৫১তম বিসিএস ফাইনাল মডেল টেস্ট ও রিভিশন

প্রশ্ন: ^৩√৮  কি ধরণের সংখ্যা?

সমাধান:
^৩√৮ = ২
২ একটি মূলদ সংখ্য , মৌলিক সংখ্যা, পূর্ণ সংখ্যা । তাই সবগুলোই সঠিক উত্তর।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ২৫ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ২০২৫ হলে তাদের  ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
ধরি, গ.সা.গু x,  ল.সা.গু  ২৫x

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল 
২৫x² = ২০২৫
⇒  x² = ৮১
⇒ x = ৯

ল.সা.গু = ২৫ × ৯ = ২২৫

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যা থেকে প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা বিয়োগ করলে, বিয়োগফল কত?

সমাধান: 
{2 + 4 + 6 + .... + 2n} - {( 1 + 3 + 5 + .... +(2n - 1)}
= (2 - 1) + ( 4 - 3) + ( 6 - 5) + ..... + ( 2n - 2n + 1) [ এখানে 2n সংখ্যক সংখ্যা আছে , ফলে জোড়া আছে n টি]
= 1 + 1 + 1 + ...... + 1 [ n সংখ্যক 1 ]
= n

প্রশ্ন: মাসুদের মাসিক  সঞ্চয় ও ব্যয়ের অনুপাত ৫ : ১৫ হলে, তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ?

সমাধান: 
ধরি, মাসুদের মাসিক সঞ্চয় ৫ টাকা, ব্যয় ১৫ টাকা
আয় = ১৫ + ৫ = ২০ টাকা
মাসিক সঞ্চয় আয়ের = (৫ / ২০) × ১০০% = ২৫ %

প্রশ্ন: ৭% হার সরল সুদে কত টাকা বিনিয়োগ করলে ২ বছরে তা ৩৪২০ টাকা হবে?

সমাধান:
ধরি, x টাকা বিনিয়োগ করতে হবে।
মুনাফা = 3420 - x

আমরা জানি,
I = Pnr
এখানে, I = মোট মুনাফা
P = মুলধন
n = বছর
r = মুনাফার হার

শর্তমতে,
3420 - x = x × 2 × 7%
⇒ 3420 - x = 0.14x
⇒ 1.14x = 3420
⇒ x = 3420/1.14 = 3000

অতএব, ৩০০০ টাকা বিনিয়োগ করতে হবে।

প্রশ্ন: ৬৪ : ১৪৪ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়। 
৬৪ : ১৪৪ দ্বিভাজিত অনুপাত =√৬৪ : √১৪৪ = ৮ : ১২

প্রশ্ন: ৪০ টাকায় ৪৫ টি লেবু বিক্রি করায় একজন বিক্রেতার ২০% ক্ষতি হয়। ২৪ টাকায় কতটি লেবু বিক্রি করলে তার ২০% লাভ হবে?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
 বিক্রয়মূল্য ৪০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০×৪০)/৮০ টাকা = ৫০ টাকা
অর্থাৎ ৪৫ টি লেবুর ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা
২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য হলে (১২০×৫০)/১০০ = ৬০ টাকা
অর্থাৎ, ৬০ টাকায় বিক্রি করতে হবে  ৪৫ টি লেবু
           ২৪ টাকায় বিক্রি করতে হবে (৪৫× ২৪ )/ ৬০ = ১৮ টি লেবু

প্রশ্ন: পরীক্ষায় পাশের জন্য একজন ছাত্রের মোট নম্বরের  ৩৩%  প্রয়োজন। সে ১১৫ নম্বর পায় এবং ৫০ নম্বরের জন্য ফেল করে। পরীক্ষা মোট কত নম্বরের ছিল?

সমাধান: 
 একজন ছাত্র ১১৫ নম্বর পায় এবং ৫০ নম্বরের জন্য ফেল করে। 
অর্থাৎ পাশ নম্বর = ১১৫ + ৫০ = ১৬৫
পরীক্ষায় মোট নম্বর × ৩৩% = ১৬৫
⇒ পরীক্ষায় মোট নম্বর × .৩৩ = ১৬৫
⇒ পরীক্ষায় মোট নম্বর = ১৬৫/০.৩৩ = ৫০০

প্রশ্ন: 125(√5)^2x = 5 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
125 × 5^x = 5
⇒ 5³ × 5^x = 5
⇒ 5 ^{3 + x}  = 5
⇒  3 + x  = 1 
⇒ x = 1 - 3 = - 2

