প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: a^m.aⁿ = a^m+n কখন হবে? 

সমাধান: 
m ও n ধনাত্মক হলে- 
a^m.aⁿ = a^{(m + n)} হয়।

প্রশ্ন: 20 + 25 + 30 + ......…. + 140 ধারাটিতে মোট কতগুলো পদ আছে?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ, a = 20,
সাধারণ অন্তর, d = 25 - 20 = 5

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 20 + (n - 1) 5 = 140 
⇒ 5n - 5 = 120
⇒ 5n = 125
⇒ n = 25

সুতরাং, ধারাটিতে মোট ২৫ টি পদ আছে ।

প্রশ্ন: (8x)⁰ + 8x⁰ এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান:
(8x)⁰ + 8x⁰
= 1 + (8 × 1)    [∴ a⁰ = 1]
= 1 + 8
= 9

প্রশ্ন: 400 এর কত ভিত্তিক লগ 4 এর সমান?

সমাধান:
ধরি, 
ভিত্তি = a 

প্রশ্নমতে, 
log_a400 = 4
বা, a⁴ = 400
বা, a⁴ = (20)²
বা, a⁴ = (4 × 5)²
বা, a⁴ = 2⁴ (√5)⁴
বা, a⁴ = (2√5)⁴
∴ a = 2√5

∴ ভিত্তি = 2√5  । 

প্রশ্ন: (a^l/a^m)ⁿ × (a^m/aⁿ)^l × (aⁿ/a^l)^m = কত? 

সমাধান: 
(a^l/a^m)ⁿ × (a^m/aⁿ)^l × (aⁿ/a^l)^m 
= (a^{l - m})ⁿ × (a^{m - n})^l × (a^{n - l})^m
= a^{(l - m)n} × a^{(m - n)l} × a^{(n - l)m}
= a^{ln - mn} × a^{lm - ln} × a^{mn- lm}
= a^{ln - mn + lm - ln + mn- lm}
= a⁰
= 1

প্রশ্ন: কোনাে সমান্তর ধারার ১ম পদ ২২ এবং ২য় পদ ২৭ হলে ১৫তম পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির ১ম পদ, a = ২২
সাধারণ অন্তর, d = (২য় পদ - ১ম পদ) = (২৭- ২২) = ৫

∴ ১৫ তম পদ = a + (১৫ -১) d 
= ২২ + (১৪ × ৫)
= ২২ + ৭০
= ৯২ । 

প্রশ্ন: log₂32 + log₂16 এর মান কত? 

সমাধান: 
log₂32 + log₂16
= log₂2⁵ + log₂2⁴
= 5log₂2 + 4log₂2   [∵ log_amⁿ = nlog_am]
= (5 × 1) + (4 × 1)  [∵ log_aa = 1]
= 5 + 4
= 9

প্রশ্ন: (1/3) + (1/9) + (1/27) + (1/81) + .......... গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
১ম পদ, a = 1/3 

সাধারণ অনুপাত, r = (1/9) ÷ (1/3) 
= (1/9) × (3/1)
= 1/3 < 1 

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/3) ÷ (1 - 1/3)
= (1/3) ÷ (2/3)
= (1/3) × (3/2)
= 1/2

প্রশ্ন: (√3 × √5)⁴ এর মান কত? 

সমাধান: 
(√3 × √5)⁴
= {√(3 × 5)}⁴
= (√15)⁴
= (15)^{(1/2) × 4}
= (15)^4/2
= (15)²
= 225

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = 1 + 3 + 5 + 7 +....... + n 
প্রথম পদ, a = 1 
সাধারন অন্তর, d = 3 - 1 = 2 
পদ সংখ্যা = n 

আমরা জানি, 
সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2){2.1 + (n - 1).2}
= (n/2)(2 + 2n - 2)
= (n/2).2n
= n²

প্রশ্ন: 9^log₃4 = কত? 

সমাধান:
9^log₃4
= 3^2log₃4  [log₃4² = log₃16] 
= 3^log₃16
= 16   [∴ a^log_an = n]

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে, সাধারণ অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
১ম পদ = a,
সাধারন অনপাত = r 
∴ ৩য় পদ = ar² = 20 ...... (1)
এবং ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = ar⁵ = 160 ....... (2)

(2) নং ÷ (1) নং হতে পাই,
ar⁵/ar² = 160/20
বা, r³ = 8
বা, r³ = 2³
∴ r = 2 

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 2  । 

প্রশ্ন: log_x(1/8) = - 2 হলে x = কত? 

সমাধান: 
log_x(1/8) = - 2
বা, x^{- 2} = 1/8
বা, 1/x² = 1/8
বা, x² = 8
বা, x² = (2√2)²
∴ x = 2√2

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + log16 + ................ ধারাটির প্রথম 20টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম 20টি পদের সমষ্টি 
= log2 + log4 + log8 + log16 +............... + প্রথম 20টি পদের সমষ্টি 
= log2¹ + log2² + log2³ + log2⁴ +............... + প্রথম 20টি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 + 4log2 + ............... + প্রথম 20টি পদের সমষ্টি
= log2 (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 20)
= log2 {20(20 + 1)/2}
= log2 (10 × 21)
= log2 × 210
= 210log2

প্রশ্ন: x^a = y, y^b = z ও z^c = x হলে abc এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
z^c = x
বা, (y^b)^c = x   [z = y^b] 
বা, (x^a)^bc = x 
বা, x^abc = x¹
∴ abc = 1

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ........... + 9³ = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
1³ + 2³ + 3³ + ............ + n³ = {(n(n + 1)/2}² = {n²(n + 1)²}/4

∴ 1³ + 2³ + 3³ + ........... + 9³ = {9² (9 + 1)²}/4
= {81 × 100}/4
= 81 × 25
= 2025 

প্রশ্ন: log_ba².log_cb².log_ac² এর মান কত? 

সমাধান: 
log_ba².log_cb².log_ac²
= 2log_ba.2log_cb.2log_ac
= 8 × log_ba(log_cb × log_ac)
= 8 × log_ba × log_ab [যেহেতু, log_bm × log_ab = log_am]
= 8 × 1 
= 8

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

১ম শর্তমতে, 
m তম পদ a + (m - 1)d = n 
বা, ‍a + md - d = n .......................(1)

২য় শর্তমতে, 
n তম পদ a + (n - 1)d = m 
বা, a + nd - d = m ........................ (2) 

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই, 
a + md - d = n 
a + nd - d = m
_____________________
md - nd = n - m
বা, d (m - n) = n - m
বা,  d = - (m - n)/(m - n)
∴ d = - 1

∴ ধারাটির সাধারণ অন্তর = - 1  ।

প্রশ্ন: যদি (64)^2/3 + (625)^1/2 = 3k হয়, তবে k এর মান-

সমাধান:
(64)^2/3 + (625)^1/2 = 3k
বা, (4³)^2/3 + (25²)^1/2 = 3k
বা, (4)² + (25)¹ = 3k
বা, 16 + 25 = 3k
বা, 41 = 3k
∴  k = 41/3