প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল কোনটি? 

সমাধান: 
দুটি রাশির বর্গের অন্তরফল হবে- 
a² - b² = (a + b) (a - b)

কিছু গুরুত্বপূর্ণ বীজগাণিতিক সূত্র:
১। (a + b)² = a² + 2ab + b²
২। (a - b)² = a² - 2ab + b²
৩। (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

প্রশ্ন: (2x + 3y, 5) = (12, 3x - 2y) হলে, x ও y এর মান কত?

সমাধান:
2x + 3y = 12 ............. (1)
3x - 2y = 5 ............. (2)

(1) × 2 + (2) × 3 ⇒
4x + 6y + 9x - 6y = 24 + 15
⇒ 13x = 39
⇒ x = 3

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2x + 3y = 12
⇒ (2 × 3) + 3y = 12
⇒ 6 + 3y = 12
⇒ 3y = 12 - 6
⇒ 3y = 6
⇒ y = 2

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 2)

প্রশ্ন: 9x² - (2x - 3y)² = কত? 

সমাধান: 
9x² - (2x - 3y)² 
= (3x)² - (2x - 3y)² 
= {3x + (2x - 3y)} {3x - (2x - 3y)} 
= (3x + 2x - 3y) (3x - 2x + 3y) 
= (5x - 3y) (x + 3y)

প্রশ্ন: যদি f(x) = x³ + kx² - 4x - 8 কে (x + 3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হয়, তবে k এর মান কত? 

সমাধান: 
f(x) = x³ + kx² - 4x - 8 কে x + 3 বা x - (- 3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে, 
f(- 3) = (- 3)³ + k(- 3)² - 4(- 3) - 8
= - 27 + 9k + 12 - 8
= 9k - 23

শর্তানুসারে, 
9k - 23 = 4
বা, 9k = 4 + 23
বা, 9k = 27
বা, k = 27/9
∴ k = 3

প্রশ্ন: যদি a³ - b³ = 604 এবং a - b = 4 হয় তবে ab এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab (a - b) 
বা, 604 = (4)³ + 3ab. 4 
বা, 604 = 64 + 12ab 
বা, 12ab = 604 - 64 
বা, 12ab = 540
বা, ab = 540/12 
∴ ab = 45

প্রশ্ন: (x + 3) (x - 3) কে x² - 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে? 

সমাধান: 
(x + 3) (x - 3) 
= x² - 3² 
= x² - 9 

এখন, 
x² - 6)x² - 9 (1 
           x² - 6
_____________
                - 3 

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = - 3

প্রশ্ন: a = 15 এবং b = 6 হলে 9a² - 48ab + 64b²-এর মান কত? 

সমাধান: 
9a² - 48ab + 64b² 
= (3a)² - 2. (3a). (8b) + (8b)² 
= (3a - 8b)² 
= {3 × (15) - 8 × (6)}² 
= (45 - 48)² 
= (- 3)² 
= 9

প্রশ্ন: x + (1/x) = √5 হলে x³ + (1/x³) = কত? 

সমাধান:
x³ + (1/x³) 
= {x + 1/x)}³ - 3.x.1/x {x + (1/x)} 
= (√5)³ - 3.√5 
= 5√5 - 3√5 
= 2√5

প্রশ্ন: 4x⁴ + 1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি পাওয়া যায়? 

সমাধান: 
4x⁴ + 1 
= (2x²)² + (1)² 
= (2x²)² + 2.2x².1 + (1)² - 4x² 
= (2x² + 1)² - (2x)²  
= (2x² + 2x + 1) (2x² - 2x + 1)

প্রশ্ন: 16x² + 25y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে? 

সমাধান:
মনে করি, 
a যোগ করতে হবে 
∴ 16x² + 25y² + a 
= (4x)² + (5y)² + 2.4x.5y 
= (4x)² + (5y)² + 40xy 
∴ a = 40xy 

∴ 40xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y = কত? 

সমাধান: 
5xy + 28x - 2 = 0 
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0  [∴ y = - 4] 
বা, - 20x + 28x - 2 = 0 
বা, 8x - 2 = 0 
বা, 8x = 2 
বা, x = 2/8 
∴ x = 1/4 

∴ 4x + y = 4 × (1/4) + (- 4) 
= 1 -  4 
= - 3

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6 
= x²(x + 1) - x (x + 1) - 6 (x + 1) 
= (x + 1) (x² - x - 6) 
= (x + 1) (x² - 3x + 2x - 6) 
= (x + 1) {x (x - 3) + 2 (x -3)} 
= (x + 1) (x - 3) (x + 2) 

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1) (x + 2) (x - 3) ।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(4x/5) - (2x/3) = 12 
বা, (12x - 10x)/15 = 12 
বা, 12x - 10x = 180 
বা, 2x = 180 
বা, x= 180/2 
∴ x = 90 

∴ সংখ্যাটি = 90

প্রশ্ন: x² - y² + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক হলো-

সমাধান: 
 x² - y² + 4y - 4 
= x² - (y² - 4y + 4) 
= x² - {(y)² - 2. y. 2 + (2)²} 
= x² - (y - 2)² 
= {x + (y - 2)} {x - (y - 2)} 
= (x + y - 2) (x - y + 2)

প্রশ্ন: a²b³/c²d কে a³b²/cd³ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত? 

সমাধান: 
a²b³/c²d ÷ a³b²/cd³ 
= a²b³/c²d × cd³/a³b² 
= bd²/ca 

প্রশ্ন: (5x/6) + 3 এবং (x/3) + 10 পরস্পর সমান হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
(5x/6) + 3 =  (x/3) + 10 
বা, (5x/6) - (x/3) = 10 - 3 
বা, (5x - 2x)/6 = 7 
বা, 3x/6 = 7 
বা, x/2 = 7 
বা, x = 7 × 2 
∴ x = 14

প্রশ্ন: (x/y) + (y/x) = 3 হলে, (x²/y²) + (y²/x²) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x/y) + (y/x) = 3 

∴ (x²/y²) + (y²/x²)
= (x/y)² + (y/x)² 
= {(x/y) + (y/x)}² - 2. x/y. y/x 
= (3)² - 2 
= 9 - 2 
= 7 

প্রশ্ন: a = 2, b = 3 হলে 2a + 4b এর সাথে 2a² + a - b যোগ করলে যোগফল কত হবে? 

সমাধান: 
2a + 4b + 2a² + a - b 
= 2a² + 3a + 3b 
= 2 × (2)² + 3 × 2 + 3 × 3 
= 8 + 6 + 9 
= 23 

প্রশ্ন: (2x - 6, 5) = (4, 2y - 5) হলে, (x, y) এর মান কোনটি? 

সমাধান: 
2x - 6 = 4 
বা, 2x = 4 + 6 
বা, 2x = 10 
বা, x = 10/2 
∴ x = 5 

আবার, 
2y - 5 = 5 
বা, 2y = 5 + 5 
বা, 2y = 10 
বা, y = 10/2 
∴ y = 5 

∴ নির্ণেয় মান (x, y) = (5, 5) ।