Math Master

প্রশ্ন: তিনটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো । দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
তিনটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে, তার সম্ভাব্য ফলাফলগুলি হলো = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} = ৮টি
 
এখান, দুটি হেড আসার ফলাফলগুলো হলো = {HHT, HTH, THH} = ৩টি

আমরা জানি,
সম্ভাবনা, P(A)= অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট ঘটনার সংখ্যা

সুতরাং, দুটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা,
P(দুটি হেড) = 3/8

প্রশ্ন: ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৬ উপাত্তগুলোর গড় কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর সমষ্টি = ৭ + ৮ + ৯ + ১০ + ১১ + ১২ + ১৩ + ১৪ + ১৫ + ১৬​ = ১১৫

গড় = ১১৫/১০ = ১১.৫

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৫টি সাদা বল এবং ৩টি কালো বল রয়েছে। দুটি বল একসাথে বের করার সময়, দুটি বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বাক্সে মোট বল আছে = ৮টি

প্রথম বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা,
P(প্রথম বল সাদা ) = ৫/​৮

দ্বিতীয় বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা, (যেহেতু প্রথমটি সাদা বের হয়েছে)
P(দ্বিতীয় সাদা বল) = ৪/৭

∴ সুতরাং, দুটি বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা,
P(দুটি সাদা বল) = (৫/৮) × (৪/৭)
= ২০/৫৬
= ৫/১৪

প্রশ্ন: চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা ৩/৫ হলে, চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/৫

∴ P(চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা) = ১ - (৩/৫) = ২/৫

সুতরাং, চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা ২/৫

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৪০ জন শিক্ষার্থী আছে। তাদের মধ্যে ২৫ জন ক্রিকেট খেলে, ২০ জন ফুটবল খেলে এবং ১০ জন উভয় খেলায় অংশ নেয়। তাহলে কতজন শিক্ষার্থী কোনো খেলাই খেলে না?

সমাধান:
ক্রিকেট খেলে, n(C) = ২৫ জন
ফুটবল খেলে, n(F) = ২০ জন
উভয় খেলা খেলে, n(C ∩ F) = ১০ জন

আমরা জানি,
n(C ∪ F) = n(C) + n(F) - n(C ∩ F)
= ২৫ + ২০ - ১০
= ৩৫

∴ খেলা না খেলা শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৪০ - ৩৫ = ৫ জন

প্রশ্ন: 52 টি তাস হতে একটি তাস নিলে রাজা বা রানীর হৃদয় পাবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
অনুকূল ঘটনার সংখ্যা হলো, রাজা হৃদয় 1টি এবং রানী হৃদয় 1টি
∴ মোট অনুকূল ঘটনা = 1 + 1 = 2

মোট ঘটনার সংখ্যা = 52

সম্ভাবনা,
P(রাজা বা রানীর হৃদয়) = 2/52 = 1/26

অতএব, রাজা বা রানী হৃদয় পাওয়ার সম্ভাবনা = 1/26

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত উপাত্তকে ১০ টি শ্রেণিতে ভাগ করলে ৭নম্বর শ্রেণিটি নিচের কোনটি?

সমাধান:
শ্রেণিগুলি হবে,
1 - 10
11 - 20
21 - 30
31 - 40
41 - 50
51 - 60
61 - 70
71 - 80
81 - 90
91 - 100

∴ ৭ নম্বর শ্রেণিটি হলো → ৬১ - ৭০

প্রশ্ন: যদি A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}, B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} হয়, তবে A ∩ B = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
অর্থাৎ, 2 থেকে বড় এবং 8-এর সমান বা ছোট স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো -
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
এবং
B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
অর্থাৎ, 9 এর সমান বা ছোট বিজোড় সংখ্যাগুলো-
B = {1, 3, 5, 7, 9}

∴ A∩B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 5, 7}

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে,  ছক্কায় 1 থেকে 3 আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি সাধারণ ছক্কায় মোট 6টি মুখ থাকে । যথা,
1, 2, 3, 4, 5, 6
এখন, 1 থেকে 3 পর্যন্ত আসার জন্য উপযুক্ত ফলাফলগুলো হলো, 1, 2, 3 = 3টি 

সুতরাং , 1 থেকে 3 আসার সম্ভাবনা হবে,

∴ P(1 থেকে 3 আসা) = 3/6 = 1/2

প্রশ্ন: 60, 55, 42, 45, 43, 45, 67, 78, 90, 56, 82, 71, 85, 80 উপাত্তগুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
সর্বোচ্চ মান = 90
সর্বনিম্ন মান = 42

