ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ অনুপাত, r = 8/16
= 1/2

∴ অষ্টম পদ = ar^{8 - 1} = ar⁷
= 16 × (1/2)⁷
= 16/128
= 1/8

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + …… + 73 ধারাটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
এখানে ধারাটির,
১ম পদ = 1
শেষ পদ = 73
সাধারণ অন্তর = 5 – 1 = 4

সুতরাং, পদসংখ্যা = {(শেষ পদ – ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(73 – 1)/4} + 1
= 19

প্রশ্ন: প্রথম 15টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কত?

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 8 এবং পঞ্চম পদটি 48 হলে নবম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
পঞ্চম পদ 48
∴ a + (5 - 1) × 8 = 48
⇒ a + 32 = 48
⇒ a = 16

∴ নবম পদ = 16 + (9 - 1) ×‌ 8
= 16 + 64
= 80

প্রশ্ন: শাফি প্রথম দিনে 3টি, ২য় দিনে 6টি, ৩য় দিনে 12টি মুদ্রা জমা করে। এভাবে মুদ্রা জমা করলে 10 দিনে মোট কতটি মুদ্রা জমা করবে?

সমাধান:
শাফির টাকা জমা করার অনুক্রম: 3, 6, 12,  . . . ., n

এখানে অনুক্রমটির,
মোট পদ, n = 10
১ম পদ, a = 3
অনুপাত, r = 6/3 = 2

∴ 10টি পদের সমষ্টি = 3 × {(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)} [∵ n তম পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}]
= 3 × (1024 - 1)/1
= 3 × 1023
= 3069
অতএব, শাফি 10 দিনে মোট 3069 টি মুদ্রা জমা করবে।

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + . . . . ধারাটির কোন পদ 275 হবে?

সমাধান:
ধারাটির, ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3

ধরি, r-তম পদ = 275
তাহলে, a + (r - 1)d = 275
⇒ 5 + (r - 1)3 = 275
⇒ 5 + 3r - 3 = 275
⇒ 3r = 273
∴ r = 91
অতএব, ধারাটির 91 তম পদ 275 হবে।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি - 48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^{n - 1}
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^{2 - 1} = aq = - 48
∴ a = - 48/q ......... (i)

আবার পঞ্চম পদ= aq^{5 - 1}= aq4 = (- 48/q)q⁴  = - 48q³

প্রশ্নমতে,
- 48q³= 3/4
বা, q³= - 3/192
বা, q³= - 1/64
বা, q³= (- 1/4)³
∴ q = - 1/4
∴ প্রথম পদ = - 48/(-1/4) = 192

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ..... + 48 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 48
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1 = 1

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (48/2){2 · 1 + (48 - 1) · 1}
= 24(2 + 47)
= 1176

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + ............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 729 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3

ধরি,
n তম পদ = 729
বা, ar^{n - 1} = 729
বা, 3 × 3^{n - 1} = 729
বা, 3^{1 + n - 1} = 3⁶
বা, 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

∴ ধারাটির 6 তম পদ 729 হবে।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
সমান্তর ধারা: সমান্তর বলতে ‘সমান অন্তর’ বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: ১ + ৪ + ৭ + ১০ +...............+ ২২, একটি সমান্তর ধারা।

∴ 3 - 6 - 15 - 24 ....... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = (-6 -3) = -9 
আবার, -15 - (-6) = -9 
-24 - (-15) = -9

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n = 6
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1
= 1/2 ;যা 1 থেকে ছোট

∴ 6 টি পদের সমষ্টি = a × {(1 - rn)/(1 - r)}
= 1 × [{1 - (1/2)6}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/64)}/{1 - (1/2)}
= {(64 - 1)/64}/{(2 - 1)/2}
= (63/64)/(1/2)
= (63/64) × (2/1)
= 63/32

প্রশ্ন: 

সমাধান:
ধারাটির, প্রথম পদ, a = 1/5
সধারণ অনুপাত, r = (-2/5²)/(1/5) = (-2/25) × (5/1) = (-2/5)

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/5)/{1 - (-2/5)}
= (1/5)/{5/(5 + 2)}
= 1/7

প্রশ্ন: 1, 3, 6, 10, ..... অনুক্রমটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:
অনুক্রমটির,
১ম পদ = 1
২য় পদ = 1 + 2 = 3
৩য় পদ = 3 + 3 = 6
৪র্থ পদ = 6 + 4 = 10
৫ম পদ = 10 + 5 = 15
৬ষ্ঠ পদ = 15 + 6 = 21
৭ম পদ = 21 + 7 = 28
৮ম পদ = 28 + 8 = 36

প্রশ্ন: 3 + 3√2 + 6 + 6√2 + .......... ধারাটির কোন পদ 192 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 3√2/3 = √2
১ম পদ a = 3
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 192
⇒ 3 × (√2)^{n - 1} = 192
⇒ (√2)^{n - 1} = 64
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁶
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 6
⇒ (n - 1)/2 = 6
⇒ n - 1 = 12
∴ n = 13

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 30 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 100 হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (5 - 1)d = 30
⇒ a + 4d = 30 .......... (1)

এবং(5/2){2a + (5 - 1)d} = 100
⇒ 2a + 4d = 40 ..............(2)

(2) নং - (1) নং ⇒ হতে পাই,
2a + 4d - a - 4d = 40 - 30
∴ a = 10

প্রশ্ন: নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারা:
যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।

যেমন:
২ + ৪ + ৮ + ....... 
৩, ৯, ২৭ ......
১/২, ১/৪, ১/৮......

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ...... + (2a - 1) = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = 1
সাধারণ অন্তর = 3 - 1 = 2
শেষ পদ = 2a - 1
∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(2a - 1 - 1)/2} + 1
= {2(a - 1)/2} + 1
= a - 1 + 1 
= a

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/2} × পদসংখ্যা
= {(2a - 1 + 1)/2} × a
= (2a/2) × a
= a²

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r (r < 1) এবং পদসংখ্যা n হলে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
একটি গুণোত্তর ধারা প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r (r < 1) এবং পদসংখ্যা n হলে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

আবার,
একটি গুণোত্তর ধারা প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r (r > 1) এবং পদসংখ্যা n হলে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

প্রশ্ন: 211 + 178 + ______ + 112 শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ = 211
২য় পদ = 211 - 33 = 178
৩য় পদ = 177 - 33 = 145
৪র্থ পদ = 145 - 33 = 112

প্রশ্ন: 4 + (4/3) + (4/9) + . . . . ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 4
২য় পদ = 4/3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (4/3)/4
= (4/3) × (1/4)
= 1/3

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ...... + n³ = কত?

সমাধান:
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = [{n(n + 1)}/2]²

প্রশ্ন: প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = (১০)^২
= ১০০

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + ..... ধারাটির প্রথম কতটি পদের সমষ্টি 2186?

সমাধান:
ধরি,
2 + 6 + 18 + ..... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2186

এখানে,১ম পদ, a = 2, 
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 >1

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 2186
⇒ a{(rⁿ - 1)/(3 - 1)} = 2186
⇒ 2 × {(3ⁿ - 1)/2} = 2186
⇒ 3ⁿ - 1 = 2186
⇒ 3ⁿ = 2187
⇒ 3ⁿ = 3⁷
∴ n = 7

প্রশ্ন: a + b + c + d + . . . .  একটি গুণোত্তর ধারা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
a + b + c + d + . . . .  একটি গুণোত্তর ধারা হলে,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ = ৩য় পদ/২য় পদ = চতুর্থ পদ/৩য় পদ
∴ b/a = c/b = d/c

∴ b/a = d/c সম্পর্কটি সঠিক।