১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: (5x - 3y) এর বর্গ কোনটি? 

সমাধান: 
(5x + 3y) এর বর্গ = (5x-3y)²
= (5x)² - 2.5x.3y + (3y)²
= 25x² - 30xy + 9y²  । 

প্রশ্ন: a - b = 7 এবং ab = 60 হলে, a² + b² এর মান কত? 

সমাধান: 
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= (7)² + 2 × 60
= 49 + 120
= 169  ।

প্রশ্ন: x³ - 3x² - 10x এবং x³ + 6x² + 8x এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x³ - 3x² - 10x
= x(x² - 3x - 10)
= x(x² - 5x + 2x - 10)
= x {x(x - 5) + 2(x - 5)}
= x(x + 2)(x - 5) 

২য় রাশি = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 2x + 4x + 8)
= x {x(x + 2) + 4(x + 2)}
= x(x + 2)(x + 4) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x + 2)  ।

প্রশ্ন: a² + 2ab - 2b -1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
a² + 2ab - 2b -1
= (a² - 1) + (2ab - 2b )
= (a + 1)(a - 1) + 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 1 + 2b)
= (a - 1)(a + 2b + 1)

প্রশ্ন: 10a⁵b⁷ কে 5a²b³ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান: 
(10a⁵b⁷)/(5a²b³)
= 10/5 × (a⁵)/(a²) × (b⁷)/(b³) 
= 2 × a^{(5 - 2)} × b^{(7 - 3)}
= 2 × a³ × b⁴ 
= 2a³b⁴ 

∴ নির্ণেয় ভাগফল = 2a³b⁴  ।

প্রশ্ন: x + y = 4 হলে, x³ + y³ + 12xy এর মান কত? 

সমাধান: 
x³ + y³ + 12xy
= x³ + y³ + 3 × 4 × xy
= x³ + y³ + 3(x + y) × xy  [∴x + y = 4]
= x³ + y³ + 3xy(x + y)
= (x + y)³
= (4)³
= 64  ।

প্রশ্ন: p - (1/p) = 8 হলে, p² + (1/p²) = কত? 

সমাধান: 
p² + (1/p²) = (p - 1/p)² + 2p.1/p   [∴ a² + b² = (a - b)² + 2ab] 
= (8)² + 2
= 64 + 2
= 66  ।

প্রশ্ন: (m - 2n) এর ঘন কোনটি? 

সমাধান: 
(m - 2n)³
=(m)³ - 3.(m)².2n + 3.m.(2n)² - (2n)³
=m³ - 3.m².2n + 3.m.4n² - 8n³
= m³ - 6m²n + 12mn² - 8n³

প্রশ্ন: x = 7 এবং y = 6 হলে, 16x² - 40xy + 25y² এর মান কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি = 16x² - 40xy + 25y² 
= (4x)² - 2.4x.5y + (5y)²
= (4x - 5y)²
= {(4 × 7) - (5 × 6)}²
= (28 - 30)²
= (- 2)²
= (- 2) × (- 2)
= 4  । 

প্রশ্ন: যদি x এবং y দুটি সংখ্যা হয়, তাহলে x সংখ্যার পাঁচগুণ থেকে y সংখ্যার চারগুণ বিয়োগ করলে বিয়োগফল কী হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি সংখ্যা x, যার 5 গুণ 5x
এবং অপর একটি সংখ্যা y, যার 4 গুণ 4y
∴ নির্ণেয় বিয়োগফল = 5x - 4y  ।

প্রশ্ন: 4x² - 4xy + y² - z² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
4x² - 4xy + y² - z²
= (2x)² - 2.2x.y + (y)² - z²
= (2x - y)² - (z)²
= (2x - y + z)(2x - y - z) 

প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 10 হলে, (a - b)² এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
আমরা জানি,
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
= (7)² - 4 × 10
= 49 - 40
= 9  । 

প্রশ্ন: 2(a² - b²) এবং (a² - 2ab + b²) এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = 2(a² - b²)
= 2(a + b)(a - b)

২য় রাশি = a² - 2ab + b²
= (a - b)²
= (a - b)(a - b) 

এখানে,
সাংখ্যিক সহগ 2 ও 1 এর গ.সা.গু = 1
এবং সাধারণ মৌলিক উৎপাদক বা গুণনীয়ক = (a - b)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 1 × (a - b)
= (a - b)  ।

প্রশ্ন: x - (1/x) = 5 হলে, {x + (1/x)}² এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
{x + (1/x)}² = {x - (1/x)}² + 4. x. 1/x 
= (5)² + 4
= 25 + 4
= 29 

প্রশ্ন: যদি a = 1 , b = 2 এবং c = 3 হয়, তাহলে a² + b² + c² এর মান কত? 

