৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার mতম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
 
সমাধান:
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি,
m তম পদ = a + (m - 1)d
⇒ n  = a + md - d
∴ a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ m  = a + nd - d
∴ a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই 
⇒ a + md - d - (a + nd - d)= n - m
⇒ a + md - d - a - nd + d = n - m
⇒ md - nd = n - m
⇒ d(m - n) = n - m
⇒ d = - 1(m - n)/(m - n)
∴ d =  - 1

সুতরাং, সাধারণ অন্তর - 1

প্রশ্ন: যদি 4xy - 5x + 39 = 0 এবং y = - 2 হয়, তাহলে 2x - y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 4xy - 5x + 39 = 0 এবং y = - 2।

প্রথমে, x-এর মান নির্ণয় করতে y-এর মান প্রদত্ত সমীকরণে বসাই,
4x(- 2) - 5x + 39 = 0
⇒ - 8x - 5x + 39 = 0
⇒ - 13x + 39 = 0
⇒ - 13x = - 39
⇒ x = 39/13
⇒ x = 3

এবার, x এবং y-এর মান ব্যবহার করে 2x - y এর মান নির্ণয় করি,
2x - y = 2(3) - (- 2)
= 6 + 2
= 8

সুতরাং, 2x - y এর মান হলো 8।

প্রশ্ন: (9x² + 6x + 1 = 0) সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 9x² + 6x + 1 = 0
এই সমীকরণটিকে ax2 + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 9
b = 6
c = 1

এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
D = b² - 4ac
= (6)² - 4 × 9 × 1
= 36 - 36
= 0

যেহেতু, নিশ্চায়ক (D) এর মান শূন্য, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি: বাস্তব ও সমান।

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 + ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2){(2 × 1) + (n - 1)2}
= (n/2)(2 + 2n - 2)
= (n/2) × 2n = n²

প্রশ্ন: একটি বাক্সে কিছু ২০ টাকা ও ৫০ টাকার নোট রয়েছে। মোট নোটের সংখ্যা ৪০ এবং মোট টাকার পরিমাণ ১২৫০ হলে, ২০ টাকার কয়টি নোট রয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
২০ টাকার নোট রয়েছে = ক টি
৫০ টাকার নোট রয়েছে = (৪০ - ক) টি

প্রশ্নমতে,
২০ক + ৫০(৪০ - ক) = ১২৫০
⇒ ২০ক + ২০০০ - ৫০ক = ১২৫০
⇒ ২০০০ - ৩০ক = ১২৫০
⇒ - ৩০ক = ১২৫০ - ২০০০
⇒ - ৩০ক = - ৭৫০
⇒ ৩০ক = ৭৫০
⇒ ক = ৭৫০/৩০
∴ ক = ২৫

সুতরাং, ২০ টাকার নোট রয়েছে ২৫টি।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 1/8 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

​সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
n-তম পদ = ar^{n - 1}

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং
তৃতীয় পদ = 1/8

প্রশ্নমতে,
a × (1/2)^{3 - 1} = 1/8
⇒ a × (1/2)² = 1/8
⇒ a × (1/4) = 1/8
⇒ a = 4/8
∴ a = 1/2
​
​∴ ধারাটির প্রথম পদ​ 1/2.

প্রশ্ন: x - ( 1/x) = p হলে c/{x(x - p)} এর মান কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x)= p
⇒ (x² - 1)/x = p
⇒ x² - 1 = xp
⇒ x² - xp = 1 
⇒ x(x - p) = 1 

এখন,
c/{x(x - p)}
= c/1 
= c

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 45 হলে, তার প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটির প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d

প্রশ্নমতে,
a + 9d = 45

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি, S19 = (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 45
= 855

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৪

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৮ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৬ + ৮
∴ ক = ১৪

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = ১৪
∴ ছাত্রসংখ্যা = (১৪ - ২) × ৪ জন
= ১২ × ৪ = ৪৮ জন

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r) [যেহেতু, r < 1]
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

প্রশ্ন: 1 থেকে 50 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 1 থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
এখানে, n = 50
অতএব, সমষ্টি = {50(50 + 1)}/2
= (50 × 51)/2
= 25 × 51
= 1275
সুতরাং, 1 হতে 50 পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো 1275।

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 3। লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/3 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = x + 3

ভগ্নাংশটি = x/(x + 3)

প্রশ্নমতে,
(x - 1)/(x + 3 + 2) = 1/3
⇒ (x - 1)/(x + 5) = 1/3
⇒ 3x - 3 = x + 5
⇒ 3x - x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4

∴ ভগ্নাংশটি = 4/(4 + 3) = 4/7

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের 9 গুন। সাধারণ অনুপাত হবে-

সমাধান: 
প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/(r - 1)
প্রথম 3 টি পদের সমষ্টি = a. (r³ - 1)/(r - 1)

শর্তানুসারে, a. (r⁶ - 1)/(r - 1) = 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
⇒ r⁶ - 1 = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³)² - 1² = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³ - 1) (r³ + 1) = 9 × (r³ - 1)
⇒ r³ + 1 = 9
⇒ r³ = 8 = 2³ 
∴ r = 2

প্রশ্ন: একজন মালি সারি ও কলামে গাছ লাগিয়েছেন, যেখানে সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার চেয়ে চার কম। যদি মোট সারি ও কলামের সংখ্যা ১০০ হয়, তবে মোট গাছের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
কলামের সংখ্যা = ক 
সারির সংখ্যা = ক - ৪

