১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

• Alice Munro, original name Alice Ann Laidlaw একজন Canadian short-story writer.
- তিনি তাঁর exquisitely drawn narratives এর দ্বারা আন্তর্জাতিক স্বীকৃতি অর্জন করেছিলেন।
- ২০১৩ সালে তিনি সাহিত্যে Nobel prize লাভ করেন।
- নোবেল প্রাইজ প্রদানের সময়কালে The Swedish Academy dubbed her a “master of the contemporary short story”.
- Munro’s work was noted for its precise imagery and narrative style, যা একই সাথে lyrical, compelling, economical এবং intense এবং সুনিপুন ভাবে
- মানুষের মানসিক ও দৈনন্দিনজীবনের গভীরতা এবং জটিলতা প্রকাশ করে।

• Some of Alice Munro's notable Works -
- Dance of the Happy Shades,
- The Bear Came over the Mountain,
- The Lives of Girls and Women,
- The View from Castle Rock.

Source: Britannica

• Endymion:
- কবিতাটি রচনা করেন John Keats.
- Endymion appeared in 1818.
- এই কবিতাটি John Keats এর  first long poem.
- কবিতাটিকে poetic epic ও বলা হয়ে থাকে।
- This work is divided into four 1,000-line sections, and its verse is composed in loose rhymed couplets.
• 'A thing of beauty is a joy for ever' এই কবিতাটির প্রথম লাইন।

• John Keats, an English Romantic lyric poet who devoted his short life to the perfection of poetry marked by vivid imagery, great sensuous appeal, and an attempt to express a philosophy through classical legend.
- He is also called ‘Poet of Beauty’.

• John Keats এর Title গুলো হলো -
- Poet of Beauty,
- Poet of sensuousness,
- A Death Hunted Poet,
-The Youngest Poet of English Literature.
- এছাড়া তিনি ছিলেন- Physician, surgeon, এবং Doctor.
- John Keats তার Sense of Beauty এর জন্য বিখ্যাত।
- তার সাহিত্যকর্মের মধ্যে আছে, sonnets, odes, and epics ইত্যাদি।

• John Keats's famous poems are - 
- Ode to Psyche,
- Ode on Melancholy,
- To Autumn,
- Bright Star,
- On First Looking into Chapman's Homer,
- Lamia,
- Hyperion,
- The Eve of St,
- La Belle Dame Sans Merci,
- Endmiyon, etc.

Source: Britannica and Live MCQ Lecture.

• Ode to the West Wind:
- P. B Shelley wrote the poem 'Ode to the West Wind'.
- কবিতায় তিনি West Wind কে destroyer and preserver বলে আখ্যায়িত করেছেন।
- Ode to the West Wind, was written in a single sitting on Oct. 25, 1819, at Cascine wood near Florence, Italy.
- ১৮২০ সালে এটি প্রকাশিত হয়।
- এই কবিতাটি Shelley এর আবেগপ্রবণ ভাষা এবং প্রতীকী চিত্রকল্পের একটি প্রধান উদাহরণ হিসেবে বিবেচিত।
-  "If winter comes, can spring be far behind?" -এই কবিতার একটি বিখ্যাত লাইন।
- এই লাইনটির সাথেই কবিতাটি শেষ হয়।
- উক্তিটিকে literary terms Metaphor এর উদাহরন হিসেবেও বিবেচনা করা হয়।

• P.B. Shelley:
- তিনি একজন English Romantic poet.
-  তাকে গণ্য করা হয় ইংরেজি সাহিত্যের অন্যতম একজন Revolutionary poets হিসেবে।
- Her passionate search for personal love and social justice was gradually channeled from overt actions into poems that rank with the greatest in the English language.
- মাত্র ২৯ বছর বয়সে মৃত্যু হয় ইংরেজি সাহিত্যের এই উজ্জ্বল নক্ষত্রের।

Best works:
Poem:
- Ode to the West Wind,
- Queen Mab,
- Alastor,
- Adonais,
- Ozymandias,
- To a Skylark.

Drama:
- Prometheus Unbound,
- The Cenci.

Other options,
ক) The Prelude: কবিতাটি রচনা করেন William Wordsworth.
গ) The Eve of St. Agnes: কবিতাটি রচনা করেন John Keats.
ঘ) Hyperion: কবিতাটি রচনা করেন John Keats.

