Math Master

AB = 60m.
যা C বিন্দুতে ভেঙে যায়
এবং ∠ADC = 30°
ধরি,
AC = x,
BC = 60 - x
∴ CD = 60 - x

Sin30° = AC/CD = x/(60 - x)
বা, 1/2 = x/(60 - x)
বা, 2x = 60 - x
বা, 3x = 60
∴ x = 20 মিঃ.
অর্থ্যাৎ, খুঁটিটি 20 মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো।

Sinθ = 5/13 = লম্ব/অতিভূজ
∴ লম্ব = 5, অতিঃ = 13
∴ ভূমি = √(অতিঃ² - লম্ব²)
= √(13² - 5²)
= √(169 - 25)
= √144
= 12

∴ tanθ = লম্ব/ভূমি
= -5/12
[কারণ 90° < θ < 180° ∴ tanθ < 0]

দেওয়া আছে,
SinA + Sin²A = 1
বা, SinA = 1 - Sin²A
বা, SinA = cos²A
এখন, Cos²A + Cos⁴A
= Cos²A + (Cos²A)²
= Cos²A + Sin²A
= 1

(1 - tan²10°)/(1 + tan²10°)
= (1 - tan²A)/(1 + tan²A)
= Cos2A

Cosec²θ - Cot²θ = 1
বা, (Cosecθ + Cotθ)(Cosecθ - Cotθ) = 1
বা, Cosecθ - Cotθ = 1/(Cosecθ + Cotθ)
= 1/(5/2)
= 2/5
∴ Cosecθ - Cotθ = 2/5

অতিক্রান্ত দূরত্ব = ২৪ × ১০০ মিঃ
= ২৪০০ মিঃ
= ২ কিঃমিঃ ৪ হেক্টোমিঃ

দৈর্ঘ্য BC = ১৫ মিঃ
কর্ণ AC = ১৭ মিঃ
∴ প্রস্থ AB = √(AC² - BC²)
= √(১৭² - ১৫²)
= √৬৪
= ৮ মিঃ

∴ পরিসীমা = 2(AB + BC)
= ২(৮ + ১৫)
= ২ × ২৩
= ৪৬ মিঃ

ক্ষেত্রফল = 64 বর্গমিঃ
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = √64 মিঃ = 8 মিঃ
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = 8√2 মিঃ

বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিঃ
∴ ক্ষেত্রফল, (√3/4)a² = 16√3
বা, √3a² = 64√3
বা, a² = 64
∴ a = 8

∴ পরিসীমা = 3a
= 3 × 8
= 24 মিঃ

এখানে ভূমি b = 16 মিঃ
অপর বাহুর প্রতিটির দৈর্ঘ্য a = ?
∴ ক্ষেত্রফল = b/4.√(4a² - b²) = 48
বা, 16/4√(4a² - 16²) = 48
বা, 4√(4a² - 256) = 48
√(4a² - 256) = 12
বা, 4a² - 256 = 144
বা, 4a² = 256 + 144 = 400
বা, a² = 100
∴ a = 10

কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য a, b হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab
বা, (1/2)ab = 80
বা, ab = 160
বা, a = 160/b [b = 16]
বা, a = 160/16
বা, a = 10 সে.মি

এখানে,
h = 8 মিঃ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব)
ধরি,
সমান্তরাল বাহুদ্বয় = a, a + 2
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × h(a + 2 + a) = 40
বা, 8(2a + 2) = 80
বা, 2a + 2 = 10
বা, 2a = 8
∴ a = 4
∴ বৃহত্তমটির দৈর্ঘ্য = 4 + 2 = 6 মিঃ

মনে করি,
অতিভূজ = 6a মিঃ
∴ সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 6a × 5/6 = 5a মিঃ
∴ পরিসীমা, 6a + 5a + 5a = 32
বা, 16a = 32
∴ a = 2

∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = 5 × 2 = 10

∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 10 × 10 = 50 বর্গমিঃ

∠B = ∠D = 75°
∠ADE = 180° - ∠D
= 180° - 75°
= 105°

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ আয়তন a³ = ৩৪৩
∴ a = ৭
∴ একটি তলের ক্ষেত্রফল = a²
= ৪৯ বর্গমিঃ

মনেকরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r
∴ আয়তন = 4/3 π r³ = 288π
বা,  r³ = (288π × 3)/4π = 216
∴ r = ³√216 = 6
∴ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²
= 4π × 6²
= 144π বর্গমিঃ

ধরি,

বেলনের উচ্চতা h,
যেখানে ব্যাসার্ধ r = 3
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100
বা, πh = 100/2r = 100/(2 × 3) = 50/3
∴ আয়তন = πr²h
= r² × πh
= 3² × 50/3
= 150 ঘন সেঃমিঃ

অর্ধগোলকের আয়তন = 2/3πr³
যেখানে r ব্যাসার্ধ