শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা-

সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।

প্রশ্ন: ৪ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে ২ মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = ৪ মিটার
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = ২ মিটার

গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ ছোট গোলকের আয়তন
= {(৪/৩)πR^৩}/{(৪/৩)πr^৩}
= R^৩/r^৩
= ৪^৩/২^৩
= ৮
∴ ৮টি গোলক বানানো যাবে।

প্রশ্ন:

∠A এর পূরক কোণ কত?

সমাধান: 
∠A = 180° - 120° = 60°

∠A এর পূরক কোণ = 90° - 60° = 30°

প্রশ্ন: একটি বই এর মাত্রা কয়টি?

সমাধান: 
একটি বই এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা থাকে।
প্রত্যেকটি এক একটি মাত্রা।
তাই একতি বই এর মাত্রা ৩টি

কিন্তু বই এর পাতার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ থাকে কিন্তু উচ্চতা নগন্ন বিধায় এইটা হিসাব করা হয় না
তাই বই এর পাতার মাত্রা ২টি।

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৮ গুণ হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান: 
ধরি,
কোণটি = ক
সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ক

∴ ক = ৮(১৮০° - ক)
বা, ৯ক = ১৪৪০°
বা, ক = ১৪৪০°/৯
∴ ক = ১৬০°

প্রশ্ন: ৩টি সমান্তরাল রেখা পরস্পরকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 

সমান্তরাল রেখা সবসময় পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।
অর্থাৎ নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু নেই যেখানে সমান্তরাল রেখাসমূহ পরস্পরকে ছেদ করে।

প্রশ্ন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৩৬π বর্গ একক এবং একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য ২ একক হলে, বৃত্তের কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r

∴ π(r)² = 36π
বা, r² = 36
∴ r = 6


চিত্রানুযায়ী,
OA = 6
AB = 2/1 = 1

OB = √{(6)² - (1)²}
= √35

∴ কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব √৩৫ একক

প্রশ্ন: ৭৫° এর সম্পূরক ও পূরক কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান: 
৭৫° এর সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৭৫)° = ১০৫°
৭৫° এর পূরক কোণ = (৯০ - ৭৫)° = ১৫°

পার্থক্য = ১০৫° - ১৫°
= ৯০°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ নয়?

সমাধান:
- ৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ১৭৮° কোণটি প্রবৃদ্ধ কোণ নয়।

প্রশ্ন: x এর সম্পূরক কোণ, তার পূরক কোণের দ্বিগুণের থেকে ১০° বেশি হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
x এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x
x এর পূরক কোণ = ৯০° - x

প্রশ্নমতে,
১৮০° - x = ২(৯০° - x) + ১০°
বা, ১৮০° - x = ১৮০° - ২x + ১০°
∴ x = ১০°

প্রশ্ন: যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক কত?

সমাধান:
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো x² + y² - 2gx - 2fy + c = 0, যেখানে (g, f) হলো কেন্দ্র এবং c হলো একটি ধ্রুবক।

প্রশ্নমতে,
- 2g = - 8
বা, 2g = 8
∴ g = 4

এবং, - 2f = 10
∴ f = - 5

∴ বৃত্তের কেন্দ্র (4, - 5)।

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৫/৭ গুণ। কোণটির পূরক কোণ কত?

সমাধান:
মনে করি,
কোণটি = x
∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = 180 - x

প্রশ্নমতে,
x = 5/7 × (180 - x) 
বা, 7x = 900 - 5x
বা, 12x = 900
∴ x = 75°

∴ কোণটির পূরক কোণ = 90 - 75 = 15°

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের একটি চাপ AB এর উপর OD লম্ব। বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. এবং AD = ৩ সে.মি. হলে, OD = ?

সমাধান:

OD² = OA² - AD²
= (5)² - (3)²
= 25 - 9
= 16
∴ OD = 4

প্রশ্ন:

ΔABC এবং ΔCDE সমকোণী ত্রিভুজ এবং ∠A = 60°. AB।।CD এবং CF, ∠ACD কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∠ACF এর মান কত?

সমাধান: 

∠ABC = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°
AB এবং CD পরস্পর সমান্তর এবং BE তাদের ছেদক।
∴ ∠ABC = ∠DCE = 30°

∴ ∠ACD = 180° - ∠ACB - ∠DCE
= 180° - 90° - 30°
= 60°

∴ ∠ACF = 60/2 = 30°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২৫% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কত কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
ধরি,
পূর্বের ব্যাসার্ধ = r
∴ পূর্বের ক্ষেত্রফল, a = πr²

২৫% বৃদ্ধি পেলে ব্যাসার্ধ = r + (r এর 25%)
= 5r/4
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = π(5r/4)²
= 25πr²/16
= 25a/16

বৃদ্ধি = 25a/16 - a
= 9a/16

∴ শতকরা বৃদ্ধি = {(9a/16)/a} 100%
= 56.25%

প্রশ্ন: AB এবং CD সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে ছেদ না করলে নিচের কোনটি সত্য নয়?

সমাধান: 

এখানে,
∠AOC = ∠BOD
এবং
∠AOD = ∠BOC

এছাড়া,
∠AOD + ∠AOC = দুই সমকোণ
∠BOD + ∠BOC = দুই সমকোণ

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ৪০° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = ৪০/২ = ২০°

প্রশ্ন: 

AB।।CD হলে, ∠BCA = ?

সমাধান: 
∠BAC = 40°

∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC
= 180 - 40° - 90°
= 50°

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ৫ হলে, পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৩ক এবং ৫ক

পরিধির অনুপাত = ২π(৩ক) : ২π(৫ক)
= ৩(২πক) : ৫(২πক)
= ৩ : ৫

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থ্যক ৬° হলে, ছোট কোণের মান কত?

সমাধান: 
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের  সমষ্টি = ৯০°
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য = ৬°

∴ ছোট কোণ = (৯০° - ৬°)/২
= ৪২°

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান: 
ধরি,
ব্যাস = d
ব্যাসার্ধ = r
∴ ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস তিনগুণ করা হলে ব্যাসার্ধ তিনগুণ হবে।

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)²
= 9πr²
= 9 × পূর্বের ক্ষেত্রফল

∴ ক্ষেত্রফল পূর্বের ৯ গুণ হবে।

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ১২° বেশি হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান: 
ধরি,
কোণটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক = ৯০° - ক + ১২°
বা, ২ক = ১০২°
বা, ক = ১০২°/২
= ৫১°