প্রশ্ন: পাঁচটি পদের একটি  সমান্তর ধারার  পঞ্চম পদটি হল ১০। তাদের যোগফল ৩০ হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান: 
ধরি, প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
৫ম পদটি হল ৬
    a + (5 - 1) d = 10
⇒ a + 4d = 10

তাদের যোগফল ৩০ 

    (5/2) (2a + (5 - 1) ×d ) = 30
⇒  2a + 4d = 12
⇒ a + a + 4d = 12
⇒ a + 10 = 12
⇒ a = 2

প্রশ্ন: একটি রশিকে ২ : ৩ : ৫ অনুপাতে ভাগ করা হলো । সবচেয়ে ছোট টুকরাটির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার হলে, রশিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
একটি রশিকে ২: ৩ : ৫ অনুপাতে ভাগ করা হলো
তাহলে টুকরোগুলির দৈর্ঘ্য ২ক, ৩ক, ৫ক
সবচেয়ে ছোট টুকরাটির দৈর্ঘ্য  = ২ক
২ক = ৪
⇒ ক = ২

তাহলে টুকরোগুলির দৈর্ঘ্য ৪, ৬, ১০ মিটার
রশিটির দৈর্ঘ্য = ১০ + ৪ + ৬ মিটার = ২০ মিটার

প্রশ্ন:  0.5 log₁₀100  এর মান কত?

সমাধান:
0.5 log ₁₀ 100
= log ₁₀ 100 ^0.5
= log ₁₀ 10
= 1

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত হার সুদে ৫ বছরে আসল, সুদ - আসলের ৪/৫ অংশ হবে?

সমাধান:
ধরি, সুদাসল ৫ টাকা, আসল ৪ টাকা
অতএব, সুদ = ১ টাকা
৪ টাকায় ৫ বছরের সুদ ১ টাকা
১০০ টাকায় ১ বছরের সুদ = ( ১ × ১০০) / ( ৪ × ৫) 
                                       = ৫ টাকা
অর্থাৎ সুদের হার ৫%

প্রশ্ন: log ₅ (x² - 4x) = 1 হলে, x = ?

সমাধান:
    log ₅ ( x² - 4x) = 1
⇒ x² - 4x = 5¹
⇒ ( x² - 4x)  = 5
⇒ x² - 4x -5 = 0
⇒ x² - 5x + x -5 = 0
⇒ x( x - 5) + 1 (x - 5) = 0
⇒ (x - 5) (x + 1) = 0
⇒ x = 5  অথবা   x = -1

প্রশ্ন: (1/√2), 1, √2....... এই ধারাটির কোন পদ 16 হবে?

সমাধান: 
প্রথম পদ a = (1/√2)
সাধারণ অন্তর r = √2
n তম পদ = ar ^{n - 1}
ধরি, n তম পদ 16

অতএব, 
   ar ^{n - 1} = 16
⇒ (1/√2) (√2) ^{n - 1} = 16
⇒ (√2) ^{n - 1} = 16 √2
⇒ (√2) ^{n - 1} = (√2)⁸ √2
⇒ (√2) ^{n - 1} = (√2)⁹
⇒ n - 1 = 9 
⇒ n = 10

প্রশ্ন: ১৬০, -৪০, ১০, -৫/২ .........  এই ধারাটির ৬ষ্ঠ  পদ কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
ধারাটির প্রথম পদ a = ১৬০
সাধারণ অনুপাত r = - ৪০/১৬০ = - ১/৪

৬ষ্ঠ  পদ = a × r^{n - 1}
= ১৬০ ×  (-১/৪)^{৬ - ১}
= ১৬০ × (-১/৪)^৫
= (১৬০/১৬) × (- ১/৪)^৩ 
= ১০ × (- ১/৬৪)
= - ৫/৩২

প্রশ্ন:  ১ + ৪ + ৯ + ১৬ + ........ + ১০০ = কত?

সমাধান:  
১^২ + ২^২ + ৩^২ + ...... + ১০^২
= {১০ × (১০ + ১)  × (২০ + ১)}/ ৬
= (১০  × ১১  × ২১)/৬
= ৩৮৫

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হারে কোনো আসলের ২ বছরে প্রাপ্ত চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ৫২৫ টাকা। বার্ষিক শতকরা অর্ধেক হারে দ্বিগুণ সময়ের জন্য একই আসল হতে কত সরল মুনাফা পাওয়া যাবে?

