শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: x² - ax - 2ab + 2xb এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
x² - ax - 2ab + 2xb
= x² + 2xb - ax - 2ab
= x(x + 2b) - a(x + 2b)
= (x + 2b)(x - a)

প্রশ্ন: 3/(y + 1) = 4/(y - 2) হলে, y এর মান কত?

সমাধান: 
3/(y + 1) = 4/(y - 2)
or, 4(y + 1) = 3(y - 2)
or, 4y + 4 = 3y - 6
∴ y = - 10

প্রশ্ন: x² + y² = 10 এবং x - y = 4 হলে, (x, y) = ?

সমাধান: 
x² + y² = 10
x - y = 4............(i)

x² + y² = 10
বা, (x - y)² + 2xy = 10
বা, 2xy = 10 - 16
∴ xy = - 3

x + y = √{(x - y)² + 4xy}
= √{(4)² + (-12)}
= 2
∴ x + y = 2............(ii)

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,
2x = 6
x = 3

(ii) নং হতে পাই,
3 + y = 2
y = - 1

∴ (x, y) = (3, - 1)

প্রশ্ন: x⁴ + x² + 1 এর একটি উৎপাদক x² + x + 1 হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান: 
x⁴ + x² + 1
= x⁴ + 2x² + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + 1 + x)(x² + 1 - x)

∴ অপ্র উৎপাদকটি হল (x² + 1 - x)

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ৫। সংখ্যাটির সাথে ৯ যোগ করেল অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটির কত?

সমাধান: 
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক ক এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক খ।

∴ ক + খ = ৫...............(i)

প্রশ্নমতে,
১০খ + ক + ৯ = ১০ক + খ
বা, ৯ক - ৯খ = ৯
বা, ক - খ = ৯/৯
∴ ক - খ = ১...............(ii)

(i), (ii)  যোগ করে পাই,
২ক = ৬
ক = ৩

(I) নং হতে পাই,
খ = ৫ - ৩ = ২

∴ সংখ্যাটি = ২৩

প্রশ্ন: a⁴ - 17a² + 52 এর একটি উৎপাদক হচ্ছে - 

সমাধান: 
ধরি,
p(a) = a⁴ - 17a² + 52
∴ p(2) = (2)⁴ - 17(2)² + 52
= 16 - 68 + 52
= 0

∴ (a - 2), p(a) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: x + 3y = 7 এবং y = x/4 হলে, x² + 3xy এর মান কত?

সমাধান: 
x + 3y = 7.....(i)

y = x/4
x = 4y.......(ii)

(i) নং সমীকরন হতে পাই,
x + 3y = 7
4y + 3y = 7
7y = 7
y = 1

(ii) নং হতে পাই,
x = 4

প্রদত্ত রাশি: x² + 3xy
= (4)² + 3.4.1
= 16 + 12
= 28

প্রশ্ন: p³ - p² কে (p - 3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে - 

সমাধান: 
ধরি,
f(p) = p³ - p²
∴ f(3) = 3³ - 3²
= 27 - 9
= 18

প্রশ্ন: 2x + y = 7 এবং 3x + y = 10 হলে, x ও y এর মান কত?

সমাধান: 
2x + y = 7............(i)
3x + y = 10.........(ii)

(ii) - (i) করে পাই,
3x + y - 2x - y = 10 - 7
x = 3

(i) নং হতে পাই,
6 + y = 7
or, y = 7 - 6
∴ y = 1

প্রশ্ন: (7x/3) + (3/5) = (2x/5) - (4/3) হলে, x + 3 = ?

সমাধান:
7x/3 + 3/5 = 2x/5 - 4/3
বা, (35x + 9)/15 = (6x - 20)/15
বা, 35x + 9 = 6x - 20
বা, 35x - 6x = - 20 - 9
বা, 29x = - 29
∴ x = - 1

∴ x + 3 = - 1 + 3 = 2

প্রশ্ন: x³ - 3x² + 4x + a এর একটি উৎপাদক (x - 2) হলে, a এর মান কত?

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = x³ - 3x² + 4x + a
x³ - 3x² + 4x + a এর একটি উৎপাদক (x - 2) হলে,
f(2) = 0 হবে,

f(2) = (2)³ - 3(2)² + 8 + a
= 8 - 12 + 8 + a
= 4 + a

∴ 4 + a = 0
a = - 4

প্রশ্ন: y/x = 1/3 এবং x + 3y = 12 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
y/x = 1/3
x = 3y

x + 3y = 12
or, 3y + 3y = 12
or, 6y = 12
∴ y = 2

x = 3 × 2 = 6

প্রশ্ন: যদি 3x - 2y - z = 32 + z এবং √(3x) - √(2y + 2z) = 4 হয়, তাহলে x + y + z = ?

