নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: নিচের চিত্রের আলোকে cotC এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cotθ = ভূমি/লম্ব
∴ cotC = 60/11

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ। যদি এর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. কমানো হয় এবং প্রস্থ 5 সে.মি. বাড়ানো হয়, তাহলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 75 বর্গসে.মি. বৃদ্ধি পায়। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ।
দৈর্ঘ্য = 2x এবং প্রস্থ = x
ক্ষেত্রফল = 2x² ............(1)

দৈর্ঘ্য 5 সেমি হ্রাস করা হয়েছে এবং প্রস্থ 5 সেমি বৃদ্ধি করা হয়েছে। ক্ষেত্রফল 75 বর্গসেমি বৃদ্ধি পেয়েছে।
(2x - 5) (x + 5) = 2x² + 75
⇒ 2x² + 10x - 5x - 25 = 2x² + 75
⇒ 5x = 100
⇒ x = 20

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2 × 20 = 40 সে.মি.

প্রশ্ন: 20 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে?

সমাধান:

ধরি,
AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 4 মিটার নামবে [চিত্রে দেখুন]।
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = BD = 20 মিটার এবং AB = 4 মিটার
∴ BC = 20 - 4 = 16 মিটার

এখন,
BC² + CD² = BD² [∠C = 90° ]
বা, CD² = BD² - BC² = (20)² - (16)² = 400 - 256  = 144
∴ CD =12 মিটার 

∴  নির্ণেয় দূরত্ব 12 মিটার।

প্রশ্ন: cos90° =?

সমাধান:

∴ cos90° = 0

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল 15400 বর্গমিটার, পার্কের ব্যাস কত?

সমাধান:
বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = 15400
∴ πr² = 15400
⇒ (22/7) × r² = 15400
⇒ r² = 15400 × (7/22)
⇒ r = √(7 × 7 × 10 × 10)
⇒ r = 7 × 10
⇒ r = 70

∴  বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস = 2 × 70 = 140 মিটার

প্রশ্ন: একটি সুষম ১৮ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা n = ১৮
অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৩৬০°/n) = ১৮০° - (৩৬০°/১৮)
= ১৮০° - ২০°
= ১৬০°

প্রশ্ন: sin²(43°) + cos²(43°) =?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
∴ sin²(43°) + cos²(43°) = 1

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের চারপাশে রাস্তার প্রস্থ 4.5 মিটার এবং রাস্তার ক্ষেত্রফল 297 বর্গ মিটার হয়। এখন 100 টাকা প্রতি মিটার হারে মাঠের চারপাশে বেড়া দেওয়ার জন্য খরচ নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
মাঠের প্রতিটি বাহু = x
তারপর, রাস্তাসহ প্রতিটি বাহু = x + 4.5 + 4.5 = x + 9
অতএব,
(x + 9)² - x² = 297
⇒ x² + 18x + 81 - x² = 297
⇒ 18x + 81 = 297
⇒ 18x = 297 - 81 = 216
⇒ x = 216/18 = 12

∴ বর্গাকার মাঠের প্রতিটি বাহু = 12 মিটার
পরিধি = 4 × 12= 48 মিটার
সুতরাং, বেড়া দিতে মোট খরচ = 48 × 100 = 4800 টাকা।

প্রশ্ন: যদি sinα = 5/13 হয়, তাহলে cosα =?

সমাধান:
cosα = √(1 - sin²α)
= √(1 - 25/169)
= √(144/169)
= 12/13

প্রশ্ন: একটি নিরেট গোলার্ধের ব্যাসার্ধ 21 সে.মি.। এটি গলিয়ে 14 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডার তৈরি করা হয়। সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
সিলিন্ডারের আয়তন = πR²h
নিরেট গোলার্ধের আয়তন = (1/2) (4/3)πr³ = (2/3)πr³
(যেখানে r হল একটি নিরেট গোলার্ধের ব্যাসার্ধ এবং R হল একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ)

সিলিন্ডারের আয়তন এবং একটি নিরেট গোলার্ধের আয়তন সমান।
∴ πR²h = (2/3)πr³
⇒ R² × 14 = (2/3) × (21)³
⇒ R² =  (2 × 21 × 21 × 21)/(3 × 14)
⇒ R² = 21× 21
⇒ R = 21 সে.মি.

