Math Master

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি. এবং বৃত্তকলা কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে । বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে. মি.

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr²
= (60°/360°) × 3.1416 × 7²
= (49/6) × 3.1416
= 25.656
= 25.66 বর্গ সে. মি.

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল প্রায় 25.66 বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৮০০০ ঘনসে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন ক৩ ঘনএকক

প্রশ্নমতে,
ক^৩ = ৮০০০
∴ ক = ২০

তাহলে, ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি.
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে = ২০√৩ সে.মি.

প্রশ্ন: 3 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr³ ঘন একক
= (4/3) × π × (3)³ cm³
= 36π cm³

প্রশ্ন: 12 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. হলে, ঘনকের তীর্যক উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা, h = 12 সে.মি.
এবং ব্যাসার্ধ, r = 10/2= 5 সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক উচ্চতা L = √(h² + r²) সে.মি.
= √(12² + 5²) সে.মি.
= √169 সে.মি.
= 13 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর মাত্রা কয়টি?

সমাধান:
- ঘনবস্তু (Solid) কোনো জাগতিক বস্তু যে স্থান দখল করে থাকে, তা তিন দিকে বিস্তৃত।
- এ তিন দিকের বিস্তার বস্তুটির তিনটি মাত্রা (Three dimension) দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নির্দেশ করে।
- সেজন্য প্রত্যেক ত্রিমাত্রিক (three-dimensional) বস্তুকে বলা হয় ঘনবস্তু (Solid)।
-যেমন, একটি ইট বা বাক্সের তিনটি মাত্রা দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে। একটি বল বা গোলকেরও তিনটি মাত্রা আছে। এর তিন মাত্রার অভিন্নতা স্পষ্টভাবে বোঝা না গেলেও একে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা বিশিষ্ট খণ্ডে বিভক্ত করা যায়।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin30°
= (1/2) × 10 × 10 × (1/2)
= 25 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: 12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 23 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
= (1/3) × 12 × 12 × 23 ঘন সে.মি.
= 1104 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৭ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ২ × রম্বসের ক্ষেত্রফল
= (২ × ৩৭) বর্গ সে.মি.
= ৭৪ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৩ মিটার = ১২ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (বাহু)^২ বর্গমিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (১২)^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৪৪ বর্গমিটার
= ৩৬√৩ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ক মিটার
তাহলে, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(২ক + ক) মিটার
এবং আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক = ২ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
২ক^২ = ৩৩৮
⇒ ক^২ = ১৬৯
⇒ ক = ১৩

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২{(১৩ × ২) + ১৩} মিটার
=২ × ৩৯ মিটার
= ৭৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৪ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত সে.মি?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৪ মিটার

​​আমরা জানি,
​সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
⇒ সামান্তরিকের ভূমি = ক্ষেত্রফল/উচ্চতা
​= ৩৬/৪ 
​= ৯ মিটার
= (৯ × ১০০) সে.মি.
= ৯০০ সে.মি.

প্রশ্ন: 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 14 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা 
​= (1/3) × 9 × 9 × 14 ঘন সে.মি.
= 378 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার বাগানের ব্যাস ৩০ মি. এবং বাগানের মাঝখানে ১২ মি. দৈর্ঘ্যের একটি লম্বা দড়ির সাহায্যে একটি গরু বাঁধা আছে। গরুটি কতটুকু বাগানের ঘাস খেতে পারবে না?

সমাধান:
বৃত্তাকার বাগানের ব্যাসার্ধ = ৩০/২ = ১৫ মি.
বৃত্তের সম্পূর্ণ ক্ষেত্রফল = πr^২ = π(১৫)^২ = ২২৫π বর্গ মি.
​
গরুর দড়ির দৈর্ঘ্য = ১২ মি.
গরুটি যে ক্ষেত্রফল ঘাস খেতে পারবে = π(১২)^২ = ১৪৪π বর্গ মি.
​
ঘাস খেতে পারবে না এমন ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ বাগানের ক্ষেত্রফল - গরুর ঘাস খাওয়ার ক্ষেত্রফল
= ২২৫π - ১৪৪π
= ৮১π বর্গ মি.

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 56 সেমি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
ব্যাসার্ধ, r = 56 সেমি

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস

পরিসীমা = (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= (22/7) × 56 + 2 × 56
= 176 + 112
= 288 সে.মি.