১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

x⁴ + x² + 1 = 0
বা, x² + 1 + 1/x² = 0
বা, x² + 1/x² = -1
(x² + 1/x²)² = 1
বা, x⁴ + 1/x⁴ + 2.x².1/x² = 1
∴ x⁴ + 1/x⁴ = -1

x = √3 - √2
∴ 1/x = √3 + √2 এবং x - 1/x = - 2√2
x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x (x - 1/x)
= (-2√2)³ + 3. -2√2
= -16√2 - 6√2
= -22√2

(a + 1/a)²
= (a - 1/a)² + 4.a.1/a
= (-1)² + 4
(a + 1/a)² = 5
∴ a + 1/a = √5
a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3.a.1/a(a + 1/a)
= (√5)³ - 3√5
a³ + 1/a³
= 5√5 - 3√5
= 2√5

x³ + y³ = 20
বা, (x + y)³ - 3xy(x + y) = 20
বা, 2³ - 3xy.2 = 20
বা, -6xy = 12
∴ xy = -2
x² + y²
= (x + y)² - 2xy
= 2² - 2.(-2)
= 4 + 4
= 8

(a + b)²
= (a - b)² + 4ab
= 6² + 4.7
= 36 + 28
= 64
∴ (a + b) = 8
∴ 1/12(a² - b²)
= 1/12(a + b)(a - b)
= 1/12×8×6
= 4

-ax² + ax + 1
= 4x² - 4x + 1 [যখন a = -4]
= (2x - 1)²
∴ a = -4

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 3² = 5 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 9 - 5 = 4
বা, (ab + bc + ca) = 2
∴ (ab + bc + ca)³ = 2³ = 8

(x/y - y/x)²
= (x/y + y/x)² - 4.x/y.y/x
= 9 - 4
= 5
∴ (x/y - y/x) = √5
∴ x²/y² - y²/x²
= (x/y + y/x)(x/y - y/x)
= 3√5

x^-3 - 0.001 = 0
বা, x^-3 = 0.001 = 1/1000
বা, x³ = 1000

(x - 1)(x² + x + 1) = x³ - 1
∴ x³ + 1)x³ - 1(1
              x³ + 1
              --------
                    -2(ভাগশেষ)

6a² - a - 15
= 6a² - 10a + 9a - 15
= 2a(3a - 5) + 3(3a - 5)
= (3a - 5)(2a + 3)

x - 3, f(x) = x² - ax + 3 এর একটি উৎপাদক 
∴ f(3) = 0
বা, 9 - 3a + 3 = 0
বা, 3a = 12
∴ a = 4

y² - x² - 4y + 4
= y² - 4y + 4 - x²
= (y - 2)² - x²
= (x + y - 2)(y - x - 2)

এখানে, f(x) = x³ + 3x + 36
∴ f(-3) = (-3)³ + 3(-3) + 36 = -36 + 36 = 0
∴ x + 3, f(x) এর একটি উৎপাদক। 

4x⁴ + 3x² + 1
= (2x²)² + 2.2x².1 + 1² - x²
= (2x² + 1)² - x²
= (2x² + x + 1)(2x² - x + 1)

নিশ্চায়ক = (8)² - 4.1.15 = 64 - 60 = 4 = 2² যা পূর্ণ বর্গ সংখ্যা
∴ মূলগুলো মূলদ ও অসমান।

মূলদ্বয়ের যোগফল = 8/a = 1/2
∴ a = 16
∴ মূলদ্বয়ের গুণফল = 9/a = 9/16

নিশ্চায়ক = (-a)² - 4.2.1 = 0
বা, a² = 8
∴ a = ±2√2

প্রশ্নে ভুল রয়েছে।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে,
45 = 7² - 4²
47 = 24² - 23²
48 = 7² - 1²
অর্থ্যাৎ, অপশনে প্রদত্ত ৩টি সংখ্যাকেই স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করা যায়।
একাধিক উত্তর থাকায় বাতিল করা হয়েছে।

কিন্তু 46 সংখ্যাটিকে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তরূপে প্রকাশ করা যায় না।

∴ "কোন সংখ্যাটিকে বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করা যায় না?" প্রশ্ন এটি হলে সঠিক উত্তর হতো - 46

3/x + 4/(x+1) = 2
বা, (3x + 3 + 4x)/{x(x + 1)} = 2
বা, (7x + 3)/(x² + x) = 2
বা, 2x² + 2x = 7x + 3
বা, 2x² - 5x -3 = 0
বা, 2x² - 6x + x - 3 = 0
বা, 2x(x - 3) + 1 (x - 3) = 0
বা, (x - 3)(2x + 1) = 0
∴ x = 3, - 1/2

এখানে, x = 1 - t বা, t = 1 - x আবার, y = 2t + 1 
বা, y = 2(1 - x) + 1
বা, y = 2 - 2x + 1
বা, y = 3 - 2x
∴ 2x + y = 3

y = 1/x সমীকরণটি x, y এর এক ঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ নয়।
সুতরাং এটি সরলরেখার সমীকরণ নয়।
অপশনের বাকি সবগুলো সরলরেখার সমীকরণ।

xy = 1
∴ y = 1/x.......(1)
আবার, x + y = 2
বা, x + 1/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
x² - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1
(1) নং ⇒ y = 1/x = 1/1 = 1

ঢাল = -{(x এর মান)/(y এর মান)}
= - (2/-2)
= 1

|x - 5| < 6
বা, -6 < x - 5 < 6
বা, -6 + 5 < x-5 + 5 < 6 + 5
বা, -1 < x < 11

x² - x - 6 < 0
বা, x² - 3x + 2x - 6 < 0
বা, x(x-3) + 2(x-3) < 0
(x-3)(x+2) < 0
সংখ্যা রেখা অনুসারে, -2 < x < 3

যেহেতু,
a > b এবং c < 0
∴ ac < bc
বা, -ac > -bc

x < y এবং xy < 0 হলে,
x < 0, y > 0
∴ x/y < 0

x + y > 16...........(1)
x - y > 2...............(2)
(1) নং + (2) নং দ্বারা পাই,
2x > 18
∴ x > 9

∴ x > 0, y < 0
∴ xy < 0
∴ xy = - 1/4 < 0
∴ উত্তরঃ (ক)