Source: Britannica.

• Caesar and Cleopatra:
- এটি George Bernard Shaw রচিত একটি 4 act বিশিষ্ট tragedy play.
- এই ট্র্যাজিডিটি ১৮৯৮ সালে রচিত এবং ১৯০১ সালে প্রথম প্রকাশিত হয়।
- এটি লেখকের first great play হিসেবে বিবেচিত।
- Caesar and Cleopatra was extraordinarily successful, largely because of Shaw’s talent for characterization.

• G. B. Shaw (1856-1950):
- তার পুরো নাম George Bernard Shaw.
- তিনি 'Modern period' এর নাট্যকার।
- George Bernard Shaw একজন Irish নাট্যকার এবং সাহিত্য সমালোচক।
- তিনি ১৯২৫ সালে নোবেল পুরস্কার পান।

• Famous Plays of G.B. Shaw:
- Pygmalion (Romantic play),
- Major Barbara (Social satire),
- Mrs. Warren's Profession;(play),
- Arms and the Man (Romantic comedy),
- Heartbreak House;
- Caesar and Cleopatra; (play/tragedy),
- Man and Superman; (Comedy play),
- The Doctor's Dilemma; (satire drama/play, Epilogue),
- St. Joan of Arc etc.

• উল্লেখ্য যে, Antony and Cleopatra শিরোনামে William Shakespeare এর একটি tragedy play রয়েছে।

Source: An ABC of English Literature, Dr. M Mofizar Rahman; Encyclopedia Britannica and Live MCQ Lecture.

• The Lake Isle of Innisfree
- এটি রচনা করেন Irish author W.B. Yeats.
- এই কবিতাটি মোট ১২ লাইনের। 
- Innisfree আয়ারল্যান্ডের একটি জনাকীর্ণ উপত্যকা। নৈসর্গিক সৌন্দর্য মন্ডিত একটি জায়গা। 
- শহরের কোলাহল আর রুক্ষ্মতায় ক্লান্ত, অবসন্ন কবি গ্রামের প্রশান্ত পরিবেশে যাওয়ার আকুলতা ব্যক্ত করেছেন এই কবিতায়। 

• W.B. Yeats
- He was born in Ireland in 1865. 
- Irish Poet, Dramatist, and Prose writer.
- বিংশ শতকে অনুষ্ঠিত হওয়া সাহিত্যে জগতে আইরিশ পুনর্জাগরণের অন্যতম পথিকৃত এই লেখক। 
- প্রথম আইরিশ লেখক হিসেবে তিনি নোবেল পুরষ্কার পান ১৯২৩ সালে। 
- তিনি তার রচিত সাহিত্যকর্মে symbolism এবং  mysticism ব্যবহার করেছিলেন। 

• Major Poems:
- The Wild Swans at Coole,
- The Tower,
- The Winding Stair and Other poems,
- The Resurrection,
- The Second Coming,
- The Cat and the Moon,
- Sailing to Byzantium,
- The Lake Isle of Innisfree,
- Among School Children,
- A Prayer for My Daughter,
- When You Are Old.

Source: Britannica.

• Othello:
- এটি Shakespeare রচিত একটি Tragedy.
- It tells the story of Othello, A moor of Venice.
- নাটকটির মূল চরিত্র Othello. সে ছিল ভেনিসের একজন সেনাপতি।
- এই tragedy এর কেন্দ্রীয় চরিত্র Othello এবং Othello এর Desdemona হচ্ছে নায়িকা।
- Villan চরিত্রে ছিল Iago.
- নাটকে Othello তাঁর নিজ স্ত্রীকে সন্দেহ করে এবং তাকে হত্যা করে।
- In this tragedy, Othello, the hero, was affected by Othello Syndrome (a mental disorder of excessive jealousy) যার বর্শবর্তী হয়ে villain Iago এর প্ররোচনায় Othello Desdemona কে হত্যা করে।

• Othello তার wife 'Desdemona' কে Handkerchief উপহার দেয় as a token of love.

• Important characters:
- Othello,
- Desdemona,
- Brabantio,
- lago,
- Cassio,
- Emilia etc.

• Shakespeare:
- তার জন্মস্থান Stratford Avon.
- তিনি একাধারে একজন English poet, dramatist এবং actor.
- তাকে English national poet বলা হয়।
- তাকে 'Bard of Avon' বলা হয়।
- He is considered by many as the greatest dramatist of all time. 

