Math Master

প্রশ্ন: x² = 5 + 2√6 হলে (x + 1/x)² এর মান কত?

সমাধান:
x² = 5 + 2√6
x² = 3 + 2√6 + 2
x² = (√3)² + 2 √3.√2 + (√2)²
x² = (√3 + √2)²
x = √3 + √2
1/x = 1/(√3 + √2)
1/x = (√3 - √2)/(√3 - √2)(√3 + √2)
1/x = (√3 - √2)/{(√3)² - (√2)²}
1/x = (√3 - √2)/(3 - 2)
1/x = (√3 - √2)/1
1/x = √3 - √2

x + 1/x = √3 + √2 + √3 - √2
= 2√3

(x + 1/x)² = (2√3)² = 4 × 3 = 12

প্রশ্ন: (3x² + 8x + 4) কে (x + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে? 

সমাধান: 
3x² + 8x + 4
= 3x² + 6x + 2x + 4
= 3x(x + 2)+ 2(x + 4)
= (x + 2)(3x + 2)


(3x² + 8x + 4) কে (x + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল = (3x² + 8x + 4)/(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)/(x + 2)
= 3x + 2

প্রশ্ন: x⁴ + 6x² - 7 এর উৎপাদক গুলো হলো-

সমাধান:
x⁴ + 6x² - 7
= (x²)² + 2.x².3 + 3² - 9 - 7
= (x² + 3)² - 4²
= (x² + 3 + 4)(x² + 3 - 4)
= (x² + 7)(x² - 1)
= (x² + 7) (x² - 1²)
= (x² + 7)(x + 1)(x  - 1)

প্রশ্ন: x² - 2xy + y² এবং x - y এর গুণফল কত?

সমাধান:
(x² - 2xy + y²)(x - y)
= x(x² - 2xy + y²) - y(x² - 2xy + y²)
= x³ - 2x²y + xy² - x²y + 2xy² - y³
= x³ - 3x²y + 3xy² - y³

প্রশ্ন: ax² + bx + c = 0 একটি সমীকরণ এবং b² - 4ac < 0 হলে, নিচের কোনটি সত্য?


সমাধান:
ax² + bx + c = 0 সমীকরণের 
b² -  4ac কে দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক বলে। 
ইহা সমীকরণটির মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় করে।
নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি

ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে
ক) b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
খ) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
গ) b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
ঘ) b² -  4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন:  a + 1/a = 2 হলে a²⁰ + 1/a²⁰ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + 1/a = 2
(a2 + 1)/a = 2
a2 + 1 = 2a
a2 - 2a + 1 = 0
(a - 1)2 = 0
a - 1 = 0
a = 1

a²⁰ + 1/a²⁰ = 1²⁰ + 1/1²⁰
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2

প্রশ্ন: f(a) = a³ + a² + 10a - 8 কে (a - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে
f(a) = a³ + a² + 10a - 8
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে
f(a) = a³ + a² + 10a - 8 কে (a - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে
f(2) = 2³ + 2² + 10× 2 - 8
f(2) = 8 + 4 + 20 - 8
f(2) = 24

প্রশ্ন: সমাধান করুন, |4 - x| > 6

সমাধান:
এখন,
(4 - x) > 0 হলে প্রদত্ত অসমতা,
4 - x > 6
4 - x - 4 > 6 - 4 
⇒ - x > 2
⇒ x < - 2   [ -1 দ্বারা গুণ করে ]

আবার, (4 - x) < 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, - (4 - x ) > 7
⇒ 4 - x < - 6  [ -1 দ্বারা গুণ করে]
4 - x - 4< - 6 - 4
⇒ - x < - 10
⇒ x > 10

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < - 2 অথবা x > 10

প্রশ্ন: 3x + 2y = 8, x - y = 1 হলে, x + y = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
3x + 2y = 8 ...................(i)
x - y = 1........................(ii)

(ii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (i) নং সমীকরণের সাথে যোগ করে পাই।
3x + 2y + 2x - 2y = 8 + 2
5x = 10
x = 2

(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই 
∴ 2 - y = 1
- y = 1 - 2
- y = - 1
y = 1

∴ x + y = 2 + 1 = 3

প্রশ্ন: কোনো স্থানে যতজন লোক ছিলো প্রত্যেকে তত 5 টাকা করে চাঁদা দেয়ায় মোট 2645 টাকা আদায় হলো। এখানে লোকসংখ্যা কত? 

