Math Master

প্রশ্ন: 8 + 16 + 24 +..........................ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারার প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ 9-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (9/2){(2 × 8) + (9 - 1)8}
= (9/2){16 + (8 × 8)}
= (9/2)(16 + 64)
= (9/2) × 80
= 9 × 40
= 360

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 +.................. ধারাটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}

∴ ধারাটির 8-তম পদ = 64 × (1/2)^{8 - 1}
= 64 × (1/2⁷)
= 2⁶ × (1/2⁷)
= 1/2

প্রশ্ন: 4 + 7 + 10 + 13 +......................ধারাটির কোন পদ 301?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3

ধরি,
ধারাটির n-তম পদ = 301

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = 301
⇒ 4 + (n - 1)3 = 301
⇒ 4 + 3n - 3 = 301
⇒ 3n + 1 = 301
⇒ 3n = 301 - 1
⇒ 3n = 300
⇒ n = 300/3
⇒ n = 100

প্রশ্ন: 13 + 20 + 27 + 34 +..................+111 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 13 = 7
ধরি,
পদসংখ্যা = n
এবং n-তম পদ = 111

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d 

সুতরাং,
a + (n - 1)d  = 111
⇒ 13 + (n - 1)7 = 111
⇒ 13 + 7n - 7 = 111
⇒ 7n + 6 = 111
⇒ 7n = 111 - 6
⇒ 7n = 105
⇒ n = 105/7
⇒ n = 15

অর্থাৎ ধারাটির পদসংখ্যা = 15

প্রশ্ন: 29 + 25 + 21 +................ - 23 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 29
সাধারণ অন্তর, d = 25 - 29 = - 4

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 23
⇒ 29 + (n - 1)(- 4) = - 23
⇒ 29 - 4n + 4 = - 23
⇒ 33 - 4n = - 23
⇒ 4n = 33 + 23
⇒ 4n = 56
⇒ n = 56/4
⇒ n = 14

এখন, n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (14/2){(2 × 29) + (14 - 1)(- 4)}
= 7{58 + 13 × (- 4)}
= 7(58 - 52)
= 7 × 6
= 42

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + ............. ধারাটির কততম পদ 2187 ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3= 3

ধরি,
n-তম পদ = 2187
প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 2187
⇒ 3 × 3^{n - 1} = 2187
⇒ 3^{n - 1} = 2187/3
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
⇒ n = 7

প্রশ্ন: log 8 + log 64 + log 512 +............ ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log 8 + log 64 + log 512 +...........
= log 8¹ + log 8²+ log 8³ +...........
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি
= n(n + 1)/2
= 10(10 + 1)/2
= 55

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 55 log 8

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)²ⁿ⁺²}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² +.......+ 40² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n-তম পদ = 40

আমরা জানি,
বর্গরাশির ধারার সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {40(40 + 1)(2 × 40 + 1)}/6
= (40 × 41 × 81)/6
= 22140

প্রশ্ন: সমান্তর ধারার 4-তম পদ পদ 16 এবং 6-তম পদ পদ 24 হলে, ধারার 15-তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারার
4-তম পদ = 16
বা, a + (4 - 1)d = 16
a + 3d = 16 .......... (1)
এবং
6-তম পদ = 24
a + (6 - 1)d = 24
a + 5d = 24 ........... (2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
⇒ (a + 5d) - (a + 3d) = 24 - 16
⇒ a + 5d - a - 3d = 8
⇒ 2d = 8
⇒ d = 8/2 = 4

 d = 4 এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
a + (3 × 4) = 16
⇒ a + 12 = 16
⇒ a = 16 - 12
⇒ a = 4

∴ 15-তম পদ = a + (15 - 1)d = 4 + (14 × 4) = 4 + 56 = 60

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + .................... ধারাটির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি 728 হলে n-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3

ধরি,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = 728
⇒ a( rⁿ- 1)/(r - 1) = 728
⇒ 2(3ⁿ - 1)/(3 - 1) = 728
⇒ 2(3ⁿ - 1)/(2) = 728
⇒ 3ⁿ - 1 = 728
⇒ 3ⁿ = 728 + 1
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
⇒ n = 6

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) । ধারাটির 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1) = n² + n

∴ 10 টি পদের সমষ্টি,
= 10² + 10
= 100 + 10
= 110

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং তৃতীয় পদটি 30 হলে সপ্তম পদটি কত?

সমাধান:
 ধরি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে,
সাধারণ অন্তর, d = 5
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d

এখন,
তৃতীয় পদ = a + (3 - 1) × 5
⇒ 30 = a + (2 × 5)
⇒ a + 10 = 30
⇒ a = 30 - 10
⇒ a = 20

∴ সপ্তম পদ = a + (7 - 1)d = 20 + (6 × 5) = (20 + 30) = 50