• Notable works: 
• Tragedy:
- Hamlet,
- Othello,
- King Lear,
- Macbeth,
- Julius Caesar.

• Comedy:
- As You Like It,
- The Tempest,
- Twelfth Night,
- A Midsummer Night's Dream etc.

• Famous poem:
- Shall I Compare Thee to a Summer Day/Sonnet 18,
- The Rape of Lucrece,
- Venus and Adonis.

Source: britannica.com

• For Whom the Bell Tolls:
- এই উপন্যাসটি লিখেছেন Ernest Hemingway. 
- এই উপন্যাসটি প্রকাশিত হয় ১৯৪০ সালে।
- কাহিনী গড়ে উঠে স্পেনের Segovia শহরে।
- This novel is set against the backdrop of the Spanish Civil War
- উপন্যাসটির উল্লেখযোগ্য চরিত্র Robert Jordan, Maria, Pablo, Pilar. 

Ernest Hemingway (1899-1961): 
- Ernest Hemingway একজন আমেরিকান novelist এবং short-story writer. 
- তিনি ১৯৫৪ সালে ‘The Old Man and The Sea’ উপন্যাসের জন্য নোবেল পুরস্কার লাভ করেন। 

• His famous novels:
- For Whom The Bell Tolls;
- The Old Man and The Sea;
- A Farewell to Arms;
- The Sun Also Rises;
- Death in the Afternoon.

উল্লেখ্য, 'For Whom the Bell Tolls' কবিতাটি লিখেছেন John Donne. 

Source: 
1. Encyclopedia Britannica. 
2. Live MCQ lecture.

• Amerika:
- It is a novel written by - Franz Kafka.
- এটি ১৯১২ সাল থেকে ১৯১৪ সালের মধ্যে লেখা এবং লেখকের মৃত্যুর ৩ বছর পর প্রকাশিত হয়।
- এটি একটি অসমাপ্ত উপন্যাস।
- The manuscript was entitled Der Verschollene.

• Franz Kafka was a novelist, short story writer and an existentialist.

• তাঁর উল্লেখ্য সাহিত্য কর্ম - 
- The Metamorphosis,
- The Trial,
- The Castle,
- Amerika.

Source: Britannica.

• Mending Wall:
- এই কবিতাটি লিখেন Robert Frost.
- এটি Balnk verse (অমিত্রাক্ষর ছন্দ)- এ রচিত। 
- Mending Wall কবিতাটি তার ‘North of Boston’ কাব্যগ্রন্থের অন্তর্ভুক্ত। 
- কীভাবে বক্তা এবং তার প্রতিবেশী তাদের সম্পত্তির মধ্যে একটি পাথরের প্রাচীর পুনর্নির্মাণের জন্য মিলিত হয় তা নিয়ে কবিতাটি রচিত।
- কবিতাটি ১৯১৪ সালে প্রকাশিত হয়েছিল।

• Robert Frost (1874-1963):
- Robert Frost একজন আমেরিকান কবি। তাকে আমেরিচার শ্রেষ্ঠ কবি বলা হয়। 
- তিনি ‘Nature poet’, ‘Regional poet’ নামে পরিচিত। 
- তিনি চারবার পুলিতজার পুরস্কার লাভ করেন। 
- তার উল্লেখযোগ্য কাব্যগ্রন্থগুলো হচ্ছেঃ A Boy’s Will, North of Boston, From Mountain Interval etc. 
Mending Wall কবিতাটি তার ‘North of Boston’ কাব্যগ্রন্থের অন্তর্ভুক্ত।

Poems: 
• Fire and Ice,
• Mending Wall,
• Birches,
• Out Out,
• Nothing Gold Can Stay
• Home Burial.

Source: Britannica.

• O Captain! My Captain:
- এটি একটি elegy.
- এই elegy টি President Abraham Lincoln কে নিয়ে লিখা।
- It celebrates the end of the American Civil War.

• Walt Whitman:
- তিনি একজন American poet.
- তিনি একাধারে একজন poet, journalist এবং essayist.

• Notable works: 
- Calamus,
- Crossing Brooklyn Ferry,
- Democratic Vistas,
- Drum-Taps,
- I Sing the Body Electric,
- O Captain! My Captain!
- Sequel to Drum-Taps,
- Song of Myself.

