গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন: একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার পাঁচ গুণের সাথে পরবর্তী বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার চার গুণ যোগ করলে ৮৯ হয় । প্রথম বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বিজোড় সংখ্যা = x
তাহলে পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা = x + ২

শর্তমতে,
⇒ ৫x + ৪(x + ২) = ৮৯
⇒ ৫x + ৪x + ৮ = ৮৯
⇒ ৯x = ৮৯ - ৮
⇒ ৯x = ৮১
⇒ x = ৯

∴ প্রথম বিজোড় পূর্ণসংখ্যাটি ৯

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৯, ১২ ও ১৬ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টা গুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৪, ৯, ১২ ও ১৬ এর ল. সা. গু = ১৪৪

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ১৪৪ সেকেন্ড পর
অর্থাৎ ২ মিনিট ২৪ সেকেন্ড পর [∵ ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট]
= ২ মিনিট ২৪ সেকেন্ড

∴ ১৪৪ সেকেন্ড বা ২ মিনিট ২৪ সেকেন্ড পর ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: ১৫ টাকার ৭ শতাংশ কত?

সমাধান:
১৫ এর ৭% = ১৫ × (৭/১০০) = ১০৫/১০০ = ১.০৫

প্রশ্ন: একজন লোকের কাজ করার সম্ভাবনা ৩/৫ এবং কাজে সফল হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭। তাহলে, সে কাজ না করার এবং সফল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
কাজ করার সম্ভাবনা ৩/৫
∴ কাজ না করার সম্ভাবনা = ১ - (৩/৫) = (৫ - ৩)/৫ = ২/৫

আবার,
কাজে সফল হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭
∴ সফল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৪/৭) = (৭ - ৪)/৭ = ৩/৭

∴ কাজ না করার এবং সফল না হওয়ার সম্ভাবনা = (২/৫) × (৩/৭) = ৬/৩৫

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ১০% হারে ১০০০ টাকার ৩ বছর পর সরল মুনাফা কত হবে?
 
 সমাধান:
মূলধন,P = ১০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১০%
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা, I = Prn/১০০
= (১০০০ × ১০ × ৩)/১০০
= ৩০০ টাকা

∴ ৩ বছরে সরল মুনাফা হবে ৩০০ টাকা

প্রশ্ন: ৩/২, ৭/৪, ২১/৫ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
৩, ৭, ২১ এর গ.সা.গু = ১
২,  ৪, ৫ এর ল.সা.গু= ২০

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ, সা, গু = ভগ্নাংশের লবগুলোর গ, সা, গু/ভগ্নাংশের হরগুলোর ল, সা, গু
= ১/২০

প্রশ্ন: A = {1, 2, 3, 4, 5} সেটের প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
এখানে,
A সেটের উপাদান সংখ্যা n = 5 তাই

∴ মোট উপসেট = 2ⁿ = 2⁵= 32

প্রকৃত উপসেট হলো মোট উপসেট থেকে মূল সেটটিকে বাদ দিলে যা থাকে।

∴ প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 32 - 1 = 31

প্রশ্ন: তানভীর ৩০% কমিশনে ৪২০ টাকা দিয়ে একটি ঘড়ি ক্রয় করলো। ঘড়িটির লিখিত মূল্য কত?


সমাধান:
৩০% কমিশনে,
ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = (১০০ - ৩০) = ৭০ টাকা

∴ ক্রয়মূল্য ৭০ টাকা হলে ঘড়িটির লিখিত মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ঘড়িটির লিখিত মূল্য = (১০০/৭০) টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৪২০ টাকা হলে ঘড়িটির লিখিত মূল্য = {(১০০ × ৪২০)/৭০} = ৬০০ টাকা

∴ ঘড়িটির লিখিত মূল্য ৬০০ টাকা।

প্রশ্ন: (3 + √5) কী ধরনের সংখ্যা?

সমাধান:
(3 + √5) একটি অমূলদ সংখ্যা । কারণ,
(3 + √5) ​- এ 3 একটি পূর্ণসংখ্যা হলেও √5​ একটি অমূলদ সংখ্যা।  একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি অমূলদ সংখ্যা যোগ করলে ফলস্বরূপ অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়।

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 336 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ ⁸P_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 336 = 6 × 7 × 8
⇒ (8 - r)! = 8!/(6 × 7 × 8)
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5!)/(6 × 7 × 8)
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ 8 - r = 5
⇒ r = 8 - 5
∴ r = 3

প্রশ্ন: ৩৯০ টাকা ৩ জনকে (১/২) : (১/৩) : (১/৪) অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। প্রথম জন ও তৃতীয় জনের টাকার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= (১/২) : (১/৩) : (১/৪)
= {(১ × ১২)/২} : {(১ × ১২)/৩} : {(১ × ১২)/৪}   ;[ ২, ৩, ৪ এর ল, সা গু = ১২ ]
= ৬ : ৪ : ৩