সমাধান: 
a² + b² + c²
= 1² + 2² + 3²
= 1 + 2 × 2 + 3 × 3
= 1 + 4 + 9
= 14

প্রশ্ন: 9x² - 9x - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
9x² - 9x - 4
= 9x² + 3x - 12x - 4
= 3x(3x + 1) - 4(3x + 1)
= (3x + 1)(3x - 4)

প্রশ্ন: 9x² - 25y² এবং 15ax - 25ay এর ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = 9x² − 25y²
= (3x + 5y)(3x - 5y) 

২য় রাশি = 15ax − 25ay
= 5a(3x − 5y) 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = 5a(3x − 5y)(3x + 5y)  । 

প্রশ্ন: প্লাবন ছয়টি কলম ও তিনটি খাতা এবং শ্রাবণ চারটি কলম ও পাঁচটি খাতা ক্রয় করে। একটি কলমের মূল্য x টাকা এবং একটি খাতার মূল্য y টাকা হলে প্লাবনের মোট খরচ বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করুন?

সমাধান: 
1 টি কলমের দাম = x টাকা
∴ 6 টি কলমের দাম = 6x টাকা

আবার,
1 টি খাতার দাম = y টাকা
∴ 3 টি খাতার দাম = 3y টাকা 

∴ প্লাবনের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি = 6x + 3y  ।

প্রশ্ন: 2bd - a² - c² + b² + d² + 2ac এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
2bd - a² - c² + b² + d² + 2ac
= b² + 2bd + d² - a² + 2ac - c²   [সাজিয়ে]
= (b² + 2bd + d²) - (a² - 2ac + c²)
= (b + d)² - (a - c)²
= (b + d + a - c)(b + d - a + c)
= (a + b - c + d)(b - a + c + d)

প্রশ্ন: 9a³b²c², 12a²bc ও 15ab³c³ এর গ.সা.গু কোনটি? 

সমাধান: 
9, 12 ও 15 এর গ.সা.গু = 3
a3, a2 ও a এর গ.সা.গু = a
b2, b, b3 এর গ.সা.গু = b
c2, c, c3 এর গ.সা.গু = c

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 3abc  ।

প্রশ্ন: (a + b)² = কত? 

সমাধান: 
(a + b)² এর অর্থ (a + b) কে (a + b) দ্বারা গুণ।
∴ (a + b)² = (a + b) (a + b)
= a(a + b) + b(a + b)   [বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা গুণ]
= a² + ab + ba + b²
= a² + ab + ab + b²
∴ (a + b)² = a² + 2ab + b²   ।

প্রশ্ন: 4x² - 23x + 33 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
4x² - 23x + 33
= 4x² - 11x - 12x + 33
= x(4x - 11) - 3(4x - 11)
= (4x - 11)(x - 3)

প্রশ্ন: x⁴ - 1 কে x² + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত? 

সমাধান: 
এখানে, রাশি দুটি x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে। 
x² + 1 ) x⁴ - 1 ( x² - 1
             x⁴ + x²
_____________________ 
                 - x² - 1
                 - x² - 1
_____________________
                       0

∴ নির্ণেয় ভাগফল = x² - 1   ।

প্রশ্ন: 5x²y⁴ কে 3x²y³ দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত হবে? 

সমাধান: 
5x²y⁴ × 3x²y³
= (5 × 3) × (x² × x²) × (y⁴ × y³)
= (5 × 3) × (x^{2 + 2}) × (y^{4 + 3})
= 15x⁴y⁷  [সূচক নিয়ম অনুযায়ী]
∴ নির্ণেয় গুণফল = 15x⁴y⁷  ।