Source: Britannica.

• "And then my heart with pleasure fills,
And dances with the daffodils." - This quote is taken from the famous poem - I Wandered Lonely as a Cloud.

• I Wandered Lonely as a Cloud:
- রচনা করেন Wordsworth.
- The poem depicts the poet's wandering and his discovery of a field of daffodils by a lake, the memory of which pleases him and comforts him when he is lonely, bored, or restless.
- প্রকাশিত হয় 1807 সালে।
- এই কবিতাটিকে 'Daffodils' ও বলা হয়।
- এটি Wordsworth এর একটি রোমান্টিক কবিতা, যা কল্পনা, মানবতা এবং প্রাকৃতিক বিশ্ব সম্পর্কে মূল ধারণাগুলিকে একত্রিত করে।
- এই কবিতায় কবি একটি lake এর কাছে একটি daffodils ফুল বাগান দেখতে পায়, যার স্মৃতি তাকে পরিতৃপ্ত করে ও আনন্দ দেয় যখন তিনি একা থাকেন।
- কবিতায় Wordsworth, Daffodils কে The Stars of the Milky way এর সাথে তুলনা করেছেন।

• এই কবিতার বেশ কিছু লাইন খুব বিখ্যাত -

• "When all at once I saw a crowd,
A host, of golden daffodils".

• "Ten thousand saw I at a glance,
Tossing their heads in sprightly dance".

• "And then my heart with pleasure fills,
And dances with the daffodils."

• William Wordsworth:
- তিনি জন্মগ্রহণ করেন April 7, 1770, Cockermouth, Cumberland, England.
- তাকে Lake poet বলা হয়, কারণ তিনি North England এর Lake District এ জন্মগ্রহণ করেন।
- Wordsworth was born in the Lake District of northern England, that's why he is called Lake Poet.

• Some notable work (poems)
- Lines Composed a Few Miles Above Tintern Abbey,
- Lyrical Ballads,
- Michael,
- Ode: Intimations of Immortality,
- Peter Bell,
- The Excursion,
- The Prelude,
- The Recluse,
- The Ruined Cottage,
-The Solitary Reaper,
- I Wandered Lonely as a Cloud, etc.

Source: Britannica, Live MCQ Lecture and PoetryFoundation.

• "Into the valley of Death
Rode the six hundred" -
- উল্লিখিত লাইন গুলো Alfred Tennyson লিখিত কবিতা 'The Charge of the Light Brigade' হতে উদ্ধৃত।

• The Charge of the Light Brigade: 
- Tennyson রচিত একটি কবিতা।
- ১৮৫৫ সালে এটি প্রকাশিত হয়।
- ১৮৫৪ সালে ক্রিমিয়ান যুদ্ধ চলাকালে বালাক্লাভা নামক এক রণক্ষেত্রে রাশিয়ার সেনাবাহিনীর সাথে ব্রিটেন, ফ্রান্স এবং তুরস্কের এক যুদ্ধ সংঘটিত হয়।
- এই 'Battle of Balaklava' এর প্রেক্ষিতেই কবি কবিতাটি রচনা করেন।

• Alfred Tennyson:
- Alfred, Lord Tennyson একজন English poet 
- He is often regarded as the chief representative of the Victorian age in poetry. 

• Some poems of Tennyson:
- The Lotos Eaters,
- Morte D' Arthur,
- Tithonus,
- Ulysses,
- In Memoriam,
- The Charge of the Light Brigade.

Source: Britannica.

• "To thine own self be true." - This quote is from Shakespeare's - Hamlet.

• Hamlet: 
- Shakespeare রচিত tragedy গুলোর মধ্যে Hamlet is one of the most celebrated tragedies in English literature.
- Hamlet' in Shakespeare's Hamlet is a prince of - Denmark.
- তাঁর অন্যান্য tragedy গুলোর মত এটিও 5acts বিশিষ্ট।
- ১৫৯৯-১৬০১ সালের মধ্যে লেখা এই tragedy টি প্রকাশিত হয় !৬০৩ সালে।
- এর কেন্দ্রীয় চরিত্র Hamlet ছিলেন prince of Denmark যিনি  জার্মানি থেকে নিজ দেশে ফিরে আসে তাঁর বাবার শেষকৃত্যে অংশগ্রহণ  করতে এবং জানতে পারে যে তার চাচা Claudius তার মাকে বিয়ে করেছে এবং এই চাচাই তার বাবার খুনী।
- সত্য উদঘাটনের পর বিভিন্ন ঘটনা প্রবাহের মধ্যে দিয়ে tragedy এর কাহিনী সামনে এগিয়ে যায় এবং শেষাংশে Hamlet এর মৃত্যুর মধ্যে দিয়ে এর সমাপ্তি ঘটে।

