Math Master

প্রশ্ন: 3cotθ = 4 হলে cosecθ এর মান কত?

সমাধান:
3cotθ = 4 
⇒ cotθ = 4/3
⇒ cot²θ = 16/9
⇒ cosec²θ - 1  = 16/9
⇒ cosec²θ = (16/9) + 1
⇒ cosec²θ = (16 + 9)/9
⇒ cosec²θ = 25/9
∴ cosecθ = 5/3

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। বাগানের ভিতরে চারপাশে ৪ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে, তবে রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
বাগানের ক্ষেত্রফল = (৬০ × ৪০) = ২৪০০ বর্গমিটার

রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬০ - (২ × ৪) = ৫২ মিটার
রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৪) = ৩২ মিটার
রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৫২ × ৩২) = ১৬৬৪ বর্গমিটার 

রাস্তার ক্ষেত্রফল =(২৪০০ - ১৬৬৪) = ৭৩৬ বর্গমিটার

প্রশ্ন: tanA = 1/0 হলে, A এর মান কত?

সমাধান:
tanA = 1/0
⇒ tanA = ∞
⇒ tanA = tan90° [tan90° = ∞]
∴ A = 90° 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ২৮.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৪ মিটার

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (৮ + ৪) মিটার
= ২ × ১২ মিটার
= ২৪ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় ২৮. ৫ টাকা
∴ ২৪ মিটারে খরচ হয় (২৪ × ২৮.৫) টাকা
= ৬৮৪ টাকা

প্রশ্ন: ৩, ৪ ও ৫ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হল। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: = কত? 

সমাধান: 

প্রশ্ন: ২৬০০ সে.মি. দীর্ঘ এবং ৫০০ সে.মি. প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তাকার জমিকে বেড়া দিয়ে ঘিরে দিতে কত মিটার বেড়া লাগবে?

সমাধান:
জমিটির পরিসীমার সমান বেড়া লাগবে।

জমিটির পরিসীমা = ২(৫০০ + ২৬০০) সে.মি.
= ৬২০০ সে.মি.
= ৬২ মিটার

প্রশ্ন: কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের সম্পর্ক কীরূপ? 

সমাধান:

প্রশ্ন: tanA = 5/12 হলে, sinA = কত?

সমাধান:
tanA = 5/12 
তাহলে, লম্ব = 5, ভূমি = 12 [যেহেতু, tanA = লম্ব/ভূমি]

∴ sinA = লম্ব/অতিভূজ
= লম্ব/{√(ভূমি^২ + লম্ব^২)}
= 5/{√(12² + 5²)}
= 5/√169
= 5/13

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গমিটার এবং সমান্তরাল বাহু দুইটির  মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব ৮ মিটার। একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (২ × ৪০)/৮
= ৮০/৮
= ১০ সে.মি.

∴ অপর বাহু = ১০ - ৬ সে.মি.
= ৪ সে.মি.

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, ভূমির দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং ভূমি b হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

এখানে,
a = ৫ মিটার এবং b = ৮ মিটার

 ∴ ক্ষেত্রফল =

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?


সমাধান:

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা, AB = h
মিনারের পাদদেশ হতে BC = 25 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 45°

আমরা জানি,
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan45° = h/25
⇒ 1 = h/25
∴ h = 25

∴ মিনারটির উচ্চতা = 25 মিটার

প্রশ্ন: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 40² = 1600
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r² 
= 3.14 × 20² [r = 40/2 = 20 cm]
= 1256

∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 1600 - 1256
= 344 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: sinA + cosecA = 2 হলে, sinA = কত?

সমাধান:
sinA + cosecA = 2
⇒ sinA + (1/sinA) = 2
⇒ (sin²A + 1)/sinA = 2
⇒ sin²A + 1 = 2sinA
⇒ sin²A - 2sinA + 1 = 0
⇒ (sinA - 1)² = 0
⇒ sinA - 1 = 0
∴ sinA = 1