ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16πমিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

শর্তমতে,
2πr = 16π মিটার 
πr² = 64π বর্গমিটার‌।

এখন 
πr²/2πr = 64π/16π
বা, r/2 = 4
∴ r = 8

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2 × 8 = 16 মিটার

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ তৈরি হয় তাদের সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
একটি রশ্মির প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখা মিলিত হলে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টির দ্বিগুণ = (২ × ১৮০°) = ৩৬০°

যে কোনো চতুর্ভুজের অভ্যন্তরস্থ চারটি কোণের সমষ্টি ৩৬০°
দুটি পূরক কোণের সমষ্টি ৯০°

প্রশ্ন: x প্রবৃদ্ধ কোণ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
যে কোনের মান ১৮০ ডিগ্রি থেকে বেশি কিন্তু ৩৬০ ডিগ্রি থেকে কম, তাকে প্রবৃদ্ধ কোন বলা হয়।
অর্থাৎ, 180° < x < 360°

প্রশ্ন: কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণ এর একটি ১২৫°। অপর কোণটি কত হবে?

সমাধান:
সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০°
সুতরাং, ১২৫° + নির্ণেয় কোণ = ১৮০°
∴ নির্ণেয় কোণ = ১৮০° - ১২৫° = ৫৫°

প্রশ্ন: একটি তলের দৈর্ঘ্য 7 সে.মি. ও প্রস্থ শূন্য হলে তলটি - 

সমাধান:
কোনো তলের কেবল দৈর্ঘ্য থাকলে এবং প্রস্থ না থাকলে সেটি রেখা হবে।

প্রশ্ন: 4 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের অভ্যন্তরে অন্তঃবৃত্ত অঙ্কিত হলো। বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি. ?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 4² = 16 বর্গ সে.মি. 

তাহলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4/2 = 2 সে.মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π2²
= 4π
সুতরাং অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল = 16 - 4π

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩ । ত্রিভুজটি হবে -

সমাধান:
ধরি,
কোণ তিনটি x, 2x, 3x

শর্তমতে, x + 2x + 3x = 180°
⇒ 6x = 180°
⇒ x = (180/6)°
∴ x = 30°

∴ 3x = 90°
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সংলগ্ন কোণ দুটির প্রত্যেকটি -

সমাধান:
৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অন্য দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রী অর্থাৎ, এরা সূক্ষ্মকোণ।

প্রশ্ন:
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ΔABC অন্তর্লিখিত। ∠y = 126° হলে ∠x = কত?

সমাধান:
চিত্রে হতে পাই,
BO, AO এবং CO তিনটি ব্যাসার্ধ সমান।
BO এবং CO পরস্পর সমান। 
অতএব, BOC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। 
একটি ত্রিভুজ 180° হলে, ∠BOC = 126° হওয়ায় অপর দুইটি কোণ হবে (180° – 126°) বা 54°
ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু হওয়ায় ∠BOC = 54°/2 = 27°

 প্রশ্ন: চিত্রে XY এবং WZ দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক। সেক্ষেত্রে (∠a + ∠b)/2 এর মান নিচের কোনটি?


সমাধান: 

 প্রদত্ত চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক।
 ∠a + ∠b = 180°
∴ (∠a + ∠b)/2 = 180°/2 = 90°

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB, A বিন্দুতে স্পর্শক এবং ∠AOB = 45° হলে ∠ABO = কত?

সমাধান:

A বিন্দুতে AB রেখা বৃত্তের স্পর্শক AB, OA রেখা AB এর উপর লম্ব এবং ∠AOB = 45°
Δ AOB এ
∠AOB + ∠ABO + ∠OAB = 180°
বা, 45° + ∠ABO + 90° = 180°
বা, ∠ABO = 180° - 135°
∴ ∠ABO = 45°

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের একটি অন্ত:কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
সুষম ষড়ভুজের একটি অন্ত:কোণের পরিমাণ = {180° × (n - 2)}/n
= {180° × (6 - 2)}/6
= 720°/6
= 120°

প্রশ্ন: দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যাবে?