সমাধান:
চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = {P (1 + r) ⁿ } - P , 
p = আসল
r = ১০% = ০.১
n = ২ বছর

525 = P (1 + 0.1)²  - P 
525 = P × (1.1² - 1)
525 = P × 21/100
P = 2500 টাকা

সরল মুনাফার ক্ষেত্রে, 
সরল মুনাফা = p ×n ×r
p = ২৫০০ টাকা
r = ৫% = ০.০৫
n = ৪ বছর

সরল মুনাফা = 2500 × 4 × .05
                    = 500 টাকা

প্রশ্ন: (x + y)² = 3 এবং x² = √6 + y² হলে 2x এর মান কত? 

সমাধান:
(x + y)² = 3 
x + y = √3

x² = √6 + y²
x² - y² = √6 
(x + y)(x - y) = √6 
√3(x - y) =√6 
x - y = √6/√3
x - y = √2

x + y + x - y = √3 + √2
2x = √3 + √2

প্রশ্ন: ৪ কি.মি./ঘণ্টা গতিতে একজন ব্যক্তি একটি বর্গাকার মাঠের কর্ণ ৩ মিনিটে অতিক্রম করে। মাঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
৬০ মিনিটে অতিক্রম করে ৪০০০ মিটার 
১ মিনিটে অতিক্রম করে ৪০০০/৬০ মিটার 
৩ মিনিটে অতিক্রম করে (৪০০০ × ৩)/৬০ মিটার 
= ২০০ মিটার 

বর্গাকার মাঠের কর্ণ  = ২০০ মিটার 
বর্গাকার মাঠের একবাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার 

প্রশ্নমতে 
√২a = ২০০
a = ২০০/√২

বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (২০০/√২)২
= ৪০০০০/২
=২০০০০ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: ক, খ এর দ্বিগুণ কাজ করতে পারে। খ যদি একটি কাজ করতে পারে ১২ দিনে, তাহলে ক ও খ একত্রে কাজটি কত দিনে করতে পারবে? 

সমাধান:
ক এবং খ এর কাজের গতির অনুপাত = ২ : ১
ক এবং খ এর সময়ের অনুপাত = ১ : ২

খ একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারলে ক ঐ কাজটি ৬ দিনে শেষ করতে পারবে। 

ক ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/৬ অংশ 
খ ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/১২ অংশ 

ক এবং খ ১ দিনে করতে পারে কাজটি = (১/৬) + (১/১২) অংশ 
= (২ + ১)/১২
= ১/৪ 

ক এবং খ ১/৪ কাজ করতে পারে = ১ দিনে 
ক এবং খ ১ বা (সম্পূর্ণ) কাজ করতে পারে = (১ × ৪)/১ দিনে 
= ৪ দিনে

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা 16 সে.মি.এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত? 

সমাধান: 
সমবৃত্তক বেলনের উচ্চতা h  = 16সে.মি.
ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14 সে.মি.
সমবৃত্তক বেলনের আয়তন  = πr²h 
= (22/7) × 7² × 16
= (22/7) × 49 × 16 
= 2464 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: - 5a + 8b = 11, 6a - 4b = - 2 হলে a + b = কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
- 5a + 8b = 11................... (1)
6a - 4b = - 2 ...................(2)

(1) + (2) × 2 ⇒
- 5a + 8b + 12a - 8b = 11 - 4 
7a = 7 
a = 1

- 5a + 8b = 11
(- 5)(1) + 8b = 11
- 5 +  8b = 11
8b = 11 + 5
8b = 16
b = 16/8
b = 2

a  + b = 1 +  2 = 3

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 2টি সবুজ বল, 3টি কালো বল এবং 4টি লাল বল আছে। বাক্সটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি লাল বল হয়?

সমাধান:
সবুজ বল = 2টি
কালো বল = 3টি 
লাল বল =  4টি 

4টি লাল বল থেকে 1টি এবং 5টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = ⁴C₁ × ⁵C₂
4টি লাল বল থেকে 2টি এবং 5 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় =⁴C₂ × ⁵C₁
4টি লাল বল থেকে 3টি  = ⁴C₃

মোট উপায়  = (⁴C₁ × ⁵C₂) + (⁴C₂ × ⁵C₁) + (⁴C₃) 
= (40 + 30 + 4)
= 74

প্রশ্ন: ।2x - 7। < 9 অসমতাটির সমাধান কত? 

সমাধান: 
।2x - 7। < 9 
⇒ - 9 < 2x - 7 < 9 
⇒ - 9  + 7 < 2x - 7 + 7< 9 + 7
⇒ - 2 < 2x < 16
⇒ - 2/2 < 2x/2 < 16/2
⇒ - 1 < x < 8

প্রশ্ন: একটি বর্গ ও একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বর্গের দৈর্ঘ্যের অপেক্ষা 6 মিটার বেশি এবং প্রস্থ বর্গের এক বাহু অপেক্ষা 4 মিটার কম হলে আয়তক্ষেত্রের অর্ধ পরিসীমা কত?