• The important characters of Hamlet:
- Ophelia,
- Hamlet,
- Claudius,
- Gertrude,
- Horatio,
- Polonius etc.

• Famous quotations of Hamlet:
- "To be or not to be that is the question".
- "Frailty, thy name is woman".
- "Brevity is the soul of wit".
- "Neither a borrower nor a lender be; For loan oft loses both itself and friend".
- "There is divinity that shapes our end".

• Shakespeare:
- তার জন্মস্থান Stratford Avon.
- তিনি একাধারে একজন English poet, dramatist এবং actor.
- তাকে English national poet বলা হয়।
- তাকে 'Bard of Avon' বলা হয়।
- He is considered by many to be the greatest dramatist of all time. 

• Notable works: 
• Tragedy:
- Hamlet,
- Othello,
- King Lear,
- Macbeth,
- Julius Caesar.

• Comedy:
- As You Like It,
- The Tempest,
- Twelfth Night,
- A Midsummer Night's Dream etc.

• Famous poem:
- Shall I Compare Thee to a Summer Day/Sonnet 18,
- The Rape of Lucrece,
- Venus and Adonis.

Source: britannica.com

• The Metamorphosis:
- এটি Franz Kafka লিখিত একটি symbolic story, তিনি একজন German-language writer.
- 1915 সালে প্রকাশিত হয়।
- কেন্দ্রীয় চরিত্র: Gregor Samsa.
- The opening sentence of The Metamorphosis has become one of the most famous in Western literature: “As Gregor Samsa awoke one morning from uneasy dreams, he found himself transformed in his bed into a gigantic insect.”

• Franz Kafka was a novelist, short story writer and an existentialist.

• তাঁর উল্লেখ্য সাহিত্য কর্ম - 
- The Metamorphosis,
- The Trial,
- The Castle,
- Amerika.

Source: Britannica.

প্রশ্ন: পিথাগোরাসের উপপাদ্য কিসের জন্য প্রযোজ্য?

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য:
কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি তার অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান
গণিতে এটি এভাবে প্রকাশ করা হয়:
c² = a² + b²
এখানে:
c হলো অতিভুজ(hypotenuse- সমকোণের বিপরীত বাহু) এর দৈর্ঘ্য,
a এবং b হলো সমকোণের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য।

• এই সূত্রটি শুধুমাত্র সমকোণী ত্রিভুজ বা ৯০° কোণযুক্ত ত্রিভুজের জন্য প্রযোজ্য। অন্য ধরনের ত্রিভুজ যেমন সমদ্বিবাহু বা সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রযোজ্য নয়, যদি না সেই ত্রিভুজটি সমকোণী হয়।

প্রশ্ন: cos480° এর মান কত?

সমাধান:
cos480°
= cos(450° + 30°)
= cos(5 × 90° + 30°) [৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত]
= - sin30°
= - 1/2

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের ২০টি কর্ণ রয়েছে। সেই বহুভুজের বাহুর সংখ্যা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

{n(n - 3)}/2 = 20
⇒ n² - 3n = 40
⇒ n² - 8n + 5n - 40 = 0
⇒ n(n - 8) + 5(n - 8) = 0
⇒ (n - 8)(n + 5) = 0
∴ n = 8 [n = - 5 গ্রহণযোগ্য নয়]

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:


∴ সত্য হলো tan45° = cot45°

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা নির্ণয় করুন যার সকল অন্তঃকোণের সমষ্টি 2160°।

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180°

প্রশ্নমতে,
(n - 2) × 180° = 2160°
⇒ n - 2 = 2160°/180°
⇒ n - 2 = 12
∴ n = 14

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং আয়তন 96π ঘন সে.মি. হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে,
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
এবং উচ্চতা = h সে.মি.
হেলানো তলের দৈর্ঘ্য = l সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন, V = (1/3)π × r² × h

প্রশ্নমতে,
(1/3)π × 6² × h = 96π
⇒ 12h = 96
∴ h = 8

∴ হেলানো তলের দৈর্ঘ্য, l = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 সে.মি.