∴ সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 21 সে.মি.।

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তকোণের পরিমাণ ১৬২° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
অন্তকোণের পরিমাণ ১৬২°
∴ বহিস্থ কোণের পরিমাণ (১৮০° - ১৬২°) = ১৮°

∴ বাহুর সংখ্যা n = ৩৬০°/১৮° = ২০

প্রশ্ন: cot(π + x) = কত?

সমাধান:
cot(π + x) [মানটি তৃতীয় চতুর্ভাগে রয়েছে, তৃতীয় চতুর্ভাগে tan, cot ধনাত্মক)
= cotx

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা ১৬ মিটার। একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
একটি বর্গের পরিসীমা ১৬ মিটার।
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৬/৪ মিটার
= ৪ মিটার 

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪ মিটার 

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) ৪২ বর্গমিটার
= ৪√৩ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: করিম ও রহিম একই বিন্দু থেকে যাত্রা করল। করিম যখন পশ্চিমদিকে ৪০০ মিটার গেল। রহিম তখন দক্ষিণ দিকে ৩০০ মিটার যায়। তারা একে অপরের থেকে কত দূরে অবস্থান করছে?

সমাধান:

ধরি,
রহিম ও করিমের মাঝে দূরত্ব = d
d^২ = (৩০০)^২ + (৪০০)^২
⇒ d^২ = ৯০০০০ + ১৬০০০০
⇒ d^২ = ২৫০০০০
∴ d = ৫০০

প্রশ্ন: sin(- 585°) এর মান কত?

সমাধান:
sin(- 585°)
= - sin585° [sin(- θ) = - sinθ]
= - sin(6 × 90° + 45°)
= - (- sin45°)
= sin45°
= 1/√2

প্রশ্ন: একটি তার-কে বাঁকিয়ে 22 সেন্টিমিটার বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করা হয়েছে। যদি তারটিকে একটি বৃত্ত গঠনের জন্য পুনরায় বাঁকানো হয়, তাহলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত হবে?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × a (যেখানে a = বর্গক্ষেত্রের বাহু)
বৃত্তের পরিধি = 2 × π × r (যেখানে r = বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × 22 = 88 সেন্টিমিটার

∴ বৃত্তের পরিধি = 2 × π × r =  88
⇒ 2 × (22/7) × r = 88
⇒ r = (88 × 7)/44
⇒ r = 14 সেন্টিমিটার

∴ নির্ণেয় ফলাফল 14 সেন্টিমিটার হবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার প্রিজমের ভূমিটি 14 সে.মি. দৈর্ঘ্য ও 5 সে.মি. প্রস্থ বিশিষ্ট, প্রিজমের উচ্চতা 10 সে.মি. হলে প্রিজমের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দৈর্ঘ্য = 14 সে.মি.
প্রস্থ = 5 সে.মি.
উচ্চতা = 10 সে.মি.

আয়তাকার প্রিজমের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, S = 2(lw + lh + wh) যেখানে, l = দৈর্ঘ্য, w = প্রস্থ, h = উচ্চতা
S = 2(lw + lh + wh) = 2(14 × 5 + 14 × 10 + 5 × 10)
= 2(70 + 140 + 50)
= 2 × 260
= 520 বর্গসেমি

∴ প্রিজমের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 520 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: cos{(8π)/3} ​= ?

সমাধান:
cos{(8π)/3}
= cos (3π - π/3)
= - cos(π/3)
= - cos60°
= - 1/2

প্রশ্ন: গোলাপপুরের জনসংখ্যা 4000 এবং মাথাপিছু দৈনিক 9 লিটার করে পানি লাগে। একটি ঘনকাকৃতির ট্যাঙ্ক যার পরিমাপ 15 m × 8 m × 6 m, যদি সম্পূর্ণ ট্যাঙ্ক পানি ভর্তি থাকে তাহলে কত দিনে সেই পানি সম্পূর্ণ ব্যবহৃত হবে?