সমাধান:
মনেকরি 
লোকসংখ্যা x জন 

প্রশ্নমতে,
5x × x = 2645 
5x² = 2645
x² = 529
x² = 23² 
x = 23

প্রশ্ন: x² - 13x + 42 < 0 হলে -

সমাধান: 
x² - 13x + 42 < 0
x² - 6x - 7x + 42< 0
x(x - 6) - 7 (x - 6) < 0
∴ (x - 7)(x - 6) < 0

x² - 13x + 42 < 0 সত্য হবে যদি x - 6< 0 এবং x - 7 > 0 হয়।
এখন, x - 6 < 0 এবং x - 7 > 0
অর্থাৎ,  x < 6 এবং x > 7
6 এর চেয়ে ছোট এবং 7 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 13x + 42 < 0 সত্য হবে যদি x - 6 > 0 এবং x - 7 < 0 হয়।
এখন,  x - 6 > 0 এবং x - 7 < 0
অর্থাৎ x > 6 এবং x <7
x এর মান 6 এর চেয়ে বড় এবং 7 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 6 < x < 7

প্রশ্ন: যদি a² - 2a + 1 = 0 হয়, তবে a⁴ + 1/a⁴ = কত?

দেওয়া আছে 
a² - 2a + 1 = 0
a² + 1 = 2a
a²/a + 1/a = 2a/a
a + 1/a = 2

এখন
∴ a⁴ + (1/a⁴) = (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2.a².(1/a²)
= {a² + (1/a²)}² - 2
= {(a + 1/a)² - 2.a.(1/a)}² - 2
= {(2)² - 2}² - 2
= (4 - 2)² - 2
 = 4 - 2
= 2

প্রশ্ন: x + 3y = 9 এবং x/y = 6 হলে x + y = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 3y = 9...................(1)

আবার
x/y = 6
x = 6y...................(2)

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই 
6y + 3y = 9
9y = 9
y = 1

(2) ⇒
x = 6 × 1 = 6

x + y  = 6 + 1 = 7

প্রশ্ন: ।3x - 4। < 8 অসমতাটির সমাধান হলো- 

সমাধান: 
।3x - 4। < 8
- 8 < 3x - 4 < 8
- 8 + 4 < 3x - 4 + 4 < 8 + 4
- 4 < 3x < 12
-4/3 < 3x/3 < 12/3
- 4/3 < x < 4

প্রশ্ন: 1/।1 - 2x। ≥ 1/7 এর সমাধান হলো-

সমাধান:
1/।1 - 2x। ≥ 1/7
।1 - 2x। ≤ 7
- 7 ≤ 1 - 2x ≤ 7
- 7 - 1 ≤ 1 - 2x - 1 ≤ 7 - 1
- 8 ≤ - 2x ≤ 6
- 8/2 ≤ - 2x/2 ≤ 6/2
- 4 ≤ - x ≤ 3
(- 4)(- 1) ≥ (- x)(- 1) ≥ 3 (- 1)
4 ≥ x  ≥ - 3
- 3 ≤ x ≤ 4


নির্ণেয় সমাধান = - 3 ≤ x ≤ 4

প্রশ্ন: x³ + 2x² - 5x - 6 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
f(x) = x³ + 2x² - 5x - 6
f(2) = (2)³ + 2(2)² - 5(2) - 6
f(2)= 8 + 2 × 4 - 10  - 6
f(2) = 16 - 16
f(2) = 0

x - 2 হলো x³ + 2x² - 5x - 6 এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 12 এবং বিয়োগফল 2 হলে ভগ্নাংশটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
প্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y

প্রশ্নমতে,
x + y = 12...........(1)
y - x = 2 ..........(2)
(1) + (2) পাই 
2y = 14
y = 7

y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
x + 7 =12
x = 12 - 7
x = 5
ভগ্নাংশটি = x/y = 5/7

প্রশ্ন: m² + 1 = am হলে (m⁶ + 1)/m³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
 m² + 1 = am
(m² + 1)/m = a/m
m²/m + 1/m = a
m + 1/m = a

এখানে
(m⁶ + 1)/m³ = m⁶/m³ + 1/m³
= m³ + 1/m³
= (m + 1/m)³ - 3.m.(1/m)(m + 1/m)
= a³ - 3a