 24 একক
∴ ক্ষেত্রফল = (24/4)√(4 × 13² - 24²) বর্গএকক
= 6√(4 × 169 - 576) বর্গএকক
= 6√(676 - 576) বর্গএকক
= 6√100 বর্গএকক
= 6 × 10 বর্গএকক
= 60 বর্গএকক

প্রশ্ন: যদি 7sin²θ + 3cos²θ = 4 হয় [যেখানে, θ = সূক্ষ্মকোণ] তাহলে tanθ is =?

সমাধান:
7sin²θ+3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 - sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 - 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30^∘
⇒ θ = 30^∘

∴ tan30^∘ =1/√3

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 7 : 8। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 7
∴ ক্ষেত্রফল = π(7)² = 49π

এবং
অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8
∴ ক্ষেত্রফল = π(8)² = 64π

∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 49π : 64π
= 49 : 64

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, ও উচ্চতা যথাক্রমে 8 মি., 4 মি., ও 3 মি. হলে, ঐ ঘরের চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘরের দৈর্ঘ্য = 8 মি.,
ঘরের প্রস্থ = 4 মি. ও
ঘরের উচ্চতা = 3 মি.

আমরা জানি,
ঘরের চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = {2 × (দৈর্ঘ্য × উচ্চতা)} + {2 × (প্রস্থ × উচ্চতা)}
= (2 × 8 × 3) + (2 × 4 × 3) বর্গ মিটার
= 48 + 24 বর্গ মিটার
= 72 বর্গমিটার

∴ ঘরের চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 72 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: কোন বর্গের ক্ষেত্রফল ৩৬১ বর্গমিটার হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গের ক্ষেত্রফল = ২৮৯ বর্গমিটার

∴ বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = √৩৬১ = ১৯ মিটার

আমরা জানি,
বর্গের পরিসীমা = ৪a মিটার
= (৪ × ১৯) মিটার
= ৭৬ মিটার

প্রশ্ন: {5/sec²θ} + {2/(1+cot²θ)} + 3sin²θ = কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: cosecθ + cotθ = 2 হলে, cosecθ - cotθ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecθ + cotθ = 2

আমরা জানি,
cosec²θ + cot²θ = 1
⇒ (cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ) = 1
∴ cosecθ - cotθ = 1/2