সমাধান:
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত আঁকা যাবে, কারণ নির্দিষ্ট বৃত্ত আঁকতে হলে তিনটি বিন্দু লাগবে।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে দুইটি বহি:স্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টির অর্ধেক কত?

সমাধান:

চিত্রানুসারে,
∠ACF = ∠A + ∠B ................... (1)
∠ABE = ∠A + ∠C ................... (2)
(1) + (2) হতে পাই,
∠ACF + ∠ABE = ∠A + ∠B + ∠C + ∠A
= 180° + ∠A
= 180° + 60° 
= 240° 

∴ কোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক = 240°/2 = 120°

প্রশ্ন:
চিত্র হতে ∠ADB এবং ∠BDC এর সাধারণ বাহু BD হলে, ∠BDC কে ∠ADB এর কী কোণ বলে?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি দুইটি কোণের একটি সাধারণে বাহু থাকে তবে একটি কোণকে অপর কোণের সন্নিহিত কোণ বলে।
চিত্র হতে ∠ADB এবং ∠BDC সাধারণ বাহু BD
∴ ∠BDC কে ∠ADB এর সন্নিহিত কোণ বলে।

প্রশ্ন:
চিত্র হতে y = কত?

সমাধান:
2x° ও 3x° পরস্পর সম্পূরক কোণ।
∴ 2x° + 3x° = 180°
বা, 5x° = 180°
∴ x = 36°

আবার,
3x° ও y + 20° পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ
3x° =  y + 20°
বা, y + 20° = 3 × 36°
বা, y + 20° = 108°
বা, y = 108° - 20°
∴ y = 88°

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানে অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি, কোণটি = x
আমরা জানি, সম্পূরক কোণের মান = 180°

প্রশ্নমতে,
x = (180° - x)/2
⇒ 2x = 180° - x
⇒ 2x + x = 180°
⇒ 3x = 180°
∴ x = 60°

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে, কেন্দ্র থেকে 4 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা = বৃত্তের ব্যাস = AB = 12 সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ = OB = OC = 12/2 = 6 সে.মি.
কেন্দ্র থেকে 4 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা CD এর উপর OE লম্ব। OE = 4 সে.মি.
চিত্র থেকে,
EC² = OC² - OE²
EC = √(6²- 4²) = √(36 - 16) = √20 = 2√5 সে.মি.
∴ CD = 2EC = 2 × 2√5 = 4√5 সে.মি.

দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য = 4√5 সে.মি.

প্রশ্ন: নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে ‍দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখানে,
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
৩ + ৮ = ১১ > ৮
২০ + ৮ = ২৮ > ১৩
কিন্তু, ১৪ + ১২ = ২৬ < ২৮
∴ ১৪, ১২, ২৮ সে.মি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: চর্তুভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি, 
১ম কোণ = x
২য় কোণ = 2x
৩য় কোণ = 2x
৪র্থ কোণ = 3x

আমরা জানি,
চর্তুভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
∴ x + 2x + 2x + 3x = 360°
বা, 8x = 360°
∴ x = 45°
ক্ষুদ্রতম কোণ = 45°
বৃহত্তম কোণ = (3 × 45°) = 135°

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর = 135° - 45° = 90°

প্রশ্ন: ৪১ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের যে কোনো একটি কোণকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে। বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান।

সুতরাং ৪১° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ হবে ৪১°।

প্রশ্ন: A, B, C, D বৃত্তে AB এবং CD দুইটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:

আমরা জানি,
সমান সমান জ্যা পরস্পর ছেদ করলে একটির খন্ডিত অংশ অপরটির অনুরূপ খন্ডিত অংশের সমান হয়।
∴ PB = PD

প্রশ্ন: যে সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের অন্তর ১২°, তার ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রী?

সমাধান:
x + y = 90°............... (i)
আবার,
x - y = 12° .................. (ii) 

এখন, (i) নং + (ii) নং থেকে পাই,
x + y + x - y = 90° + 12°
⇒ 2x = 102°
∴ x = 51°

(i)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
x + y = 90°
y = 90° - 51°
y = 39°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণটি 39°