প্রশ্নমতে,
ক + ক - ৪ = ১০০
⇒ ২ক = ১০৪
⇒ ক = ১০৪/২
∴ ক = ৫২

অতএব, কলামের সংখ্যা = ৫২
তাহলে, সারির সংখ্যা = ৫২ - ৪ = ৪৮

∴ গাছের মোট সংখ্যা = ৫২ × ৪৮ = ২৪৯৬ টি

প্রশ্ন: (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + ............... ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2 
এবং ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = (1/4)/(1/2) = (1/4) × (2/1) = 1/2 < 1 

∴ ধারাটির অসমীতক সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r) 
= (1/2)/{1 - (1/2)}
= (1/2)/{1 - (1/2)} 
= (1/2)/{(2 - 1)/2}
= (1/2)/(1/2)
= (1/2) × (2/1) 
= 1

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (2a + 1)/3 = 27/(2a + 1)
⇒ (2a + 1)² = 81
⇒ 2a + 1 = 9
⇒ 2a = 8
∴ a = 4

প্রশ্ন: a² - 6a + 8 = 0  হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
a² - 6a + 8 = 0
⇒ a² - 4a - 2a + 8 = 0
⇒ a(a - 4) - 2(a - 4) = 0
⇒ (a - 4)(a - 2) = 0
∴ a = 4 অথবা 2

∴ a এর মান = 2 অথবা 4

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1) 
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = 19 × (19 + 1)
= (19 × 20)
= 380

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে, kx² + 3x + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান:
পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত:
একটি দ্বিঘাত রাশি ax² + bx + c পূর্ণবর্গ হবে যদি এর নিশ্চায়ক শূন্য হয়।
অর্থাৎ b² - 4ac = 0
kx² + 3x + 4 এর সাথে ax² + bx + c তুলনা করে পাই,
a = k, b = 3, এবং c = 4.  

∴ 3² - 4 × k × 4 = 0
⇒ 9 - 16k = 0
⇒ 16k = 9
∴ k = 9/16.

প্রশ্ন: 2, 2√2, 4, ... প্রদত্ত অনুক্রমটির কততম পদ 64?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 2
​∴ সাধারণ অনুপাত, r = (2√2)/2 = √2

আমরা জানি,
​ n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 64
⇒ 2 × (√2)^{n - 1} = 64
⇒ ​(√2)^{n - 1} = 64/2
⇒ (√2)^{n - 1} = 32
⇒ (√2)^{n - 1} = 2⁵
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)^{2 × 5}
​⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
∴ n = 11

অতএব, প্রদত্ত অনুক্রমটির 11তম পদ হলো 64.

প্রশ্ন: 3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণটিতে y এর মান কত?

সমাধান:
3/(y + 1) = 4/(y - 2)
⇒ 3(y - 2) = 4(y + 1)
⇒ 3y - 6 = 4y + 4
⇒ 4y - 3y = - 6 - 4
⇒ y = - 10

প্রশ্ন: log 8 + log 64 + log 512 +............ ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log 8 + log 64 + log 512 +...........
= log 81 + log 82+ log 83 +...........
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি
= n(n + 1)/2
= 10(10 + 1)/2
= 55

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 55 log 8

প্রশ্ন: যদি a = 2/7, b = 1/3 এবং c = 1/8 হয় তাহলে a - 3b + 24c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a = 2/7
b = 1/3
c = 1/8

এখন, 
a - 3b + 24c
= (2/7) - (1/3) × 3 + 24 × (1/8)
= (2/7) - 1 + 3
= (2/7) + 2
= (2 + 14)/7
= 16/7

প্রশ্ন: রায়হান একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 7, 14, 28, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 7
অনুপাত, r = 14/7 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 7 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 7 × 127
= 889

∴ রায়হান 7 দিনে মোট 889 টি পণ্য তৈরি করবে।

প্রশ্ন:  x² = x√2 হলে, x এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² = x√2
x² - x√2 = 0
x(x - √2) = 0

হয় 
x = 0

অথবা
x - √2 = 0
x = √2

প্রশ্ন: একটি ধারার প্রথম সংখ্যাটি 2 এবং এর পরের প্রতিটি সংখ্যা ঠিক আগের সংখ্যা থেকে 4 বেশি হলে ধারার 200 তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর d = 4

আমরা জানি 
n তম পদ = a + (n - 1)d
200 তম = a + (200 - 1)d
= 2 + (199 × 4)
= 2 + 796
= 798

প্রশ্ন: যদি 3x² + mx + 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং m > 0 হয়, তাহলে m এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, 3x² + mx + 12 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = m, c = 12

আমরা জানি, মূলদ্বয় সমান হলে,
b² − 4ac = 0
⇒ m² = 4 × 3 × 12 
⇒ m² = 144
⇒ m = √144
∴ m = 12 (যেহেতু m > 0) 

প্রশ্ন: প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {11(11 + 1)/2}²
= {(11 × 12)/2}²
= (11 × 6)²
= (66)²
= 4356

প্রশ্ন: 45 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত?  

সমাধান: 
মনে করি, 
একটি অংশ = x 
∴ অপর অংশটি = x/4 

প্রশ্নমতে, 
x + x/4 = 45 
⇒ (4x + x)/4 = 45 
⇒ 5x = (45 × 4) 
⇒ 5x = 180 
⇒ x = 180/5 
∴ x = 36 

∴ ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য = 36/4
= 9 ফুট।

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে আগের মাসের তুলনায় 200 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 15 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1200
সাধারণ অন্তর, d = 200

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1) × d
= 1200 + (14 × 200)
= 1200 + 2800
= 4000

∴ রহিম 15 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4000 টাকা।