সমাধান:
গোলাপপুরের দৈনিক ব্যবহৃত পানির পরিমাণ = 4000 × 9 = 36000 লিটার

ঘনকাকৃতির ট্যাঙ্কটির ধারণক্ষমতা = 15 m × 8 m × 6 m = 720 m³ = 720 × 1000 লিটার = 720000 লিটার

∴সম্পূর্ণ পানি ব্যবহৃত হওয়ার দিন সংখ্যা = 720000/36000 = 20 দিন

প্রশ্ন: ১৪ সে.মি., ৮ সে.মি. এবং ১৭ সে.মি. বাহুগুলো দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যাবে কি?

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত প্রতিক্রিয়া হতে পাই,
কোন ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফলের সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।

এখানে,
১৪^২ + ৮^২
= ১৯৬ + ৬৪
= ২৬০
≠ ১৭^২

∴ বাহু তিনটি দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।

প্রশ্ন: cos24° + cos204° =?

সমাধান:
cos204° = cos(180° + 24°) = - cos24°

cos24° + cos204°
= cos24° - cos24°
= 0

প্রশ্ন: 12 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলককে গলানো হলো এবং 12 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক হিসেবে পুনর্গঠিত করা হলো। কোণকের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
গোলকের ব্যাসার্ধ = 12 সে.মি.
কোণকের উচ্চতা = 12 সে.মি.

কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h
গোলকের আয়তন = (4/3) × πr³

ধরি,
কোণকের ব্যাসার্ধ হল r সে.মি.
প্রশ্নানুসারে,
(1/3) × π × r² × 12 = (4/3) × π × 12 × 12 × 12
⇒ r² = 12 × 12 × 4
⇒ r = 12 × 2
∴ r = 24 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি Nonagon- এর অন্তকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা n = ৯
বহুভুজের অন্তকোণগুলোর সমষ্টি = (n - ২) × ১৮০°
= (৯ - ২) × ১৮০°
= ৭ × ১৮০°
= ১২৬০°

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 2368 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 6 : 5 : 4 হয়, তবে এর উচ্চতা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 6x সে.মি. 
ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = 5x সে.মি.
উচ্চতা, c = 4x সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক
⇒ 2368 = 2 (6x × 5x + 5x × 4x + 4x × 6x) = 2(30x² + 20x² + 24x²)
⇒ 2368 = 2 × 74x²
⇒ x² = 16
∴ x = 4

∴ উচ্চতা c = 4x = 4 × 4 = 16 সে.মি.

প্রশ্ন: sin75°.sin15° এর মান কত?

সমাধান:
sin75°.sin15°
= sin(90° - 15°).sin15°
= cos15°.sin15°
= (1/2).2cos15°.sin15°
= (1/2). sin(2 × 15°)
= (1/2).sin30°
= (1/2) × (1/2)
= 1/4

প্রশ্ন: একটি আয়তিক ঘন 48 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ভূমির উপর দণ্ডায়মান। আয়তাকার ঘনের আয়তন 144 ঘনমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তিক ঘন এর দৈর্ঘ্য = a মিটার 
এবং প্রস্থ = b মিটার
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল = ab বর্গমিটার = 48 বর্গমিটার

উচ্চতা = c মিটার
∴ ঘনের আয়তন = abc

abc = 144
⇒ 48c = 144
⇒ c = 144/48
∴ c = 3

প্রশ্ন: যদি tan2α = 4 হয়, তাহলে sin4α = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin2A = 2tanA/(1 + tan²A)

sin4α
= sin(2 × 2α)
= {(2tan2α)/(1 + tan²2α)}
= {(2 × 4)/(1 + 4²)}
= 8/17

প্রশ্ন: তিনটি ঘনকের ধার যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন ঘনক বানানো হল। নতুন ঘনকের কর্ণ নির্ণয় করুন।

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের ধার a হলে,
ঘনকের আয়তন = a³  ঘন একক
এবং ঘনকের কর্ণ = a√3 একক

এখানে,
নতুন ঘনকের আয়তন = (3³ + 4³ + 5³) ঘন সে. মি. = (27 + 64 + 125) ঘন সে.মি. = 216 ঘন সে.মি.
∴ নতুন ঘনকের ধার = (216)^1/3 সে. মি. = 6 সে.মি.