সমাধান:
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার 

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = a + 6 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a  - 4 

প্রশ্নমতে 
(a + 6)(a  - 4) = a²
a² - 4a + 6a - 24 = a²
2a = 24
a = 12

আয়তক্ষেত্রের অর্ধ পরিসীমা = a + 6 + a - 4
= 2a + 2
= 2 × 12 + 2
= 26 মিটার

প্রশ্ন: ২৩০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৪৬ সেকেন্ডে ৪৬০ মিটার লম্বা একটি টানেল অতিক্রম করে।  প্রতি ঘণ্টায় ট্রেনটির গতিবেগ কত? 

সমাধান:
ট্রেনটির গতিবেগ = (২৩০ + ৪৬০)/৪৬ মিটার/সেকেন্ড 
= ১৫ মিটার/সেকেন্ড 
= (১৫ × ১৮)/৫ কি.মি/ঘণ্টা 
= ৫৪ কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০সে.মি. বর্গের একবাহুকে ভূমি ধরে একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার শীর্ষবিন্দু বর্গের বিপরীত বাহুর যে কোনো বিন্দুতে অবস্থিত। বর্গ থেকে ত্রিভুজটিকে কর্তন করা হলে অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ত্রিভুজের ভূমি =  ১০সে.মি.
ত্রিভুজের উচ্চতা = ১০ সে.মি. 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × ১০ বর্গসে.মি.
= ৫০ বর্গসে.মি.

বর্গের ক্ষেত্রফল = (১০ × ১০) বর্গসে.মি.  = ১০০ বর্গসে.মি.

অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল = (১০০ - ৫০) বর্গসে.মি.
= ৫০ বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: a⁴ - 18a² + 1 এর উৎপাদকগুলো হলো- 

সমাধান: 
a⁴ - 18a² + 1 
= (a²)² - 2.a².1 + 1² - 16a²
= (a² - 1)² - (4a)²
= (a² - 1 + 4a)(a² - 1 - 4a)
=(a² + 4a - 1)(a² - 4a - 1) 

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 168 বর্গ মিটার এবং একটি কর্ণ 28 মিটার। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

 সমাধান: 

একটি কর্ণ BD = d = 28 মিটার
কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য h = ? মিটার
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = dh 
⇒ dh = 168
⇒ h = 168/28 = 6

∴কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 6 মিটার

প্রশ্ন: A ∩ {3, 4, 5} = {3, 4} হলে A এর মান কোনটি হতে পারে?

সমাধান:
দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলে।
A ও B সেটের ছেদ সেটকে A∩ B প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
ধরি 
B = {3, 4, 5} 
প্রদত্ত অপশন গুলোর মধ্যে 
A = {1, 2, 3, 4} হলে 
A  ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5} = {3, 4} পাওয়া যাবে। 

এক্ষেত্রে A = {1, 2, 3, 4} সঠিক উত্তর।

প্রশ্ন: x^y = y^x, x = 2y হলে (x, y) এর মান কত? 

সমাধান:
x^y = y^x................(1)
x = 2y..................(2)

(1) নং সমীকরণ হতে পাই 
x^y = y^2y
(2y)^y = y^2y
2^y.y^y = y^2y
y^2y/y^y = 2^y
y^{2y - y} = 2^y
y^y = 2^y
y = 2

x = 2y 
x = 2 × 2 = 4

(x, y) = (4, 2)

প্রশ্ন: দুইজন নির্দিষ্ট বালককে সবসময় অন্তর্ভুক্ত রেখে 12 জন বালক থেকে 5 জনকে কত রকমে বাছাই করা যায়? 

সমাধান: 
দুইজন বালক নির্দিষ্ট
অবশিষ্ট (12 - 2) জন বা 10 জন থেকে (5 - 2) জন বা 3 জন বাছাই করতে হবে। 

বাছাই করার মোট উপায় = ¹⁰C₃ = 120

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 5 যোগ করলে যোগফল হবে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ। আর সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা মূল সংখ্যাটি থেকে 9 কম হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
মনে করি, 
দশক স্থানীয় অঙ্ক x 
একক স্থানীয় অঙ্ক y
সংখ্যাটি 10x + y 
 
১ম শর্তানুসারে,
x + y + 5 = 3x 
y + x - 3x = - 5
y - 2x = - 5 
y = - 5 + 2x ....................(1)