অনুপাতের সমষ্টি = ৬ + ৪ + ৩ = ১৩

এখন,
প্রথম জন পাবে = (৩৯০ এর ৬/১৩) = (৩০ × ৬) = ১৮০ টাকা
তৃতীয় জন পাবে = (৩৯০ এর ৩/১৩) = (৩০  ৩) = ৯০ টাকা

∴ প্রথম জন এবং তৃতীয় জনের টাকার পার্থক্য = ১৮০ - ৯০ = ৯০ টাকা

প্রশ্ন: মাহি একটি ল্যাপটপ কিনলেন যার দাম ৪৫,০০০ টাকা। যদি ভ্যাট ৭% হয়, তাহলে তাকে মোট কত টাকা দিতে হবে?

সমাধান:
ভ্যাটের পরিমাণ ৭%
∴ ভ্যাট দিবে
= ৪৫০০০ × (৭/১০০)
= ৩১৫০

∴ মোট দিবে
= ৪৫০০০ + ৩১৫০
= ৪৮১৫০ টাকা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা তোলা হলে সেটি ৮ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যা হলো ১০ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সব সংখ্যা।
তাহলে, দুই অংক বিশিষ্ট মোট সংখ্যা = ৯৯ - ১০ + ১ = ৯০ টি ।

∴ ৮ এর গুণিতক সংখ্যাগুলো হলো - ১৬, ২৪, ৩২, ৪০, ৪৮, ৫৬, ৬৪, ৭২, ৮০, ৮৮, ৯৬
৮ এর গুণিতক সংখ্যা = ১১টি

এখন,
৮ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা হবে,

সম্ভাবনা = ৮ এর গুণিতক সংখ্যা/​মোট সংখ্যা
= ১১/৯০ = ১১/৯০

প্রশ্ন: ১৫% চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় ৪০০০ টাকার ২ বছরে মুনাফা কত?


সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৪০০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর
সুদের হার, r = ১৫/১০০ = ০.১৫

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P(১ + r)ⁿ - p
= ৪০০০(১ + ০.১৫)^২ - ৪০০০
= ৫২৯০ - ৪০০০
= ১২৯০ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ, সা, গু এবং ল, সা, গু যথাক্রমে ১৪ এবং ১৬৮। একটি সংখ্যা ৪২ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু = ১৬৮
গ.সা.গু = ১৪
একটি সংখ্যা = ৪২

ধরি,
অপর সংখ্যাটি = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৪২ × ক = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৪২ × ক = ১৬৮ × ১৪
⇒  ক = (১৬৮ × ১৪)/৪২
∴ ক = ৫৬
∴ অপর সংখ্যাটি ৫৬

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 10} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 11} হলে, A \ B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 10}
এখানে x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা, এবং x এর মান 2-এর চেয়ে বড় ও 10-এর সমান বা ছোট হতে পারে।
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 11}
অর্থাৎ, 11-এর চেয়ে ছোট বা সমান সকল বিজোড় সংখ্যার সেট ।
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

সুতরাং, A \ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {4, 6, 8, 10}

প্রশ্ন: তেলের দাম ২০% কমায়, ৪৮০০ টাকায় পূর্বের তুলনায় ২০ লিটার বেশি তেল পাওয়া যায়। ১০ লিটার তেলের বর্তমান মূল্য কত?

সমাধান:
১০০ টাকায় কমে = ২০ টাকা
১ টাকায় কমে = ২০/১০০ টাকা
৪৮০০ টাকায় কমে = (২০ × ৪৮০০)/১০০ টাকা
= ৯৬০ টাকা

∴ ২০ লিটার তেল বর্তমান মূল্য = ৯৬০টাকা
∴ ১ লিটার তেল বর্তমান মূল্য = (৯৬০/২০) টাকা
∴ ১০ লিটার তেল বর্তমান মূল্য = (৯৬০ × ১০)/২০ টাকা
= ৪৮০ টাকা

∴ ১০ লিটার তেলের বর্তমান মূল্য ৪৮০ টাকা ।

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১০টি লাল, ১৫টি নীল, এবং ৫টি হলুদ মার্বেল আছে। একটি মার্বেল বাছাই করলে সেটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?


