Math Master

প্রশ্ন: y³ - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
y³ - 8 
= (y)³ - (2)³
= (y - 2) {(y)² + y.2 + (2)²}
= (y - 2) (y² + 2y + 4)

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 5x² হলে, x + (1/x) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x⁴ + 2x² + 1 = 5x²
বা, (x²)² + 2.x².1 + (1)² = 5x²
বা, (x² + 1)² = 5x²
বা, x² + 1 = √(5x²)   [উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে] 
বা, x² + 1 = √5 x 
বা, (x²/x) + 1/x = (√5 x)/x    [উভয়পক্ষকে x দিয়ে ভাগ করে] 
∴ x + (1/x) = √5

প্রশ্ন: x²y + xy² এবং x² + xy এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x²y + xy²
= xy (x + y) 

২য় রাশি = x² + xy
= x (x + y) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x (x + y)  । 

প্রশ্ন: 2x + (2/x) = 3 হলে, x³ + (1/x³) + 3 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x + (2/x) = 3
বা, 2{x + (1/x)} = 3
∴ x + (1/x) = 3/2

এখন, 
x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)}³ - 3.x.1/x (x + 1/x)
= (3/2)³ - 3.(3/2)
= (27/8) - (9/2)
= (27 - 36)/8 
= -9/8

∴ x³ + (1/x³) + 3 
= (-9/8) + 3
= (-9 + 24)/8
= 15/8

প্রশ্ন: 1 - p² + 2pq - q² এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
1 - p² + 2pq - q²
= 1 - (p² - 2pq + q²)
= (1)² - (p - q)²
= (1 + p - q)(1 - p + q)

প্রশ্ন: y এর মান কত হলে 4z² - yz + 9 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 

সমাধান: 
4z² - yz + 9
= (2z)² - 2.2z.3 + (3)²
= (2z - 3)² 
অর্থাৎ, yz = 2.2z.3
বা, yz = 12z
∴ y = 12
∴ y এর মান 12 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: x² - x - 2 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান:
x² - x - 2 
= x² - 2x + x - 2
= x(x - 2) + 1 (x - 2) 
= (x - 2) (x + 1) 

প্রশ্ন: p + q = 11 এবং p - q = 3 হলে, p² + q² এর মান কত? 

সমাধান: 
2(p² + q²) = (p + q)² + (p - q)²
বা, 2(p² + q²) = (11)² + (3)²
বা, 2(p² + q²) = 121 + 9
বা, 2(p² + q²) = 130
বা, (p² + q²) = 130/2
∴ (p² + q²) = 65 

প্রশ্ন: যদি p + q + r = 9 এবং p² + q² + r² = 13 হয়, তবে pq + qr + rp = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
2(pq + qr + rp) = (p + q + r)² - (p² + q² + r²) 
বা, 2(pq + qr + rp) = (9)² - 13
বা, 2(pq + qr + rp) = 81 - 13 
বা, 2(pq + qr + rp) = 68
বা, (pq + qr + rp) = 68/2
∴ (pq + qr + rp) = 34

প্রশ্ন: a² + (1/a²) = 2 হলে, a - (1/a) = কত? 

সমাধান: 
{a - (1/a)}² = a² - 2.a.1/a + (1/a)² 
বা, {a - (1/a)}² = a² - 2 + (1/a²)
বা, {a - (1/a)}² = a² + (1/a²) - 2
বা, {a - (1/a)}² = 2 - 2
বা, {a - (1/a)}² = 0
বা, a - (1/a) = √0
∴ a - (1/a) = 0

প্রশ্ন: m² + 7m + n যদি m - 5 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে n এর মান কত হবে? 

সমাধান:
m² + 7m + n রাশিটি (m - 5) দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ (m - 5) উক্ত রাশির একটি উৎপাদক, তাহলে m = 5 বসালে সম্পূর্ণ রাশিটির মান শূন্য হবে। 
ধরি, 
ƒ(m) = m² + 7m + n 
∴ ƒ(5) = (5)² + (7 × 5) + n = 0
বা, 25 + 35 + n = 0
বা, 60 + n = 0 
∴ n = - 60 
∴ n এর মান = - 60   ।

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 2 হয়, তবে x¹⁷ + (1/x¹⁹) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 2
বা, (x² + 1)/x = 2
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² - 2.x.1 + (1)² = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

এখন, 
x¹⁷ + (1/x¹⁹)
= (1)¹⁷ + {(1/1¹⁹)}
= 1 + 1 
= 2

প্রশ্ন: a⁴ - 5a³ + 7a² - x বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 2 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
বহুপদীর একটি উৎপাদক (a - 2) হলে ƒ(a) = 0 হয় 
সুতরাং, (a - 2) = 0 
∴ a = 2 
ধরি, ƒ(a) = a⁴ - 5a³ + 7a² - x = 0 
∴ ƒ(2) = (2)⁴ - 5.(2)³ + 7.(2)² - x = 0 
বা, 16 - 40 + 28 - x = 0
বা, 44 - 40 - x = 0
বা, 4 - x = 0
বা, - x = - 4
∴ x = 4

প্রশ্ন: y + (1/y) = 4 হলে, y/(y² - 3y + 1) এর মান কত? 

সমাধান: 
y + (1/y) = 4
বা, (y² + 1)/y = 4 
∴ y² + 1 = 4y

প্রদত্ত রাশি = y/(y² - 3y + 1)
= y/(y² + 1 - 3y)
= y/(4y - 3y)
= y/y
= 1

প্রশ্ন: x² + x - (a + 1)(a + 2) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
x² + x - (a + 1) (a + 2)
ধরি, a + 1 = m

প্রদত্ত রাশি = x² + x - (a + 1) (a + 2)
= x² + x - (a + 1) (a + 1 + 1)
= x² + x - m (m + 1)       [a + 1 = m] 
= x² + x - m² - m
= x² - m² + x - m 
= (x + m) (x - m) + (x - m)
= (x - m) (x + m + 1) 
= {x - (a + 1)} {x + (a + 1) + 1)}
= (x - a - 1) (x + a + 1 + 1) 
= (x - a - 1) (x + a + 2)

প্রশ্ন: b + (1/b) = 4 হলে b³ + (1/b³) এর মান হবে- 

সমাধান: 
b³ + (1/b³)
= {b + (1/b)³} - 3.b.1/b + {b + (1/b)}
= (4)³ - 3 . 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: 2a² - 5ab + 2b² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
2a² - 5ab + 2b²
= 2a² - 4ab - ab + 2b²
= 2a (a - 2b) - b(a - 2b) 
= (a - 2b)(2a - b)

প্রশ্ন: 3p² + 9, p⁴ - 9 এবং p⁴ + 6p² + 9 -এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = 3p² + 9
= 3 (p² + 3)

২য় রাশি = p⁴ - 9
= (p²)² - (3)²
= (p² + 3) (p² - 3)

৩য় রাশি = p⁴ + 6p² + 9
= (p²)² + 2.p².3 + (3)² 
= (p² + 3)²
= (p² + 3) (p² + 3) 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = 3(p² + 3)² (p² - 3)  ।