৪৯তম বিসিএস ⎯ জেনারেল পার্ট [Archived]

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে 4x² + 20x + a রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?

 সমাধান:
4x² + 20x + a রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে যদি এটি (2x + 5)² আকারের হয়।

(2x + 5)² = (2x)² + 2 × (2x) × 5 + 5²
= 4x² + 20x + 25
প্রদত্ত রাশি 4x² + 20x + a এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 25
∴ a এর মান 25 হলে প্রদত্ত রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: 3x² - 10x - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
3x² - 10x - 8
= 3x² - 12x + 2x - 8
= 3x(x - 4) + 2(x - 4)
= (3x + 2)(x - 4)

প্রশ্ন: 3x + 4y = 7 এবং 4x - 3y = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3x + 4y = 7......... (1)
4x - 3y = 1 ........ (2)

(1) কে 3 দিয়ে এবং (2) কে 4 দিয়ে গুণ করে যোগ করি,
3(3x + 4y) + 4(4x - 3y) = 3 × 7 + 4 × 1
⇒ 9x + 12y + 16x - 12y = 21 + 4
⇒ (9x + 16x) + (12y - 12y) = 25
⇒ 25x = 25
⇒ x = 25/25
∴ x = 1

প্রশ্ন: a < b এবং c < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a < b
c < 0 (অর্থাৎ c একটি ঋণাত্মক সংখ্যা)।

একটি অসমতার উভয় পক্ষকে যখন একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তখন অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়।

a < b
উভয় পক্ষকে c দ্বারা গুণ করে পাই,
⇒ a × c > b × c

∴ প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী সঠিক অসমতাটি হলো,
ac > bc

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪ক + ৩ জন

অতএব, বেঞ্চ আছে ১৩টি।

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা হলো ৫৫ জন।

প্রশ্ন: x + y = 14 ও x - y = 6 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 14, x - y = 6

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
বা, 4xy = (14)² - (6)²
বা, 4xy = 196 - 36
বা, 4xy = 160
∴ xy = 40

প্রশ্ন: a² - b² + 2b - 1 এর একটি উৎপাদক-

সমাধান:
a² - b² + 2b - 1
= a² - (b² - 2b + 1)
= a² - (b - 1)²
= {a + (b - 1)}{a - (b - 1)}
= (a + b - 1)(a - b + 1)

প্রশ্ন: 12 - 3x ≥ 2x + 17 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
12 - 3x ≥ 2x + 17
⇒ - 3x - 2x ≥ 17 - 12
⇒ - 5x ≥ 5
⇒ x ≤ -1 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]

∴ সমাধান হলো x ≤ -1.

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১০৬ হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা চারটি হলো যথাক্রমে ক, (ক + ১), (ক + ২) এবং (ক + ৩)।

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) = ১০৬
⇒ ৪ক + ৬ = ১০৬
⇒ ৪ক = ১০৬ - ৬
⇒ ৪ক = ১০০
⇒ ক = ১০০/৪
⇒ ক = ২৫

∴ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি হলো ২৫।

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = ক + ৩ = ২৫ + ৩ = ২৮

প্রশ্ন: 2x³ - 3x² - 3x + 2 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ - 3x² - 3x + 2
∴ f(- 1) = 2(- 1)³ - 3(- 1)² - 3(- 1) + 2
= 2(- 1) - 3(1) + 3 + 2
= - 2 - 3 + 3 + 2
= 0 

যেহেতু f(-1) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, x - (-1), অর্থাৎ (x + 1) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

সমাধান:

প্রশ্ন: |2x + 5| ≤ 7 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|2x + 5| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ 2x + 5 ≤ 7
⇒ - 7 - 5 ≤ 2x ≤ 7 - 5
⇒ - 12 ≤ 2x ≤ 2
⇒ - 12/2 ≤ x ≤ 2/2
⇒ - 6 ≤ x ≤ 1

∴ সমাধান হলো - 6 ≤ x ≤ 1

প্রশ্ন: a - b = 5 এবং ab = 36 হলে a + b এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a - b = 5 এবং ab = 36

আমরা জানি,
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
⇒ (a + b)² = (5)² + 4 × 36
⇒ (a + b)² = 25 + 144
⇒ (a + b)² = 169
⇒ a + b = √169
∴ a + b = 13

প্রশ্ন: x³ + 2x² - 5x + a বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + 2x² - 5x + a

যেহেতু (x - 1) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 1 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(1) এর মান নির্ণয় করি,
f(1) = (1)³ + 2(1)² - 5(1) + a
= 1 + 2 - 5 + a
= - 2 + a

শর্তমতে,
f(1) = 0
বা, - 2 + a = 0
∴ a = 2

সমাধান:

প্রশ্ন: x² + 3x - 10 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান: x² + 3x - 10 > 0
⇒ x² + 5x - 2x - 10 > 0
⇒ x(x + 5) - 2(x + 5) > 0
⇒ (x + 5)(x - 2) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 5 এবং x = 2

(x + 5)(x - 2) > 0 এর গুণফল ধনাত্নক হয়,
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ধনাত্নক (অর্থাৎ x > 2), অথবা
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 5)।

অর্থাৎ, x < - 5 অথবা x > 2।

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 5) ∪ (2, ∞)।

প্রশ্ন: x + 2y = 4 হলে, x³ + 8y³ + 24xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 4

এখন,
x³ + 8y³ + 24xy
= x³ + (2y)³ + 24xy
= (x + 2y)³ - 3 . x . 2y(x + 2y) + 24xy [a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)]
= (4)³ - 6xy(4) + 24xy
= 64 - 24xy + 24xy
= 64
∴ x³ + 8y³ + 24xy = 64

প্রশ্ন: a⁶ - b⁶ এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a⁶ - b⁶
= (a³)² - (b³)²
= (a³ + b³)(a³ - b³)
= (a + b)(a² - ab + b²)(a - b)(a² + ab + b²)
= (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

প্রশ্ন: (4x - 3, 6) = (13, 3y + 3) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(4x - 3, 6) = (13, 3y + 3)

অতএব, 
4x - 3 = 13
⇒ 4x = 13 + 3
⇒ 4x = 16
⇒ x = 4

এবং,
3y + 3 = 6
⇒ 3y = 6 - 3
⇒ 3y = 3
⇒ y = 1

∴ (x, y) = (4, 1)

প্রশ্ন: |x - 5| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 4x - 10 < n হবে?

সমাধান:
|x - 5| < 2
⇒ - 2 < x - 5 < 2
⇒ - 2 + 5 < x < 2 + 5
⇒ 3 < x < 7
⇒ 3 × 4 < 4x < 7 × 4
⇒ 12 < 4x < 28
⇒ 12 - 10 < 4x - 10 < 28 - 10
⇒ 2 < 4x - 10 < 18

এখন, m < 4x - 10 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2 এবং n = 18।

সমাধান:

প্রশ্ন: y³ - 2√2 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
y³ - 2√2
= y³ - (√2)³
= (y - √2)(y² + y√2 + (√2)²)
= (y - √2)(y² + y√2 + 2)

সমাধান:

প্রশ্ন: a² + 1 - √7 · a = 0 হলে  এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + 1 - √7 · a = 0
⇒ a² + 1 = √7 · a
⇒ (a² + 1)/a = √7a/a
⇒ a + 1/a = √7

এখন,
{a - (1/a)}²
= {a + (1/a)}² - 4 · a · 1/a
= (√7)² - 4
= 7 - 4
= 3