শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: x⁴ - x² + 4 = 0 হয়, তবে x + 2/x এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x⁴ - x² + 4 = 0
বা, x⁴ + 4 = x²
বা, x⁴/x² + 4/x² = 1
বা, x² + (2/x)² = 1
বা, (x + 2/x)² - 2.x.(2/x) = 1
বা, (x + 2/x)² - 4 = 1
বা, (x + 2/x)² = 5
      x + 2/x = √5

প্রশ্ন: x = √7 + √6 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x = √7 + √6
বা, 1/x = 1/(√7 + √6)
বা, 1/x = (√7 - √6)/(√7 + √6)(√7 - √6)
বা, 1/x = (√7 - √6)/{(√7)² - (√6)²}
বা, 1/x = (√7 - √6)/(7 - 6)
বা, 1/x = (√7 - √6)/1
     1/x =√7 - √6
এখন
x + 1/x = √7 + √6  + √7 - √6 
             = 2√7 

প্রদত্ত রাশি = x² + 1/x²
                 = (x)² + (1/x)²
                 = (x + 1/x)² - 2.x.(1/x)
                 = (2√7)² - 2
                 = 28 - 2
                 = 26

প্রশ্ন: x² + 7x - 120 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান:
= x² + 7x - 120
= x²  + 15x - 8x - 120
=x(x + 15) - 8(x + 15)
= (x + 15)(x - 8)

প্রশ্ন: 2x² - 9x - 35 এর সঠিক উৎপাদক গুলো হলো-

সমাধান:
   2x² - 9x - 35
= 2x² - 14x + 5x - 35
= 2x(x - 7) + 5(x - 7)
= (x - 7) (2x + 5)

প্রশ্ন: a + 1/a = 2 হলে a³ + 1/a³ এর মান কত?
[লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নে ভুল আছে। a + 1/a = 2 এর পরিবর্তে টাইপের ভুলে a - 1/a = 2 দেওয়া ছিলো। প্রশ্নে ভুল থাকায় বাতিল করা হয়েছে]

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + 1/a = 2

প্রদত্ত রাশি = a³ + 1/a³
                  = (a + 1/a)³ - 3a.(1/a)(a + 1/a)
                  = 2³ - 3.2
                  = 8 - 6
                  = 2

প্রশ্ন: 2x + 2/x = 8 হলে, x² + 1/x² এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে
2x + 2/x = 8
2(x + 1/x) = 8
x + 1/x = 4

x² + 1/x² = (x)² + (1/x)²
                = (x + 1/x)² - 2.x.1/x
                = 42 - 2
                = 16 - 2
                = 14 

প্রশ্ন: x - x^{- 1} = √2 হলে, x² - x^{- 2} এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - x^{- 1} = √2
x - 1/x = √2

আমরা জানি,
(x + 1/x)² = ( x - 1/x)² + 4.x.1/x
(x + 1/x)² = (√2)² + 4
(x + 1/x)² = 2 + 4
(x + 1/x)² = 6
(x + 1/x) = √6

এখন 
x² - x^{- 2} = x² - 1/x²
              = (x)² - (1/x)²
              = (x + 1/x)(x - 1/x)
              = √2 × √6
              = √12
              = 2√3
               

প্রশ্ন: 3x² - x - 14 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যাবে- 

সমাধান: 
3x² - x - 14
= 3x² - 7x + 6x - 14
= x(3x - 7) + 2(3x - 7)
= (3x - 7)(x + 2)

প্রশ্ন: a + b = √7 এবং  a - b = √5 হলে, a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √5
আমরা জানি 
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
2(a² + b²) = (√7)² + (√5)²
2(a² + b²) = 7 + 5 
2(a² + b²) = 12
(a² + b²) = 6

প্রশ্ন: 3x² + 11x  - 4 একটি উৎপাদক (x + 4) হলে, অপরটি হবে-

সমাধান:
3x² + 11x  - 4
3x² + 12x - x - 4
3x(x + 4) - 1(x + 4)
(x + 4)(3x - 1)

দেয়া আছে,
x⁴ - 3x² + 1 = 0 
x⁴ + 1 = 3x²
x⁴/x² + 1/x² = 3x²/x²
x² + 1/x² = 3

প্রশ্ন: x² = 11 + 2√30 হলে, x + 1/x এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² = 11 + 2√30
x² = 6 + 2√30 + 5
x² = (√6)² + 2.(√6)(√5) + (√5)²
x² = (√6 + √5)²
x = √6 + √5
1/x = 1/(√6 + √5)
1/x = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
1/x = (√6 - √5)/{(√6)² - (√5)²}
1/x = (√6 - √5)/(6 - 5)
1/x = √6 - √5

x + 1/x = √6 + √5 + √6 - √5
              = 2√6 

প্রশ্ন: x + y = 2 হলে x³ + y³ + 6xy এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 2

এখানে,
 x³ + y³ + 6xy =(x + y)³ - 3xy(x + y) + 6xy
                        = 2³ - 3xy × 2 + 6xy
                        = 8 - 6xy + 6xy
                        = 8

প্রশ্ন: যদি √x + 1/√x =  - 2 হয় তবে, (x + 1/x)³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
√x + 1/√x =  - 2
(√x + 1/√x)² = (- 2)²
(√x)² + 2 √x . 1/√x + (1/√x)² = 4
x + 2 + 1/x = 4
x + 1/x = 4 - 2
x + 1/x = 2
(x + 1/x)³ = 2³
(x + 1/x)³ = 8

প্রশ্ন:  x² - 3xy - 40y² কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে-

সমাধান: 
x² - 3xy - 40y² 
= x² - 8xy + 5xy - 40y² 
= x(x - 8y) + 5y(x - 8y)
= (x - 8y)(x + 5y)

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে, x¹⁰ + 1/x²⁰ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x + 1/x = 2
x² + 1 = 2x
x² - 2x + 1 = 0
x² - 2.x. 1 + 12 = 0
(x - 1)² = 0
x - 1 = 0
x = 1

x¹⁰ + 1/x²⁰  = 1¹⁰ + 1/1²⁰ 
                    = 1 + 1/1
                    = 1 + 1 
                    = 2

প্রশ্ন: x⁴ + x² + 1 এর একটি উৎপাদক হলো-

সমাধান: 
x⁴ + x² + 1
= (x²)² + 2.x².1 + 1² - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + 1 + x) (x² + 1 - x)
=  (x² + x + 1 ) (x²  - x + 1)

প্রশ্ন: 2x - 1/3x = 3 হলে, 8x³ - 1/27x³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
2x - 1/3x = 3

প্রদত্ত রাশি = 8x³ - 1/27x³ 
                 = (2x)³ - (1/3x)³
                 = (2x - 1/3x)³ + 3. 2x.1/3x (2x - 1/3x)
                  = 3³ + 2 × 3
                   = 27 + 6 
                    = 33

দেয়া আছে,
x² + y² = 2 
x² - y² = - 2 

এখন 
x⁴ + y⁴ = (x²)² + (y²)²
             = {(x² + y²)² + (x² - y²)² }/2
             = {(2)² + (- 2)²}/2
             = (4 + 4)/2 
             = 8/2
              = 4