Math Master

প্রশ্ন: x + y = 7 এবং x - y = 1 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(x + y = 7) এবং (x - y = 1)

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
= 7² - 1²
= 49 - 1
= 48
⇒ 4xy = 48
⇒ xy = 48/4
∴ xy= 12

প্রশ্ন: x³ + 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x³ + 27
= x³ + 3³
= (x + 3)(x² - 3x + 3²) [∵ a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)]
= (x + 3)(x² - 3x + 9)

প্রশ্ন: x² - 1 - 6x = 0 হলে, (x² + 1)²/x² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² - 1 - 6x = 0
⇒ x² - 1 = 6x
⇒ (x² - 1)/x = (6x)/x
⇒ x - 1/x = 6

এখন,
(x² + 1)²/x²
= {(x² + 1)/x}²
= (x + 1/x)²
= (x - 1/x)² + 4 . x . 1/x
= 6² + 4
= 36 + 4
= 40

প্রশ্ন: a - {a - (a + 2)} = কত?

সমাধান:
a - {a - (a + 2)}
= a - {a - a - 2}
= a - { - 2 }
= a + 2

প্রশ্ন: a² - b² + 8b - 16 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = a² - b² + 8b - 16
= a² - (b² - 8b + 16)
= a² - (b - 4)²
= (a + b - 4)(a - b + 4)

প্রশ্ন: যদি A = a² + ab + b² এবং B = a² + b² - ab হয় তবে A - B = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
A = a² + ab + b²
B = a² - ab + b²

∴ A - B
= (a² + ab + b²) - (a² - ab + b²)
= a² + ab + b² - a² + ab - b²
= 2ab

প্রশ্ন: x + y = 10 এবং xy = 16 হলে, x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 10 এবং xy = 16

প্রদত্ত রাশি = x³ + y³
= (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 10³ - (3 × 16 × 10)
= 1000 − 480
= 520

প্রশ্ন: y এর মান কত হলে (9x² - xy + 16) রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
9x² - xy + 16
= (3x)² - 2 × 3x × 4 + 4²
= (3x - 4)²

অতএব,
- xy = - 2 × 3x × 4
⇒ - xy = - 24x
⇒ y = 24

∴ y এর মান 24 হলে প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: x + y = 11 এবং x - y = 3 হলে, x² + y² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 11
x - y = 3

আমরা জানি,
2(x² + y²) = (x + y)² + (x − y)²
= 11² + 3²
= 121 + 9
⇒ 2(x² + y²) = 130
⇒ x² + y² = 130/2
∴ x² + y² = 65

প্রশ্ন: (x² - y² - z² - 2yz) এবং (z² - x² - y² - 2xy) রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:

প্রথম রাশি = x² - y² - z² - 2yz
= x² - (y² + z² + 2yz)
= x² - (y + z)²
= {x - (y + z)}{x + (y + z)}
= (x - y - z)(x + y + z)

দ্বিতীয় রাশি = z² - x² - y² - 2xy
= z² - (x² + y² + 2xy)
= z² - (x + y)²
= {z - (x + y)}{z + (x + y)}
= (z - x - y)(z + x + y)
= - (x + y - z)(x + y + z)

প্রথম রাশি = (x - y - z)(x + y + z)
দ্বিতীয় রাশি = - (x + y - z)(x + y + z)

∴ সাধারণ উৎপাদক = x + y + z 

প্রশ্ন: x² - 4x + 1 = 0 হলে, x² - (1/x²) = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² - 4x + 1 = 0
⇒ x - 4 + (1/x) = 0 [উভয় পাশে x দিয়ে ভাগ করে]
∴ x + (1/x) = 4

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . 1/x
= 4² - 4
= 16 - 4
⇒ (x - 1/x)² = 12
⇒ x - 1/x = √12
∴ x - (1/x) = 2√3

সুতরাং,
x² - (1/x²)
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= 4 × (2√3)
= 8√3

প্রশ্ন: x³ - 4x² + 6x - k বহুপদীর একটি উৎপাদক x = 3 হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
একটি উৎপাদক x = 3 হলে f(3) = 0 হবে। সুতরাং,
f(x) = x³ - 4x² + 6x - k
f(3) = 3³ - 4 × 3² + 6 × 3 - k = 0
⇒ 27 - 36 + 18 - k = 0
⇒ 9 - k = 0
⇒ k = 9

∴ k এর মান 9.

প্রশ্ন: 12x² + 11x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
12x² + 11x - 15
⇒ 12x² + 20x - 9x - 15
⇒ 4x(3x + 5) - 3(3x + 5)
⇒ (3x + 5)(4x - 3)

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

প্রশ্ন: x - 3y = 4 হলে, x³ - 27y³ - 36xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - 3y = 4

এখন,
x³ - 27y³ - 36xy
= x³ - (3y)³ - 36xy
= (x - 3y)³ + 3 . x . 3y(x - 3y) - 36xy
= 4³ + 9xy × 4 - 36xy
= 64 + 36xy - 36xy
= 64

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

প্রশ্ন: 3x³ - 4x² - 17x + 6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 3x³ - 4x² - 17x + 6
∴ f(3) = 3 × 3³ - 4  ×3² - 17 × 3 + 6
= 81 - 36 - 51 + 6
= 0

∴ x = 3 বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়।
∴ (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক। 

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 45 এবং বর্গের যোগফল 106। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি = x ও y
দেয়া আছে, xy = 45 এবং x² + y² = 106

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
= 106 + 2 × 45
= 106 + 90
= 196
⇒ x + y = √196
∴ x + y = 14

∴ সংখ্যা দুইটির যোগফল = 14