শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ 160° হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অন্তঃস্থ কোণ = 160°
∴ বহিঃস্থ কোণ = 180° - অন্তঃস্থ কোণ 
= 180° - 160°
= 20°

∴ বাহুর সংখ্যা = 360°/20°
= 18

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৭টি হলে অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি হবে-

সমাধান: 
৭ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণ সমূহের সমষ্টি = (৭ - ২) × এক সরলকোণ
= ৫ × এক সরলকোণ
= ৫ × ২ সমকোণ
= ১০ সমকোণ

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।

এখানে,
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৩ + ৪ = ৭ > ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
২ + ৩ = ৫ = ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়
৫ + ৬ = ১১ > ৮ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ =  45°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b =10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin45°
= 50 × (1/√2)
= 50/√2
= (50 × √2)/2
= 25√2

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। বাগানটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
বাগানটির এক পাশের দৈর্ঘ্য = √(১০০০০)
= ১০০ মিটার

∴ বাগানটির পরিসীমা = ৪ × এক পাশের দৈর্ঘ্য
= ৪ × ১০০
= ৪০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
x/3 + x/3 + (4x)/3 = 180°
⇒ x + x + 4x = 3 × 180°
⇒ 6x = 3 × 180°
∴ x = 90°

∴ বৃহত্তম কোণ = (4 × 90°)/3 = 120°
ক্ষুদ্রতম কোণ = 90°/3 = 30°

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য = 120° - 30° = 90°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে ১৭ ও ১৩ সে মি এবং তাদের  দূরত্ব ৫ সে মি হলে, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে ১৭ ও ১৩ সে মি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = ১৭ + ১৩ = ৩০ সে মি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৫ সে মি

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (১/২) × ৩০ × ৫ বর্গ সে মি
= ১৫ × ৫ বর্গ সে মি
= ৭৫ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 36 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ পরিসীমা = 4a

প্রশ্নমতে,
4a = 36
∴ a = 9

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
= 9²
= 81 বর্গমিটার

প্রশ্ন: ABCD রম্বসের AC এবং BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে। AO = 6 সে.মি, BO = 4 সে.মি। AC ও BD দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
রম্বসের কর্ণদ্বয় এক অপরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
AC = 2AO = 2 × 6 = 12 সে.মি.
BD = 2BO = 2 × 4 = 8 সে.মি.

∴ AC + BD = (12 + 8) সে.মি. = 20 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান: 
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২

ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ১)^২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(a + ১)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ৩√৩
বা, a^২ + ২a + ১ - a^২ = ১২
বা, ২a = ১১
∴ a = ৫.৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৫.৫ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত পরস্পরকে সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

সমাধান: 

একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত পরস্পরকে সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।

অপর দিকে একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত পরস্পরকে নূন্যতম ২টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা সমান, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে পরিসীমা 3a একক।

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে পরিসীমা 4a একক।

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
এর পরিসীমা ৩ × ১২ = ৩৬ মিটার

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৩৬ মিটার
এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (৩৬/৪) = ৯ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের  অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৭ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৯ক = ১৮০°
∴ ক = ২০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ × ২০° = ১৪০°
বহিঃস্থ কোণ = ২ × ২০° = ৪০°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০° = ৯ টি

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা 2 সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা 2 সে.মি. বড়। ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = x = সে.মি.
লম্ব = x - 2 সে.মি.
অতিভুজ = x + 2 সে.মি.

সুতরাং,
(x + 2)² = x² + (x - 2)²
বা, x² + 4x + 4 = x² + x² - 4x + 4
বা, x² - 8x = 0
বা, x(x - 8) = 0
হয় x = 0

অথবা  x - 8 = 0
যা অসম্ভব।      

∴ x = 8

∴ ভূমি 8 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসেমি হলে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3
ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 2a এবং 3a

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 2a × 3a = 75
⇒ 6a²/2 = 75
⇒ 3a² = 75
⇒ a² = 75/3
⇒ a² = 25
∴ a = 5

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য  (2 × 5) = 10 সেমি এবং (3 × 5) = 15 সেমি।

প্রশ্ন: ΔABC এ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। BC বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে, DE বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 
 
সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
DE = (1/2)BC
= (1/2) × 12 সে.মি.
= 6 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 8
∴ অন্তঃস্থ কোণ, θ = 180° - (360°/n)
= 180° - (360°/8)
= 180° - 45° 
= 135° 

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার। ক্ষেত্রটির ভূমি ও উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
সামন্তরিকের ভূমি = ক মিটার
তাহলে, সামন্তরিকের উচ্চতা = ২ক মিটার

∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ক × ২ক
= ২ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
২ক^২ = ১২৮
বা, ক^২ = ১২৮/২
বা, ক^২ = ৬৪
∴ ক = ৮

∴ ভূমি = ৮ মিটার
∴ উচ্চতা = ২ × ৮ = ১৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
=  (১/২) × ৮ × ৯ 
= ৩৬ বর্গমিটার 

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ মিটার 
= ৬ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৬ × ৪ মিটার 
= ২৪ মিটার