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 12 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী (Pythagorean triplet) হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে

তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

যেমন:
(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(7, 24, 25)
(8, 15, 17)
(9, 40, 41)

এখানে,
5² + 12² =13²
25 + 144 =169
169 = 169

প্রশ্ন: sinA = 12/13 হলে, cosA = কত?

সমাধান:
sinA = 12/13 = লম্ব/অতিভুজ

∴ ভূমি = √(অতিভুজ^২ - লম্ব^২)
= √(13² - 12²)
= √(169 - 144)
= √(25)
= 5

cosA = ভূমি/অতিভুজ = 5/13

প্রশ্ন: বেলনের ভূমির ব্যাস 4 মিটার, উচ্চতা 21 মিটার হলে, বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বেলনের ভূমির ব্যাস 4 মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = 2 মিটার
বেলনের উচ্চতা h = 21 মিটার 

আমরা জানি,
বেলনের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh 
= 2 × (22/7) × 2 × 21 বর্গ মিটার
= 264 বর্গমিটার

প্রশ্ন: অতিভুজ বলা হয় কোন বাহুকে?

সমাধান:
- অতিভুজ (Hypotenuse) বলা হয় সমকোণী ত্রিভুজের সেই বাহুকে যা সমকোণের বিপরীতে অবস্থিত।
- এটি ত্রিভুজের সবচেয়ে লম্বা বাহু।
- পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, এই অতিভুজের বর্গফল দুই প্রান্তভুজের বর্গফলের যোগফলের সমান।

অর্থাৎ, যদি সমকোণী ত্রিভুজের প্রান্তভুজ দুটি a এবং b হয় এবং অতিভুজ c হয়, তবে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
c² = a² + b²

প্রশ্ন: একটি 2√3 মিটার লম্বা মই একটি দেয়ালের সাথে এমনভাবে হেলানো আছে যে মইটি দিয়ে দেয়ালের 3 মিটার উচ্চতায় উঠা যায়। মইটি মাটির সাথে কত ডিগ্রি কোণে হেলানো আছে?

সমাধান:

sinθ = 3/(2√3)
⇒ sinθ = √3/2
⇒ sinθ = sin60°
∴ θ = 60°

প্রশ্ন: একটি সুষম নোনাগনের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180°

∴ সুষম নোনাগনের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (9 - 2) × 180°
= 7 × 180°
= 1260°

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৮০০০ ঘন সে.মি. হলে, ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন ক^৩ ঘনএকক

প্রশ্নমতে,
ক^৩ = ৮০০০
∴ ক = ২০

∴ ঘনকটির ধারের দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ১৩ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সঙ্গে লাগানো হয়েছে এবং মইয়ের এক প্রান্ত দেয়ালের নিচ থেকে ৫ মিটার দূরে রাখা হয়েছে। মইটি দেয়ালের কতটুকু উপরে গিয়ে ঠেকেছে?

সমাধান:

ধরি,
দেয়ালের উচ্চতা = ক
পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী
১৩^২ = ৫^২+ ক^২
বা, ১৬৯ = ২৫ + ক^২
বা, ক^২ = ১৬৯ - ২৫
বা, ক^২ = ১৪৪
বা, ক^২ = ১২^২
∴ ক = ১২ মিটার

প্রশ্ন: একটি বিল্ডিংয়ের ১০০ মিটার দূরের কোনো বিন্দুতে বিল্ডিংটির চূড়ার উন্নতি কোণ ৩০ ডিগ্রি। বিল্ডিংটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
বিল্ডিংটির উচ্চতা = h মিটার।
tan30° = h/100
⇒ 1/√3 = h/100
⇒ h = 100/√3
∴ h = 57.7

প্রশ্ন: যদি একটি পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 cm, 3.5 cm, 4 cm, 5 cm এবং 6 cm হয়, তাহলে পঞ্চভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
পঞ্চভুজের পরিসীমা = 3 + 3.5 + 4 + 5 + 6 cm
= 21.5 cm

