লগ ইননিবন্ধন
পরীক্ষা আর্কাইভ

৪৯তম বিসিএস ⎯ ফলিত গণিত [৫৬১]

পরীক্ষা৪৯তম বিসিএস ⎯ ফলিত গণিত [৫৬১]তারিখতারিখ অনির্ধারিতসময়45 minutes৩৬ বৈধ · ১ অসম্পূর্ণ
মোট প্রশ্ন৩৭
সিলেবাস
Exam - 07 Topics: Real Analysis (a) Metric Spaces: Definition and examples. Open and closed sets, Compact sets, perfect set and cantor set. (b) Sequence: Convergent sequence, bounded’ sequence, subsequence, Cauchy sequence, and completeness of IR. [Source: Class - 06 and Relevant Books]
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

৪৯তম বিসিএস ⎯ ফলিত গণিত [৫৬১]

৪৯তম বিসিএস ⎯ ফলিত গণিত [৫৬১] · তারিখ অনির্ধারিত · ৩৭ প্রশ্ন

১.
 A metric d on a set X must always satisfy:
  1. ক
     Linearity
  2. খ
    Triangle inequality
  3. গ
    Differentiability
  4. ঘ
     Continuity
ব্যাখ্যা

One of the four defining properties of a metric is the triangle inequality. Linearity, differentiability, and continuity are not required.

২.
The Cantor set is:
  1. ক
    Countable, closed, nowhere dense.
  2. খ
    Uncountable, closed, nowhere dense.
  3. গ
    Countable, open, dense.
  4. ঘ
    Uncountable, open, dense.
ব্যাখ্যা

৩.
Which of the following is a perfect set in R?
  1. ক
    (0,1)
  2. খ
    [0,1]
  3. গ
    Q (rationals)
  4. ঘ
    All of these
ব্যাখ্যা

৪.
  1. ক
    Convergent → (1/2)
  2. খ
    Convergent → 1
  3. গ
    Convergent → 0
  4. ঘ
    Divergent
ব্যাখ্যা

৫.
Which of the following is not a property of a metric?
    ব্যাখ্যা

    ৬.
    1. ক
      Convergent → 3
    2. খ
      Convergent → 2
    3. গ
      Convergent → 1
    4. ঘ
      Divergent
    ব্যাখ্যা

    ৭.
    In the discrete metric, the distance between two distinct points is:
    1. ক
      1
    2. খ
      0
    3. গ
      Infinity
    4. ঘ
      Undefined
    ব্যাখ্যা

    ৮.
    Which of the following subsets of RR with usual Euclidean metric is compact?
    1. ক
      (0, 1)
    2. খ
      [0, 1]
    3. গ
      (- ∞, ∞)
    4. ঘ
      None of these
    ব্যাখ্যা

    ৯.
    Which of the following is Cauchy but not monotone?
      ব্যাখ্যা

      ১০.
      Which of the following functions on R is a metric?
      1. ঘ
        Both A and C
      ব্যাখ্যা

      ১১.
      1. ক
        Euclidean metric
      2. খ
        Discrete metric
      3. গ
        Manhattan (Taxicab) metric
      4. ঘ
        Maximum metric
      ব্যাখ্যা

      ১২.
      True about every convergent sequence:
      1. ক
        Must be bounded
      2. খ
        Must be monotone
      3. গ
        Must be Cauchy
      4. ঘ
        Both A and C
      ব্যাখ্যা

      ১৩.
      1. ক
        Yes, because it satisfies all four metric properties.
      2. খ
        No, because it violates symmetry.
      3. গ
        No, because it violates the triangle inequality.
      4. ঘ
        No, because d(x,y)=0 does not imply x=y.
      ব্যাখ্যা

      ১৪.

      Which is true?
      1. ক
        This is not a metric.
      2. খ
        This is a metric equivalent to the discrete metric.
      3. গ
        This is a metric but not equivalent to the discrete metric.
      4. ঘ
        This is a metric only for finite sets.
      অনির্ধারিত
      ব্যাখ্যা

      This is just a scaled version of the discrete metric (using 2 instead of 1). Scaling by a positive constant preserves metric properties and yields the same topology, so it’s equivalent to the discrete metric.

      ১৫.
      1. ক
        Convergent
      2. ঘ
        None of these
      ব্যাখ্যা



      ১৬.