∴ নতুন ঘনকের কর্ণ = a√3 = 6√3 সে. মি.

প্রশ্ন: একটি মই ৫ মিটার লম্বা। একটি দেয়াল থেকে ৩ মিটার দূরে মইয়ের গোড়াটি রাখলে মইটি দেয়ালের কত উচ্চতায় পৌছাবে?

সমাধান:

দেয়ালের উচ্চতা = √(৫^২ - ৩^২) = √(২৫ - ৯) = √১৬ = ৪ মিটার

প্রশ্ন: 2sin15°.cos 15° =?

সমাধান:
আমরা জানি,
Sin 2A = 2sinA cosA

2sin15°cos 15° 
= sin(2 × 15°)
= sin30°
= 1/2

প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 8 সে.মি, 6 সে.মি. এবং 4 সে.মি এবং ভিতরের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সে.মি.। বাক্সটির কাঠের পুরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
কাঠের পুরত্ব = x সে.মি.
∴ বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, a = (8 - 2x) সে.মি.
বাক্সের ভিতরের প্রস্থ, b = (6 - 2x) সে.মি.
বাক্সের ভিতরের উচ্চতা, c = (4 - 2x) সে.মি.

∴ বাক্সের ভিতরের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক
= 2{(8 - 2x) (6 - 2x) + (6 - 2x)(4 - 2x) + (4 - 2x)(8 - 2x)}
= 2(48 - 28x + 4x² +24 - 20x + 4x² + 32 - 24x + 4x²)
= 2 (12x² - 72x + 104)

প্রশ্নানুসারে, 
বা, 2(12x² - 72x + 104) = 88
বা, 12x² - 72x + 104 = 44
বা, 12x² - 72x + 60 = 0
বা, x² - 6x + 5 = 0
বা, (x - 5)(x - 1) = 0
∴ x = 5 বা, x = 1 যেহেতু বাইরের উচ্চতা 4 সে.মি. তাই ভিতরের উচ্চতা 5 হতে পারে না।
অতএব বাক্সের পুরুত্ব = 1 সে.মি.

প্রশ্ন: ১২ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

∴ ১২ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা হবে = {12(12 - 3)}/2
= (12 × 9)/2
= 54

প্রশ্ন: যদি cosθ = 5/13 হয়, তাহলে tan²θ + sec²θ = ?

সমাধান:
tan²θ + sec²θ
= sec²θ - 1 + sec² θ
= 2sec²θ - 1 
= 2 ×  (13/5)² - 1
= (2 × 169)/25 - 1
= 338/25 - 1
= (338 - 25)/25
= 313/25

প্রশ্ন: প্রদত্ত টেলিভিশনটি উপরের বাম কোণ থেকে নিচের ডান কোণ বরাবর মাপা হলে পরিমাপ কত হবে?

সমাধান:
কোণ বরাবর দৈর্ঘ্য d হলে,
d^২ = (৪৮)^২ + (২৭)^২
⇒ d^২ = ২৩০৪ + ৭২৯
⇒ d^২ = ৩০৩৩
∴ d = ৫৫.০৭ ≈ ৫৫.১ ইঞ্চি 

প্রশ্ন: cos 80°cos20° + sin80°sin20° =?

সমাধান:
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB

∴ cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20°
= cos(80° - 20°)
= cos60°
= 1/2

প্রশ্ন একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৫ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত সে.মি?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৪০ বর্গমিটার 
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৫ মিটার 
সামান্তরিকের ভূমি = ৪০/৫ = ৮ মিটার 
= (৮ × ১০০) সে.মি. 
= ৮০০ সে.মি. 