সমাধান: 
3x - 2y - z = 32 + z
3x - 32 = 2y + 2z.........(i)

√(3x) - √(2y + 2z) = 4...........(ii)
বা, √(3x) - √(3x - 32) = 4
বা, √(3x) - 4 = √(3x - 32)
বা, 3x + 16 - 8√(3x) = 3x - 32 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই]
বা, 8√(3x) = 48 
বা, √(3x) = 6
বা, 3x = 36
∴ x = 12

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই।
36 - 32 = 2(y + z)
y + z = 2

∴ x + y + z = 12 + 2 = 14

প্রশ্ন: (x + 4)(x - 4) কে (x + 2)(x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
(x + 4)(x - 4) বা, (x² - 16) কে (x + 2)(x - 2) বা, (x² - 4) দেয়ারা ভাগ করে পাই,

x² - 4 ) x² - 16 ( 1
            x² - 4
---------------------
                - 12

অর্থাৎ - 12  অবশিষ্ট থাকবে।

প্রশ্ন: a = 2c = 4b এবং abc = 8 হলে, a + b + c = ?

সমাধান: 
a = 4b
2c = 4b
∴ c = 2b

abc = 8
or, 4b × b × 2b = 8
or, 8b³ = 8
or, b³ = 1
∴ b = 1

∴ a = 4
∴ c = 2

∴ a + b + c = 4 + 2 + 1 = 7

প্রশ্ন: x² - 3x - 4 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
x² - 3x - 4
= x² - 4x + x - 4
= x(x - 4) +1(x - 4)
= (x - 4)(x + 1)

প্রশ্ন: (a - 1)x² + a²xy + (a + 1)y² এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
(a - 1)x² + a²xy + (a + 1)y²
ধরি,
a - 1 = m .........(i)
a + 1 = n..........(ii)

(i) নং এবং (ii) নং গুণ করে পাই,
a² = mn + 1

মূল সমীকরণ হতে পাই,
mx² + (mn + 1)xy + ny²
= mx² + mnxy + xy + ny²
= mx(x + ny) + y(x + ny)
= (x + ny)(mx + y)
= (x + ay + y)(ax - x + y)

প্রশ্ন: 5x + 12 = 37 হলে, x - 4 = ?

সমাধান:
5x + 12 = 37
5x = 37 - 12
5x = 25
x = 5

∴ x - 4 = 5 - 4 = 1

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৩ গুণ হতে ১১ বিয়োগ করে অর্ধেক করলে ২৫ হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
(3x - 11)/2 = 25
বা, 3x - 11 = 50
বা, 3x = 61
বা, x = 61/3

প্রশ্ন: (x - 1) নিচের কোন সমীকরণের একটি উৎপাদক?

সমাধান: 
অপশন ১:
x² + 3x - 4
= x² + 4x - x - 4
= (x - 1)(x + 4)

অপশন ২:
x² + 3x + 2
= x² + 2x + x + 2
= (x + 1)(x + 2)

অপশন ৩:
x² - x - 2
= x² - 2x + x - 2
= (x + 1)(x - 2)

অপশন ৪:
x² - x - 6
= x² - 3x + 2x - 6
= (x + 2)( x - 3)

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 2x + 17 = 29 - 4x হবে?

সমাধান:
2x + 17 = 29 - 4x
6x = 29 - 17
6x  = 12
x = 2

∴ x এর মান 2 হলে, 2x + 17 = 29 - 4x

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 124 এবং বৃহত্তম সংখ্যাটি x² + y² হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
বৃহত্তম সংখ্যাটি = x² + y² 
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = x² + y² - 1

প্রশ্নমতে,
(x² + y²)² - (x² + y² - 1)² = 124

প্রশ্ন: (x/3) + 1 = (x/4) + 1 হলে, x² এর মান কত?

সমাধান: 
(x/3) + 1 = (x/4) + 1
বা, (x + 3)/3 = (x + 4)/4
বা, 4x + 12 = 3x + 12
বা, 4x - 3x = 12 - 12
∴ x = 0

∴ x² = 0