      Which is correct?
        ব্যাখ্যা

        ১৭.
        Let (X,d) be a metric space. Which of the following statements is always true?
        1. ক
          Every convergent sequence is Cauchy.
        2. খ
          Every Cauchy sequence converges.
        3. গ
          Every bounded sequence is Cauchy.
        4. ঘ
          All of these
        ব্যাখ্যা

        ১৮.
        Which of the following metric spaces is not complete?
          ব্যাখ্যা

          ১৯.
          1. ক
            (0,1)
          2. খ
            [0,1)
          3. গ
            [0, 1]
          4. ঘ
            (- ∞, ∞)
          ব্যাখ্যা

          ২০.
          Which of the following properties are true for the standard Cantor set C ⊂ [0,1]?
          1. ক
            C is uncountable
          2. খ
            C has Lebesgue measure zero.
          3. গ
            C is closed and perfect.
          4. ঘ
            All of These
          ব্যাখ্যা

          ২১.
          Which of the following is not a Cauchy sequence?
            ব্যাখ্যা

            ২২.
            True statement about Cauchy sequences in R
            1. ক
              Every Cauchy sequence diverges
            2. খ
              Every Cauchy sequence converges
            3. গ
              Only bounded Cauchy sequences converge
            4. ঘ
              Only monotone Cauchy sequences converge
            ব্যাখ্যা

            ২৩.
            A perfect set in a metric space is:
            1. ক
              A closed set with no isolated points.
            2. খ
              A set where every point is a limit point.
            3. গ
               A compact set.
            4. ঘ
              Both A and B.
            ব্যাখ্যা

            ২৪.
            Which of the following are true?
            1. ক
              Every compact metric space is complete.
            2. খ
              Every complete and totally bounded metric space is compact.
            3. গ
              Every closed subset of a compact metric space is compact.
            4. ঘ
              All of these
            ব্যাখ্যা

            ২৫.
            Which of the following sequences is Cauchy in Q but does not converge in Q?
              ব্যাখ্যা

              ২৬.
              Which sequence is Cauchy?
                ব্যাখ্যা

                ২৭.
                Evaluate the limit:
                1. ক
                  1/2
                2. খ
                  3/5
                3. গ
                  0
                4. ঘ
                  ∞
                ব্যাখ্যা

                ২৮.
                A metric space is a pair:
                  ব্যাখ্যা

                  A metric space is defined as a set X with a metric d that measures distance between elements.

                  ২৯.
                  1. ক
                    0
                  2. খ
                    1
                  3. গ
                    ∞
                  4. ঘ
                    Does not Exist
                  ব্যাখ্যা

                  ৩০.
                  Which of the following metric spaces is bounded?
                  1. ঘ
                    All of These
                  ব্যাখ্যা

                  • R,N are unbounded.

                  • [0,1] is bounded since all distances are ≤1.

                  ৩১.
                  Which condition ensures that d(x,y) = 0 only when x = y?
                  1. ক
                     Non-negativity
                  2. খ
                     Symmetry
                  3. গ
                    Identity of indiscernibles
                  4. ঘ
                    Triangle inequality
                  ব্যাখ্যা

                  Identity of indiscernibles means d(x, y)=0  ⟺  x=y.

                  ৩২.
                  1. ক
                    Euclidean metric
                  2. খ
                    Manhattan metric
                  3. গ
                    Chebyshev metric
                  4. ঘ
                    None of these
                  ব্যাখ্যা

                  This is the maximum (Chebyshev) metric.

                  ৩৩.
                  Every Cauchy sequence in a complete metric space:
                  1. ক
                    Diverges
                  2. খ
                    Is bounded but not convergent
                  3. গ
                    Converges to some point in the space
                  4. ঘ
                    Is eventually constant
                  ব্যাখ্যা

                   Completeness = all Cauchy sequences converge in the space.

                  ৩৪.
                  1. ক
                    Increasing
                  2. খ
                    Decreasing
                  3. গ
                    Oscillating
                  4. ঘ
                    None of these
                  ব্যাখ্যা

                   Each term is smaller than the previous → decreasing.

                  ৩৫.
                  1. ক
                    Bounded
                  2. খ
                    Unbounded
                  3. গ
                    Convergent
                  4. ঘ
                    Constant
                  ব্যাখ্যা

                  Exponentially increasing → goes to infinity → unbounded.

                  ৩৬.
                  1. ক
                    0
                  2. খ
                    1
                  3. গ
                    ∞
                  4. ঘ
                    Doesn not Converse
                  ব্যাখ্যা

                  ৩৭.
                  Every bounded monotonic sequence:
                  1. ক
                    Diverges
                  2. খ
                    Converges
                  3. গ
                    Oscillates
                  4. ঘ
                    Is constant
                  ব্যাখ্যা