প্রশ্ন: সুষম অষ্টভুজের একটি বহিস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
অষ্টভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ টি
মোট অন্তস্থকোণের পরিমাণ = (৮ - ২) ১৮০°
= ৬ × ১৮০°
= ১০৮০°

প্রতি অন্তস্থকোণের পরিমাণ = ১০৮০/৮ = ১৩৫°
∴ বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৮০° - ১৩৫°
= ৪৫°

প্রশ্ন: একটি গাছের গোড়া থেকে আনুভূমিক তলে 25 মিটার দূরের একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি 60° হয়, তাহলে গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
AB গাছের গোড়া B থেকে 25 মিটার দূরে C বিন্দু থেকে গাছটির অগ্রভাগ অর্থাৎ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°

এখন সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রে,
tan∠ACB = tan60°= AB/BC = AB/25
বা, √3 = AB/25
∴ AB = 25√3

∴ গাছটির উচ্চতা 25√3 মিটার

প্রশ্ন: 4 সে.মি. ব্যাসের একটি লৌহ গোলককে গলিয়ে 2/3 সে.মি. পুরু একটি বৃত্তাকার লৌহপাত প্রস্তুত করা হল। ঐ পাতের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি. [ ব্যাস 4 সে.মি.]
∴ গোলকের ঘনফল = (4/3)πr³ ঘন একক
= (4/3) × π × 8 ঘন সে.মি.
= (32/3)π ঘন সে.মি.

ধরি,
লৌহ পাতের ব্যাসার্ধ = R সে. মি. 
∴  বৃত্তাকার লৌহপাতের ক্ষেত্রফল = πR² বর্গ সে.মি.
লৌহপাত 2/3 সে.মি. পুরু
∴ বৃত্তাকার লৌহপাতের ঘনফল = πR² × (2/3) = (2/3)πR² ঘন সে.মি.

শর্তানুসারে,
(2/3)πR² = (32/3)π 
⇒ R² = 16
∴ R = 4

∴ নির্ণেয় ব্যাসার্ধ = 4 সে.মি.

প্রশ্ন: দেয়ালের সাথে একটি মইয়ের উন্নতি কোণ 60° এবং মইয়ের দৈর্ঘ্য 30 মিটার হলে মইটির পাদদেশ থেকে দেয়াল কত দূরে অবস্থিত?

সমাধান:

মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 30 মিটার
মইটির পাদদেশ থেকে দেয়ালের দূরত্ব BC= x মিটার

এখন,
Cos∠ACB = BC/AC
বা, Cos 60° = x/30
বা, 1/2 = x/30
বা, 2x = 30
∴ x = 15

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 40 সে.মি. ও 60 সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 60 সে.মি. ও 40 সে.মি.
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 40 × 60 = (1/2) × 2400 = 1200 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বহুভুজে x সংখ্যক বাহু বিদ্যমান থাকলে, সমকোণের সংখ্যা নির্ণয় করার সূত্র নিচের কোনটি?

সমাধান:
একটি বহুভুজে x সংখ্যক বাহু বিদ্যমান থাকলে, সমকোণ সংখ্যা নির্ণয় করার সূত্র = 2x - 4.

যেমন:
চতুর্ভুজের বাহু 4টি। চতুর্ভুজের মোট সমকোণ সংখ্যা = 2 × 4 - 4 = 8 - 4 = 4টি সমকোণ বা ৩৬০°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থের তিন গুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। প্রতিটি 40 সে.মি. বর্গাকার পাথর দিয়ে বর্গক্ষেত্রটি বাঁধাতে মোট কতটি পাথর লাগবে?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = x × 3x = 3x²
∴ 3x² = 768 
বা, x² = 256
বা, x = 16 মিটার

এখন,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3x = 3 × 16 = 48 মিটার
আবার, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা
এখন,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= 2 (16 + 48) মিটার
= 2 × 64 মিটার
= 128 মিটার

অতএব, শর্তমতে বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = 128 মিটার।
এখন, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 128/4 = 32 বর্গমটার

∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = 32² বর্গ মিটার= 1024 বর্গ মিটার

প্রতিটি পাথরের ক্ষেত্রফল= 40² বর্গ সে.মি. =1600 বর্গ সে.মি. = 0.16 বর্গমিটার

∴ মোট পাথর লাগবে = 1024 ÷ 0.16 = 6400টি