Math Master

প্রশ্ন: 2x - 3y = - 4 এবং y + x = 5 এর সমাধান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x - 3y = - 4 ......... (1)
y + x = 5
⇒ y = 5 - x ............. (2)

(1) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,
2x - 3(5 - x) = - 4
⇒ 2x - 15 + 3x = - 4
⇒ 5x - 15 = - 4
⇒ 5x = - 4 + 15
⇒ 5x = 11
∴ x = 11/5

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 5 - (11/5)
⇒ y = (25 - 11)/5
∴ y = 14/5

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (11/5, 14/5)

প্রশ্ন: |x - 4| ≤ 5 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 2x + 3 ≤ q হবে?

সমাধান:
|x - 4| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ x - 4 ≤ 5
⇒ - 5 + 4 ≤ x - 4 + 4 ≤ 5 + 4
⇒ - 1 ≤ x ≤ 9
⇒ - 2 ≤ 2x ≤ 18
⇒ - 2 + 3 ≤ 2x + 3 ≤ 18 + 3
⇒ 1 ≤ 2x + 3 ≤ 21

যেখানে, p ≤ 2x + 3 ≤ q
∴ p = 1 এবং q = 21

প্রশ্ন: (x + 6) + 8 = 9(x + 7)  হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(x + 6) + 8 = 9(x + 7) 
⇒ x + 6 + 8 = 9x + 63
⇒ x + 14 = 9x + 63
⇒ x - 9x = 63 - 14
⇒ - 8x = 49
∴ x = - 49/8

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন: - 11 < x < - 3

সমাধান:
- 11 < x < - 3
∴ গড় = {(- 11) + (- 3)}/2
= - 14/2 
= - 7

∴ - 11 + 7 < x + 7 < - 3 + 7
⇒ - 4 < x + 7 < 4
⇒ ।x + 7। < 4

প্রশ্ন: 3x + 4y - 7 = 0 এবং y - 2x + 3 = 0 এর সমাধান কত?

সমাধান:
3x + 4y - 7 = 0 ......... (1)
y - 2x + 3 = 0
⇒ y = 2x - 3 ............ (2)

(1) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,
3x + 4(2x - 3) - 7 = 0
⇒ 3x + 8x - 12 - 7 = 0
⇒ 11x - 19 = 0
⇒ 11x = 19
∴ x = 19/11

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 2 · (19/11) - 3
⇒ y = (38/11) - 3
⇒ y = (38 - 33)/11
⇒ y = 5/11

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (19/11, 5/11)

প্রশ্ন: 3x - 7 > 14 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
x - 7 > 14
⇒ 3x - 7 + 7 > 14 + 7
⇒ 3x > 21
⇒ (3x/3) > (21/3)
⇒ x > 7
∴  নির্ণেয় সমাধান: x > 7

সুতরাং, সমাধান সেট, S = {X ∈ R : x > 7}

প্রশ্ন: (3/x) + {4/(x + 1)} = 2, হলে x এর মান কত হতে পারে?

সমাধান:
(3/x) + {4/(x + 1)} = 2
⇒ {3(x + 1) + 4x}/{x(x + 1)} = 2
⇒ (3x + 3 + 4x)/(x² + x) = 2
⇒ (7x + 3)/(x² + x) = 2
⇒ 7x + 3 = 2(x² + x)
⇒ 7x + 3 = 2x² + 2x
⇒ 2x² - 5x - 3 = 0
⇒ 2x² - 6x + x - 3 = 0
⇒ 2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0
⇒ (x - 3)(2x + 1) = 0
হয়, x = 3 অথবা, x = -1/2

প্রশ্ন: 2(x - y) = 4 এবং xy/2 = 12 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2(x - y) = 4
⇒ x - y = 2 ........... (1)
এবং xy/2 = 12
⇒ xy = 24

আমরা জানি, (x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y)² = (2)² + 4 × 24
⇒ (x + y)² = 4 + 96
⇒ (x + y)² = 100
⇒ (x + y)² = (10)² 
∴ x + y = 10 .................. (2)

(1) নং + (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 2 + 10
⇒ 2x = 12
∴ x = 6

x এর মান (2) নং এ বসাই,
6 + y = 10
⇒ y = 10 - 6
∴ y = 4

প্রশ্ন: {1/|6x - 7|} ≥ (1/12) অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
{1/|6x - 7|} ≥ (1/12)
⇒ |6x - 7| ≤ 12
⇒ - 12 ≤ 6x - 7 ≤ 12
⇒ - 12 + 7 ≤ 6x - 7 + 7 ≤ 12 + 7
⇒ - 5 ≤ 6x ≤ 19
⇒ - 5/6 ≤ 6x/6 ≤ 19/6
⇒ - (5/6) ≤ x ≤ (19/6)

প্রশ্ন: 9x - 5 ≥ 4x + 10 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
9x - 5 ≥ 4x + 10
⇒ 9x - 5 - 4x ≥ 4x + 10 - 4x
⇒ 5x - 5 ≥ 10
⇒ 5x - 5 + 5 ≥ 10 + 5
⇒ 5x ≥ 15
∴ x ≥ 3

প্রশ্ন: x² - 6x + 7 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?

সমাধান:
সমীকরণের নিশ্চায়ক = b² - 4ac
=(- 6)² - 4 · 1 · 7
= 36 - 28
= 8 > 0 
∴ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।

• নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
→ b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
→ b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
→ b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
→ b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: p + r > q হলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
p + r > q
⇒ p + r - r > q - c
⇒ p > q - r

প্রশ্ন: {(5x/6) + 3} = {(x/3) + 7} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
{(5x/6) + 3} = {(x/3) + 7}
⇒ (5x + 18)/6 = (x + 21)/3
⇒ (5x + 18)/2 = (x + 21)
⇒ 5x + 18 = 2(x + 21)
⇒ 5x + 18 = 2x + 42
⇒ 5x - 2x = 42 - 18
⇒ 3x = 24
⇒ x = 24/3
∴ x = 8

প্রশ্ন: |4x - 20| = 24 হলে x এর সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
।4x - 20। = 24

(4x - 20) কে ধনাত্মক বিবেচনা করে পাই,
4x - 20 = 24
⇒ 4x = 24 + 20
⇒ 4x = 44
∴ x = 11

(4x - 20) কে ঋণাত্মক বিবেচনা করে পাই,
- (4x - 20) = 24
⇒ - 4x + 20 = 24
⇒ - 4x = 24 - 20
⇒ - 4x = 4
∴ x = - 1

∴ x এর সম্ভাব্য সকল মানের সমষ্টি = 11+ (- 1) = 11 - 1 = 10