আমরা জানি,
পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1
= (90 - 42) + 1
= 48 + 1
= 49

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১০টি সাদা বল, ৫টি কালো বল এবং ৩টি নীল বল রয়েছে। একটি বল দৈবভাবে বের করা হলে, বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
কালো বল = 5 টি 
বাক্সে মোট বলের সংখ্যা = 10 + 5 + 3 = 18 টি 

∴ বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = 5/18

∴ বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (5/18) = 13/18

অতএব, বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা 13/18

প্রশ্ন: 20, 24, 19, 2, 23, 32, 26, 28, 35, 21, 11, 28, 19 উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
2, 11, 19, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 28, 32, 35

উপাত্তের সংখ্যা: 13 যা বিজোড় সংখ্যা

∴ মধ্যক হবে = (n+1)/2 = (13 + 1)/2 = 7 তম উপাত্ত

∴ 7 ম উপাত্ত হলো 23

∴ মধ্যক হলো 23

প্রশ্ন: X = {a, b, c, d, e } সেটের উপসেট কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ     ; যেখানে n হলো সেটের উপাদানের সংখ্যা।

এখানে,
n = 5 হলে,
∴ উপসেট সংখ্যা = 2⁵ = 32

প্রশ্ন: একটি বিশ্রাম রুমে ৪ জন মহিলা ও ৪ জন পুরুষ আছে । দৈবভাবে ২ জন প্রার্থী নির্বাচন করলে ২ জনই মহিলা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট প্রার্থীর সংখ্যা = ৪ + ৪ = ৮
মোট ঘটনার সংখ্যা,
^৮C_২ = ৮!/{(৮ - ২)! × ২!}
= (৮ × ৭ × ৬!)/(৬! × ২)
= ৫৬/২
= ২৮

আবার,
২ জন মহিলা নির্বাচনের অনুকূল ঘটনা,
^৪C_২ = ৪!/{(৪ - ২)! × ২!}
= (৪ × ৩ × ২)/(২ × ২)
= ৬

∴ ২ জন মহিলার নির্বাচনের সম্ভাবনা হবে,
P(২ জন মহিলা) = ৬/২৮​ = ৩​/১৪

অতএব, ২ জন মহিলার নির্বাচনের সম্ভাবনা ৩​/১৪

প্রশ্ন: x ও y এর গড় মান ৯ এবং z = ১৫ হলে, x, y, z এর গড় মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গড় = সংখ্যাগুলোর যোগফল/সংখ্যার মোট পরিমাণ

দেওয়া আছে,
x ও y এর গড় মান ৯
∴ x ও y এর মোট মান = ৯ × ২ = ১৮
এবং, z = ১৫

∴ গড়= (x+y+z​)/৩ = (১৮ + ১৫)/৩ = ৩৩/৩ = ১১

প্রশ্ন: A = {x² > 8, x³ < 30} হলে, x এর সঠিক মান কোনটি?

সমাধান:
x এর এমন একটি মান বসাতে হবে যাহাকে বর্গ করলে 8 অপেক্ষে বড় এবং ঘন করলে 30 অপেক্ষা ছোট হবে ।
x = 2 হলে, x² = 2² = 4 এবং x³ = 2³ = 8  ; যা শর্তসিদ্ধ করে না ।
x = 3 হলে, x² = 3² = 9 এবং x³ = 3³ = 27  ; যা শর্তসিদ্ধ করে ।
x = 4 হলে, x² = 4² = 16 এবং x³ = 4³ = 81  ; যা শর্তসিদ্ধ করে না

∴ x = 3

প্রশ্ন: P = {x : x, 12 এর গুণনীয়ক}, Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} এবং Z = {1, 3, 4, 6} হলে, P ∩ Q ∩ Z = কত?

সমাধান:
P = {x : x, 12 এর গুণনীয়ক}
→ 12 এর গুণনীয়কসমূহ,
P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

আবার,
Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}
→ 3 এর গুণিতকসমূহ যা 12 বা তার কম
Q = {3, 6, 9, 12}
এবং,
Z = {1, 3, 4, 6}

∴ P ∩ Q ∩ Z = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ∩ {3, 6, 9, 12} ∩ {1, 3, 4, 6} = {3, 6}
 

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন । ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহে মোট দিন = ৭
বৃষ্টি হয়েছে মোট দিন = ৫

∴ P( বৃষ্টি হবার সম্ভাবনা) = ৫/৭

∴ P(বুধবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা) = ১ - (৫/৭) = (৭ - ৫)/৭ = ২/৭

সুতরাং, ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা ২/৭