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 45 মিটার ও প্রস্থ 35 মিটার। বাগানের বাইরে চারদিকে 2.5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
বাগানের ক্ষেত্রফল = 45 × 35 = 1575 বর্গ মিটার

যেহেতু, বাগানের বাইরে চারদিকে 2.5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে।
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = 45 + (2.5 + 2.5) মিটার = 50 মিটার
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = 35 + (2.5 + 2.5) মিটার = 40 মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = 50 × 40 = 2000 বর্গ মিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = 2000 - 1575 = 425 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি খুঁটির উচ্চতা ২৪ মিটার। খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ৭ মিটার। ছায়ার মুক্ত প্রান্ত এবং খুঁটির মাথার মধ্যে সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান:

পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী
ক^২ = ২৪^২ + ৭^২
বা, ক^২ = ৫৭৬ + ৪৯
বা, ক^২ = ৬২৫
বা, ক^২ = ২৫^২
∴ ক = ২৫ মিটার

প্রশ্ন: যদি sin 3A = cos (A - 22°) হয়, A এর মান কত?

সমাধান:
sin 3A = cos(A - 22°) 
⇒ cos(90° - 3A) = cos(A - 22°)
⇒ 90° - 3A = A - 22
⇒ 3A + A = 90° + 22°
⇒ 4A = 112°
⇒ A = 112°/4
⇒ A = 28°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 8 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি.
যেহেতু 3² + 4² = 5²,
ইহার ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ক্ষেত্রফল = (1/2) × 4 × 3 = 6 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, প্রিজমটির আয়তন = 6 × 8 = 48 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি নৌকা নদীর এক তীর থেকে অপর তীরে যেতে চায়। নদীর প্রস্থ ৩০০ মিটার এবং নৌকাটি বরাবর অপর তীরে পৌঁছাতে পারে না, কারণ স্রোত নৌকাটিকে ৪০০ মিটার দূরে সরিয়ে অপর তীরে পৌঁছায়। নৌকাটি কতটুকু পথ অতিক্রম করেছে?

সমাধান:

ধরি,
নৌকাটি ক মিটার পথ অতিক্রম করে।
পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী
ক^২ = ৩০০^২ + ৪০০^২
বা, ক^২ = ৯০০০০ + ১৬০০০০
বা, ক^২ = ২৫০০০০
বা, ক^২ = ৫০০^২
∴ ক = ৫০০ মিটার

প্রশ্ন: cosec(90° - θ) = 2 হলে, cosθ = কত?

সমাধান:
cosec(90° - θ) = 2
⇒ secθ = 2
⇒ 1/cosθ = 2
∴ cosθ = 1/2 

প্রশ্ন: cotA = 2 হলে (2 + 2sinA)(1 - sinA)/(1 + cosA)(2 - 2cosA) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
cotA = 2

এখন
(2 + 2sinA)(1 - sinA)/(1 + cosA)(2 - 2cosA)
= 2[(1 + sinA)(1 - sinA)]/2[(1 + cosA)(1 - cosA)]
= [(1 + sinA)(1 - sinA)]/[(1 + cosA)(1 - cosA)]
= 1 - sin²A/1 - cos²A
= cos²A/sin²A
= cot²A
= 2²
= 4

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ১৪π মিটার। চাকাটি ১৭১৬ মিটার যেতে কতবার ঘুরবে? 

সমাধান: 
চাকার পরিধি  = ১৪π মিটার
= ১৪ × (২২/৭) মিটার
= ৪৪ মিটার

আমরা জানি,
চাকা ১ বার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

৪৪ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরে = ১ বার
১৭১৬ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরে = ১৭১৬/৪৪ বার
= ৩৯ বার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পার্কের একটি কোণ থেকে বিপরীত কোণে একটি সরাসরি পথ নির্মাণ করা হয়েছে। পার্কের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৩০ মিটার। নতুন পথের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
পথটির দৈর্ঘ্য ক মিটার
পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী
ক^২ = ৩০^২ + ৫০^২
বা, ক^২ = ৯০০ + ২৫০০
বা, ক^২ = ৩৪০০
∴ ক = ৫৮.৩১ মিটার

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে sinθ = কত?

সমাধান:
θ কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য = √(6² - 3²)
= √(36 - 9)
= √27

sinθ = বিপরীতবাহু/অতিভুজ = √27/6