২য় শর্তানুসারে,
10y + x = (10x + y) - 9
10y + x = 10x + y - 9
10y - y = 10x - x - 9
9y = 9x - 9
y =  x - 1
- 5 + 2x = x - 1
2x - x = - 1 + 5
x = 4

(1)⇒
y = - 5 + 2 × 4 
y = - 5 + 8
y = 3

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে 10x + y = 10 × 4 + 3 = 40 + 3 = 43

প্রশ্ন: f(x) = (x - 1)/(x + 1) হলে x এর কোন মানের জন্য f(x) = 1/3 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে 
f(x) = (x - 1)/(x + 1)

এখন 
f(x) = 1/3 
 (x - 1)/(x + 1) = 1/3
3x - 3 = x + 1
3x - x = 1 + 3
2x = 4
x = 2

• যদি কোনো সরলরেখা বরাবর কোনো চিত্র ভাঁজ করলে তার অংশ দুইটি সম্পূর্ণভাবে মিলে যায় সেক্ষেত্রে সরলরেখাটিকে প্রতিসাম্য রেখা বলা হয়। 

ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, পঞ্চভুজ, ষড়ভুজ, সপ্তভুজ, অষ্টভুজ ইত্যাদি জ্যামিতিক চিত্র হলো বহুভুজ।
যে সমস্ত বহুভুজের রেখাংশগুলোর দৈর্ঘ্য সমান এবং কোণগুলো সমান, তাকে সুষম বহুভুজ বলা হয়।
ত্রিভুজ হলো সবচেয়ে কম সংখ্যক রেখাংশ দিয়ে গঠিত বহুভুজ।
ত্রিভুজের মধ্যে শুধুমাত্র সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ও কোণগুলো সমান।
অতএব সমবাহু ত্রিভুজ হলো তিন বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজ।

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে বড়জোড় একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
 = 8 টি

তাহলে বড়জোড় একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো = {HTT, THT, TTH, TTT}
 = 4টি।

কেবল একটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা = 4/8 = 1/2

ABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।  BC = 18 সে.মি. হলে, DE এর মান কত? 


ত্রিভুজের যেকোনাে দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযােজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
ABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
DE = (1/2)BC 
= (1/2) × 18 
=  9 সে.মি

প্রশ্ন:  x² - 6x + 5 < 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 6x + 5 < 0
x² - 5x - x + 5 < 0
x(x - 5) - 1 (x - 5) < 0
∴ (x - 1)(x - 5) < 0

x² - 6x + 5 < 0 সত্য হবে যদি x - 1 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 1 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ,  x < 1 এবং x > 5
1 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 6x + 5 < 0  সত্য হবে যদি x - 1 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন,  x - 1 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 1 এবং x <5
x এর মান 1 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 1< x < 5

প্রশ্ন: 2, 5, 6, 7 এবং 8 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে চার অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?


সমাধান:  
মোট অংক 5টি।
প্রতিবার 4টি অংক নিয়ে গঠনকৃত সংখ্যা = ⁵P₄
= 120

প্রশ্ন: 24, 19, 26, 15, 36, 17, 32, 36 এর মধ্যক কত? 

সমাধান: 
15, 17, 19, 24, 26, 32, 36, 36
এখানে 
n = 8
মধ্যক = [8/2 তম পদ ও {(8/2) + 1} তম পদের সমষ্টি]/2
= {4 তম পদ ও 5 তম পদের সমষ্টি}/2
=(24 + 26)/2
= 50/2
= 25

প্রশ্ন: 2x² - x - m একটি  উৎপাদক (2x - 3) হলে m এর মান কত? 

সমাধান: 
f(x) = 2x² - x - m এর একটি  উৎপাদক (2x - 3) হলে
f(3/2) = 0 হবে 

f(3/2) = 2(3/2)² - (3/2) - m
⇒ 0 = 2(9/4) - (3/2) - m
⇒ 0 = (9/2) - (3/2) - m
⇒ m = (9 - 3)/2
⇒ m = 6/2
  m = 3

প্রশ্ন: বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে কতটি স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে? 

সমাধান:
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে P একটি বহিঃস্থ বিন্দু। 
P থেকে বৃত্তে PA ও PB  ২টি অঙ্কিত স্পর্শক।
 

প্রশ্ন: 16 ও 169 এর গুণোত্তর গড় কত?

আমরা জানি, n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় = ⁿ√(x₁.x₂.x₃...x_n)

সুতরাং 16 ও 169 এর গুণোত্তর গড় = √(16 × 169)
 = 4 × 13
= 52