Math Master

প্রশ্ন: ⁿP₄ = 5 × ⁿP₃ হয়, তবে n এর মান কত?

সমাধান: 
ⁿP₄ = 5 × ⁿP₃
বা, ⁿp₄/ⁿp₃ = 5
বা, {n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}/{n(n - 1)(n - 2)} = 5
বা, n - 3 = 5
বা, n = 8
∴n এর মান 8

প্রশ্ন: ৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৩ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ^৩C_১ × ^৪C_২
= ৩ × ৬
= ১৮ টি উপায়ে 

প্রশ্ন: ১০ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:  
নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (১০ - ২) বা ৮ টি থেকে ৪ টি বাছাই করতে হবে। 

∴ বাছাই করার উপায় = ⁸C₄
= 8!/(4! 4!)
= 70

প্রশ্ন: APPLY শব্দটিকে কত ভাবে সাজানো যাবে যাতে P গুলো একসাথে থাকবে না?

সমাধান:
APPLY শব্দে মোট অক্ষর 5 টি যেখানে P আছে 2টি।
 APPLY কে সাজানো যাবে = 5!/2! = 60 ভাবে।

P, 2 টি একসাথে থাকলে তাদেরকে একটি অক্ষর হিসাবে বিবেচনা করলে মোট অক্ষর হয় 4 টি।
তখন সাজানো যাবে = 4! = 24 ভাবে।

∴ P গুলোকে একসাথে না রেখে সাজানো যাবে = 60 - 24 = 36 ভাবে। 

প্রশ্ন: 5, 8, 1, 4 একবার ব্যবহার করে অংকগুলো দ্বারা 5000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায়?

সমাধান:
প্রথম সংখ্যাটি 5 বা 8 এর যে কোন একটি হতে পারে। 

5, 8, 1, 4 একবার ব্যবহার করে অংকগুলো দ্বারা 5000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা তৈরি করা যায় = ²P₁ × 3!
= 12

প্রশ্ন: ’POSTAGE’ শব্দের অক্ষরগুলি কত রকমে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো জোড় স্থান দখল করে?

সমাধান:
‘POSTAGE’ শব্দটিতে ৭টি অক্ষর আছে যার মধ্যে ৪টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৩ টি স্বরবর্ণ। ৭টি স্থানের মধ্যে ৪টি বিজোড় স্থান এবং ৩টি জোড় স্থান।
৩ টি স্বরবর্ণকে ৩টি জোড়স্থানে মোট ³P₃ = 6 উপায়ে সাজনো যায়।
৪ টি ব্যঞ্জনবর্ণ ৪ টি বিজোড়স্থানে মোট ⁴P₄ = 24 উপায়ে সাজনো যায়।
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা 6 × 24 = 144

প্রশ্ন: ⁿC₁₃ = ⁿC₄ হলে, n =? 

সমাধান: 
ⁿC_x = ⁿC_y হলে, n = x + y

ⁿC₁₃ = ⁿC₄ হলে, n = 13 + 4
= 17

প্রশ্ন: ৩ জন বাংলাদেশী এবং ৩ জন ভারতীয় কূটনীতিবিদ তিস্তা পানি চুক্তি নিয়ে গোলটেবিল বৈঠকে মিলিত হলে তারা কত উপায়ে বসতে পারেন যেন দুই দেশের কূটনীতিবিদ পাশাপাশি না বসেন?

সমাধান: 
একজন বাংলাদেশীকে স্থির রেখে বাকী দুজনকে বিন্যাস করা যায় = 2!
তিনজন ভারতীয়কে বিন্যাস করা যায় = 3!

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 2! × 3!
= 2 × 3 × 2
= 12

প্রশ্ন: CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান: 
'America' শব্দটিতে মোট ৭টি বর্ণ আছে যাদের ২ টি A
'America' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানো সংখ্যা = ৭!/২!
= ২৫২০
'Calcutta' শব্দটিতে মোট ৮টি বর্ণ আছে যাদের ২টি C, ২টি A ,২টি T আছে
'Calcutta' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানো সংখ্যা = ৮!/২!২!২!
= ২ × ২৫২০
= ৫০৪০

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'POLAND' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“POLAND" শব্দটিতে মোট বর্ণ 6টি যেখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 2টি। 
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720

স্বরবর্ণ দুটিকে একটি ধরে মোট ভিন্ন বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
স্বরবর্ণ দুটিকে সাজানো যায় = 2!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 2!
= 120 × 2
= 240

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = 720 - 240
= 480

প্রশ্ন: 3 জন বালক এবং 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে? 

সমাধান: 
3 জন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = 5 জন 
5 জন কে সাজানো যায় = 5!
3 জন বালককে সাজানো যায় = 3!

একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 3! = 120  ×  6 = 720

প্রশ্ন: এক জন ছাত্রের কোন পরীক্ষায় 12টি প্রশ্ন হতে 7টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। তাকে প্রথম 5টি প্রশ্নের হতে 3টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। কতভাবে সে প্রশ্নগুলোর উত্তর দিতে পারবে? 

সমাধান:
5টি প্রশ্ন থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করা যায় = ⁵C₃
∴7টি প্রশ্ন থেকে 4টি প্রশ্ন বাছাই করা যায় = ⁷C₄
∴প্রশ্ন বাছাই করা যায়  = ⁵C₃ × ⁷C₄
= 10 × 35 উপায়ে
= 350 উপায়ে