Math Master

আমরা জানি,
n সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
অর্থাৎ 
1 + 2 + 3 + 4 + ........................ + n = n(n + 1)/2
1 + 2 + 3 + 4 + .................. + 40 =40(40 + 1)/2
                                                  = 20 × 41   
                                                  = 820
                                                  

সঠিক উত্তর 5115
অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় বাতিল করা হয়েছে।

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10/5= 2
পদ সংখ্যা, n = 10
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার সমষ্টি S_n = {a(rⁿ - 1)}/(r - 1)

প্রথম 10টি পদের সমষ্টি
S₁₀ = [5{(2)¹⁰ -1}]/(2 - 1)
      = [5 × (1024 - 1)]
      = 5 × 1023
      = 5115

এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর d =6 - 4 = 2 

ধরি,
ধারাটির n তম পদ 202

n তম পদ = a + (n - 1)d
202 = 4 + (n - 1)2
202 = 4 + 2n - 2
2n + 2 =202
2n = 202 - 2
2n = 200
n = 200/2
n = 100

ধারাটির প্রথম পদ, a = 64
অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2

∴ 10 তম পদ ar^{10 - 1} = 64(1/2)⁹
                             = (64 × 1)/2⁹
                             = 2⁶/2⁹
                             = 1/2³
                              = 1/8

এখানে,
১ম পদ a = 2
সাধারণ অন্তর d = 5 - 2 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 
20তম পদ = a + (20 - 1)d 
                    = 2 + 19 (3)
                   = 2 + 57
                   = 59

n তম পদের মান  = 1/{n(n + 1)}
(n + 1) তম পদের মান = 1/{(n + 1)(n + 1 + 1)}
                                   = 1/{(n + 1)(n + 2)}
                                    = 1/(n² + 3n + 2)

এখানে,
১ম পদ a  = 6
সাধারণ অন্তর d = 9 - 6 = 3

আমরা জানি 
n-তম পদ = a + (n - 1)d
                =  6 +(n - 1)3
                 = 6 + 3n - 3
                = 3n + 3

ধরি
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a 
গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত r 

দেয়া আছে,
তৃতীয় পদ = √2  
অষ্টম পদ  = 8

ar^{3 - 1} = ar² = √2  ...............(1)
ar^{8 - 1} = ar⁷ = 8...........(2)

(2) ÷ (1)
ar⁷/ar²  = 8/√2
r⁵ = 4√2
r⁵ = (√2)⁵
r = √2

এখানে
১ম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d =3 -1 = 2

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 59 = 1 +(n - 1) × 2
বা,59 = 1 + 2n - 2 
বা, 59 = 2n - 1
বা 2n = 59 + 1 
বা 2n = 60
 n = 30

সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
         = (30/2){2 × 1 + (30 - 1)×(2)}
         =(30/2) {2 + 29 × (2)}
         = (30/2) (2 + 58)
         = (30/2) × 60
          = 30 × 30
          = 900

n-তম পদ {4 - (- 1)²ⁿ}/3 
18 -তম পদ = {4 - (- 1)^{2 × 12}}/3
                    = {4 - (- 1)²⁴}/3
                     = {4 - (1)}/3
                     = (4 - 1)/3
                      = 3/3
                      = 1

এখানে,
১ম পদ a  = 2
সাধারণ অনুপাত r = 1/2

আমরা জানি,
n-তম পদের সমষ্টি = a(1 - r⁶)/(1 - r)       
 প্রথম ছয়টির পদের সমষ্টি = 2{1 - (1/2)⁶}/(1 - 1/2)  
                                         = 2{(64 - 1)/64}/(2 - 1)/2
                                         = (126/64)/(1/2)
                                          = 63/16

দেয়া আছে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি n² + n
প্রথম 12টি পদের সমষ্টি = 12² + 12 = 144 + 12 = 156

দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a₁ = 7
দ্বিতীয় পদ = a
তৃতীয় পদ = b
এবং চতুর্থ পদ = 189

মনে করি,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r

ধারাটির চতুর্থ পদ = a₁r^{4 -1}
7r³ = 189
বা, r³ = 189/7
বা, r³ = 27
বা, r³ = 3³
বা, r = 3


তৃতীয় পদ, b = a₁r^{3 - 1}
= a₁r²
= 7.3²
= 7.9
= 63

সমান্তর ধারার 20 তম পদ – 20 হলে, 
a + (20 - 1)d = - 20
a + 19d = - 20

এর প্রথম 39 টি পদের সমষ্টি
= (39/2){2a + (39 - 1)d}
= 39/2(2a + 38d)
= 39/2 × 2(a + 19d)
= 39 × (- 20)
= - 780

ধরি 
১ম পদ = 3
সাধারণ অনুপাত r = - 3/3 = - 1 

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি a(1 - rⁿ)/(1- r)
গুণোত্তর ধারার (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি 
= 3{1 - (- 1)^{(2n + 2)}}/{1 - (- 1)}
= 3{1 - 1}/{1 + 1}
= 3 × 0/2
= 0/2
= 0

কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ a 
সাধারণ অন্তর d 

আমরা জানি 
mতম পদ = a + (m - 1)d
n  = a + md - d
a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
m  = a + nd - d
a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই 
a + md - d - (a + nd - d)= n - m
a + md - d - a - nd + d = n - m
md - nd = n - m
d(m - n) = n - m
d = - 1(m - n)/(m - n)
d =  - 1

আমরা জানি, 
1² + 2² + 3² + 4² + ........... + n² = (1/6){n(n + 1)(2n + 1)} 

1² + 2² + 3² + 4² + ........... + 10² = (1/6){10(10 + 1)(2 × 10 + 1)}
                                       = (10 × 11 × 21)/6
                                        = 385

দেয়া আছে,
p-তম পদ q^2p - 5
২য় পদ = q^{2 × 2} - 5
            = q⁴ - 5

প্রশ্নমতে,
q⁴ - 5 = 76
বা, q⁴ = 76 + 5 
বা, q⁴ = 81
বা, q⁴ = 3⁴ 
     q = 3