৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: (625)^0.24 × (625)^0.26 = ?

সমাধান:
= (625)^{0.24 + 0.26}  [a^m × aⁿ = a^{m + n}]
= (625)^0.50
= (625)^1/2
= √625
= √(25²)
= 25

প্রশ্ন: P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে P - Q = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}
এখানে, 12 এর গুণনীয়কসমূহ: 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

আবার,
Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}
এখানে, 12 পর্যন্ত 3 এর গুণিতকসমূহ: 3, 6, 9, 12
∴ Q = {3, 6, 9, 12}

এখন,
P - Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - {3, 6, 9, 12}
= {1, 2, 4}

নির্ণেয় সেট: {1, 2, 4}

প্রশ্ন: log₄(8/128) এর মান কত?

সমাধান:
log₄(8/128)
= log₄(1/16)
= log₄(16^{- 1})
= log₄(4²)^{- 1}
= log₄(4^{- 2})
= - 2 × log₄(4)  [log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= - 2 × 1 [log_a(a) = 1]
= - 2

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে, 3 এর চেয়ে ছোট সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা ক্ষেত্র = ৬ টি।
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ মোট ঘটনা সংখ্যা, n(S) = 6

এখন, 3 এর চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলো হলো: 1, 2
∴ অনুকূল ঘটনা সংখ্যা, n(A) = 2

∴ সম্ভাবনা, P(A) = (অনুকূল ঘটনা সংখ্যা)/(মোট ঘটনা সংখ্যা)
= n(A)/n(S)
= 2/6
= 1/3

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 3log₃(81) + 2log₄(64) + 5log₂(16) এর মান কত?

সমাধান:
3log₃(81) + 2log₄(64) + 5log₂(16)
= 3 × log₃(3⁴) + 2 × log₄(4³) + 5 × log₂(2⁴)
= 3 × 4 × log₃(3) + 2 × 3 × log₄(4) + 5 × 4 × log₂(2) [log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= 12 + 6 + 20 [log_a(a) = 1]
= 38

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৮ টি নীল বল, ১২ টি সাদা বল এবং ৪ টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল সংখ্যা = ৮ + ১২ + ৪ = ২৪

নীল বলের সংখ্যা = ৮
∴ নীল হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/২৪ = ১/৩

∴ নীল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩)
= (৩ - ১)/৩
= ২/৩

প্রশ্ন: যদি 5^{(x - y)} = 25 এবং 5^{(x + y)} = 3125 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5^{(x - y)} = 25
⇒ 5^{(x - y)} = 5²
⇒ x - y = 2 .......................... (1)

এবং 5^{(x + y)} = 3125
⇒ 5^{(x + y)} = 5⁵
⇒ x + y = 5 .......................... (2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x - y) + (x + y) = 2 + 5
⇒ 2x = 7
⇒ x = 7/2 
∴ x = 3.5

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log_a(b⁵) = 5x এবং log_b(a³) = 3y হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_a(b⁵) = 5x
⇒ 5 × log_a(b) = 5x 
⇒ log_a(b) = x   ................(i)

আবার,
log_b(a³) = 3y
⇒ 3 × log_b(a) = 3y 
⇒ log_b(a) = y   ................(ii)

আমরা জানি, log_b(a) = 1/log_a(b)  [log_m(n) × log_n(m) = 1]
এখন,
xy = loga(b) × logb(a)
⇒ xy = log_a(b) × 1/log_a(b)
∴ xy = 1

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি A, B এবং C তিনটি সেট হয়, তবে A × (B ∪ C) নিচের কোনটি সমান হবে?

সমাধান:
যেকোন সেট A, B, C এর জন্য,
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

প্রশ্ন: log₁₀(x + 1) + log₁₀(2) = log₁₀(x - 2) + 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀(x + 1) + log₁₀(2) = log₁₀(x - 2) + 1
⇒ log₁₀{(x + 1) × 2} = log₁₀(x - 2) + log₁₀(10)  [log_a(A) + log_a(B) = log_a(AB), 1 = log₁₀10]
⇒ log₁₀{2(x + 1)} = log₁₀{10(x - 2)}
⇒ 2(x + 1) = 10(x - 2)
⇒ 2x + 2 = 10x - 20
⇒ 8x = 22
⇒ x = 22/8
∴ x = 11/4

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুটো পিঠ (H, T) ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6)
∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12

এগুলো হলো: (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6) (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)

হেড এবং বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা = (H, 1), (H, 3), (H, 5)
∴ মোট 3 টি অনুকূল ঘটনা

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা = 3/12
= 1/4

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি C = {x ∈ N, x হলো 3 এর গুণিতক এবং 3 ≤ x ≤ 15} হয়, তবে P(C) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, C = {x ∈ N, x হলো 3 এর গুণিতক এবং 3 ≤ x ≤ 15}
∴ C = {3, 6, 9, 12, 15}
∴ n(C) = 5

∴ P(C) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁵
= 32

প্রশ্ন: 243 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₃(243)
= log₃(3⁵)
= 5 × log₃(3)   [log_a(Mⁿ) = n × log_a(M)]
= 5 × 1   [log_a(a) = 1]
∴ log₃(243) = 5

প্রশ্ন: 50 থেকে 80 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
মোট সংখ্যা, n(S) = 80 - 50 + 1 = 31 টি।

মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79
∴ অনুকূল ঘটনা সংখ্যা, n(A) = 7 টি।

সম্ভাবনা, P(A) = n(A)/n(S)
= 7/31

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: f(x) = (24x + 12)/(6x - 3) হলে, f(1/4) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
f(x) = (24x + 12)/(6x - 3)
∴ f(1/4) = {24 × (1/4) + 12}/{6 × (1/4) - 3}
= (6 + 12)/{(3/2) - 3)
= 18/(- 3/2)
= 18 × (- 2/3)
= - 12

প্রশ্ন: কোন শর্তে log_a1 = 0 ?

সমাধান:

প্রশ্ন: 4^x + 4^x + 4^x + 4^x এর মান কোনটি?

সমাধান:
4^x + 4^x + 4^x + 4^x
= 4^x(1 + 1 + 1 + 1)
= 4^x × 4
= 4^x × 4¹
= 4^{x + 1}
= (2²)^{x + 1}
= 2^{2(x + 1)}
= 2^{2x + 2}

∴ নির্ণেয় মান 2^{2x + 2}

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে ৬৫ জন ক্রিকেট, ৪৫ জন ক্রিকেট ও ফুটবল উভয় খেলায় এবং প্রত্যেকেই অন্তত একটি খেলায় অংশগ্রহণ করেন। ফুটবলে কতজন অংশগ্রহণ করেন?

সমাধান:
এখানে, ছাত্র সংখ্যা n(U) = ১০০ জন
ক্রিকেট খেলে n(C) = ৬৫ জন
ক্রিকেট ও ফুটবল উভয় খেলে n(C ∩ F) = ৪৫ জন
কমপক্ষে একটি খেলায় অংশগ্রহণ করে n(C ∪ F) = ১০০ জন

আমরা জানি,
n(C ∪ F) = n(C) + n(F) - n(C ∩ F)
⇒ ১০০ = ৬৫ + n(F) - ৪৫
⇒ ১০০ = ২০ + n(F)
∴ n(F) = ৮০

অর্থাৎ, ফুটবলে অংশগ্রহণ করে ৮০ জন।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান: