Math Master

AB:AC = √3 : 1
∴ AB/AC = √3
বা, AC/AB = 1/√3
∴ tanB = AC/AB = 1/√3
= tan 30°
∴ B = 30°

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা h
চিত্রে, AB = h,
BC = 20√3,
∠C = 60°
∴ tan60° = AB/BC
বা, AB = BC × tan60°
∴ h = 20√3 × √3 = 60 মিটার

ধরি, খুঁটিটি x মিটার উচুঁতে ভেঙ্গেছিল
∴ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (45-x) মিটার
∴ sin30° = x/45-x
বা, 1/2 = x/45-x
বা, 2x = 45-x
বা, 3x = 45
∴ x = 15

cosθ = 1/2(a + (1/a))
∴ cos3θ
= 4cos³θ - 3cosθ
= 4{1/2(a + (1/a))}³ - 3{1/2(a + (1/a))}
= 4{1/8(a + (1/a))³} - 3/2(a + (1/a))
= 1/2{(a³ + (1/a³) + 3.a.1/a (a + 1/a)} - 3/2(a + (1/a))
= 1/2(a³ + (1/a³)) + 3/2(a + (1/a)) - 3/2(a + (1/a))
= 1/2(a³ + (1/a³))

secθ = 5/3 = অতি/ভূমি,
পীথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
লম্ব = √(অতি² - ভূমি²)
= √(5² - 3²)
= 4
∴ cosecθ = 5/4

sinθ এর সর্বোচ্চ মান 1
∴ x এর সর্বোচ্চ মান 1

cosec20°
= 1/sin20°
= 1/sin2×10°
= 1/{(2 tan10°)/(1 + tan²10°)}
= (1 + tan²10°)/2tan10°
= (1 + p²)/2p

cosec²θ - cot²θ = (cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ)
বা, 1 = (cosecθ + cotθ) 1/2
∴ cosecθ + cotθ = 2

বৃত্তের ব্যাস = বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2 cm
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 1
∴ ক্ষেত্রফল = π.1² = π
বর্গের ক্ষেত্রফল = 2² = 4
∴ অনধিকৃত এলাকার ক্ষেত্রফল = 4 - π বর্গ সে.মি.

ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল দুই বাহুর সমষ্টি) × h
বা, ১৫০ = ১/২ × (১২ + ১৮) × h
বা, ১৫h = ১৫০
∴ h = ১০ সে.মি.

বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 1/2 r²θ

বাক্সের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২(৩×৪ + ৪×৫ + ৩×৫)
= ৯৪ বর্গ মি.
∴ রং করতে খরচ = ৯৪ × ১১
= ১০৩৪ টাকা

রং করতে হবে এমন এলাকার ক্ষেত্রফল = সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল - মেঝের ক্ষেত্রফল
= ২(৬×৪ + ৪×৫ + ৫×৬) - ৬×৪
= ১২৪
∴ খরচ = ১২৪ × ৯
= ১১১৬ টাকা

ধরি, ঘনকদ্বয়ের বাহুদ্বয় ৩ক, ২ক
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৬(৩ক)^২, ৬(২ক)^২
∴ ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = ৫৪ক^২ : ২৪ক^২
= ৯ঃ৪

ব্যাসার্ধ r হলে,
আয়তন/পৃষ্টের ক্ষেত্রফল = ((4/3)πr³)/(4πr²) = r/3
বা, r/3 = 5/3
∴ r = 5

ব্যাসার্ধ r = 4 সে. মি., উচ্চতা h হলে,
আয়তন/বক্রতলের ক্ষেত্রফল = (πr²h)/(2πrh)
= r/2
= 4/2
= 2
∴ অনুপাত = 2:1

একটি ধার = a হলে
আয়তন a³ = 216
∴ a = 6
∴ সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a²
= 6.6²
= 6³
= 216 বর্গ সে.মি.