সমাধান:
বাক্সে মোট মার্বেল সংখ্যা = ১০টি লাল + ১৫টি নীল + ৫টি হলুদ = ৩০টি

মার্বেলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = হলুদ মার্বেলের সংখ্যা/মোট মার্বেলের সংখ্যা
= ৫/৩০
= ১/৬

∴ মার্বেলটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৬)
= (৬ - ১)/৬
= ৫/৬

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ১২৫ থেকে যত বড় ৩৫৫ থেকে তত ছোট । সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
সংখ্যাটি = (১২৫ + ৩৫৫)/২
= ৪৮০/২
= ২৪০

প্রশ্ন: একটি কোম্পানিতে আমিনের বেতন হাসানের বেতনের ২৫০% এবং রবিনের বেতন হাসানের বেতনের ১২০%। আমিন এবং রবিনের বেতনের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
হাসানের বেতন = ১০০ টাকা

∴ আমিনের বেতন = ১০০ এর ২৫০% = {১০০ এর (২৫০/১০০)} = ২৫০ টাকা
∴ রবিনের বেতন = ১০০ এর ১২০% = {১০০ এর (১২০/১০০)} = ১২০ টাকা

এখন,
আমিন এবং রবিনের বেতনের অনুপাত = ২৫০ : ১২০ = ২৫ : ১২

প্রশ্ন: ১০টি কলা ৩০ টাকায় বিক্রি করায় ২৫% ক্ষতি হলো। তাহলে প্রতি ডজন কলার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয় মূল্য = (১০০ - ২৫) = ৭৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৭৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (৩০ × ১০০)/৭৫ = ৪০ টাকা

∴ ১০ টি কলার ক্রয়মূল্য = ৪০ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য = ৪০/১০ টাকা
∴ ১২ টি কলার ক্রয়মূল্য = (৪০ × ১২)/১০ = ৪৮ টাকা

প্রশ্ন: 15 জন ব্যক্তি একটি সভায় উপস্থিত ছিল, এবং প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করল। মোট কতটি করমর্দন হবে?

সমাধান:
এখানে, n = 15 জন ব্যক্তি আছে, এবং প্রতিটি করমর্দন দুটি ব্যক্তির মধ্যে হয়।
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
C(15,2) = 15!​/2!(15−2)!
= 15!/(2! × 13!)
= (15 × 14 × 13!​)/(2 × 1 × 13!)
= 15 × 7
= 105

অতএব, 15 জন ব্যক্তির মধ্যে 105টি করমর্দন হবে।

প্রশ্ন: কোনো মূলধন ৪% সরল মুনাফায় ১৫ বছরে মুনাফা-আসলে ৫৬,০০০ টাকা হয়। মূলধন কত টাকা?

সমাধান:
মনেকরি,
আসল ১০০ টাকা
∴ মুনাফা, I = Prn/১০০ = (১০০ × ৪ × ১৫)/১০০ = ৬০ টাকা

∴ মুনাফা-আসল = (৬০ + ১০০) টাকা = ১৬০ টাকা

∴ মুনাফা-আসল ১৬০ টাকা হলে মূলধন = ১০০ টাকা
∴ মুনাফা-আসল ১ টাকা হলে মূলধন = (১০০/১৬০) টাকা
∴ মুনাফা-আসল ৫৬০০০ টাকা হলে মূলধন = {(১০০ × ৫৬০০০)/১৬০} টাকা
= ৩৫০০০ টাকা

প্রশ্ন: ৪, ১২, ৬ এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?

সমাধান:
১ম রাশি/২য় রাশি = ৩য় রাশি/৪র্থ রাশি
⇒ ৪/১২ = ৬/৪র্থ রাশি
⇒ ৪র্থ রাশি = (১২ × ৬)/৪
= ১৮

অতএব, চতুর্থ সমানুপাতী ১৮।

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী 2020 সালের মার্চ মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন। ঐ সপ্তাহে বৃহস্পতিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
2020 সালের মার্চ মাসের ২য় সপ্তাহে মোট 7 দিন
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল = 5 দিন।

∴ বৃহস্পতিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7

সুতরাং, বৃহস্পতিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (5/7)
= (7 - 5)/7
= 2/7

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ : ৫ এবং তাদের যোগফল ২০০। সংখ্যা তিনটি নির্ণয় করুন-

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি ২x, ৩x এবং ৫x

প্রশ্নমতে,
⇒ ২x + ৩x + ৫x = ২০০
⇒ ১০x = ২০০
⇒ x = ২০০/১০ = ২০
∴ x = ২০

অতএব, সংখ্যা তিনটি হলো,
২ × ২০ = ৪০, ৩ × ২০ = ৬০ এবং ৫ × ২০ = ১০০
∴ ৪০, ৬০, ১০০

প্রশ্ন: 18 টি ফলের মধ্যে 7 টি ফল কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট পাঁচটি ফল সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (18 - 5) বা 13 টি থেকে 7 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = ¹³C₇
= 13!/{(13 - 7)! × 7!}
= 13!/(6! × 7!)
= (13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7!​)/{(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)7!}
= 1716