Math Master

প্রশ্ন: (a + 3)(a - 3) কে a² - 7 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
a² - 7 = 0 হলে,
a² = 7
∴ a = √7

ধরি,
f(a) = (a + 3)(a - 3)
= a² - 3²

∴ f(√7) = (√7)² - 3²
= 7 - 9
= - 2

প্রশ্ন: 2a - 32a³ এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
2a - 32a³
= 2a(1 - 16a²)
= 2a{1² - (4a)²}
= 2a(1 + 4a)(1 - 4a)

প্রশ্ন: 3a³ + 2a + 5 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(a) = 3a³ + 2a + 5

এখন,
f(- 1) = 3 × (- 1)³ + 2 × (- 1) + 5
= - 3 - 2 + 5
= 0

∴ a - (- 1) বা, (a + 1), f(a) এর একটি উৎপাদক।
প্রদত্ত রাশি = 3a³ + 2a + 5
= 3a³ + 3a² - 3a² - 3a + 5a + 5 
= 3a²(a + 1) - 3a(a + 1) +5(a + 1)
= (a + 1)(3a² - 3a + 5)

প্রশ্ন: 6x² + 24x + 24 এবং x² + x - 2 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি:
6x² + 24x + 24
= 6(x² + 4x + 4)
= 6(x² + 2x + 2x + 4)
= 6{x(x + 2) + 2(x + 2)}
= 6(x + 2)(x + 2)

২য় রাশি:
x² + x - 2
= x² + 2x - x - 2
= x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(x - 1)

∴ প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক = x + 2

প্রশ্ন: x + y = 4 এবং xy = 3 হলে, x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
এখন,
x³ + y³ 
= (x + y)³ - 3 ⋅ x ⋅ y(x + y)
= 4³ - 3 ⋅ 3 ⋅ 4
= 64 - 36
= 28

প্রশ্ন: 4a⁴ - 25a² + 36 = 0 সমীকরণটির উৎপাদক -

সমাধান:
4a⁴ - 25a² + 36 = 0
⇒ 4a⁴ - 16a² - 9a² + 36 = 0
⇒ 4a²(a² - 4) - 9(a² - 4) = 0
⇒ (4a² - 9)(a² - 4) = 0
⇒ {(2a)² - 3²} (a² - 2²) = 0
⇒ (2a + 3)(2a - 3)(a + 2)(a - 2) = 0

∴ 4a⁴ - 25a² + 36 = 0 সমীকরণটির উৎপাদক (2a + 3)(2a - 3)(a + 2)(a - 2)

প্রশ্ন: a² - b² = 20 এবং a - b = 2 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² - b² = 20
বা, (a + b)(a - b) = 20
বা, (a + b) × 2 = 20
বা, a + b = 20/2
বা, a + b = 10

এখন, ab = {(a + b)² - (a - b)²}/4
= (10² - 2²)/4
= (100 - 4)/4
= 96/4
= 24

প্রশ্ন: a⁶ - b⁶ এর উৎপাদক-

সমাধান:
a⁶ - b⁶
= (a³)² - (b³)²
= (a³ + b³)(a³ - b³)
= (a + b)(a² - ab + b²)(a - b)(a² + ab + b²)
= (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

প্রশ্ন: নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 3?

সমাধান:
a = 3 হলে,
a³ - 4a + 3
= 3³ - 4 × 3 + 3
= 27 - 12 + 3
= 18 ≠ 0

a³ + a - 24
= 3³ + 3 - 24
= 27 + 3 - 24
= 6 ≠ 0

a³ + 3a - 36
= 3³ + 3 × 3 - 36
= 27 + 9 - 36
= 0 

3a² + 2a - 31
= (3 × 3²) + (2 × 3) - 31
= 27 + 6 - 31
= 2 ≠ 0

∴ (a - 3), a³ + 3a - 36 এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: যদি x + y = 4, x + z = 7 এবং x + y + z = 12 হয়, তাহলে 1/x^{- 3} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 4 . . . . . (i)
x + z = 7 . . . . . (ii)
x + y + z = 12 . . . . . (iii)

(i) নং থেকে x + y এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
4 + z = 12
বা, z = 12 - 4
বা, z = 8

z এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x + 8 = 7
বা, x = 7 - 8
বা, x = - 1

∴ 1/x^-3 = 1/(- 1)^{- 3}
= 1/(- 1)
= - 1

প্রশ্ন: 6q² - q - 15 এর একটি উৎপাদক 2q + 3 হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
6q² - q - 15
= 6q² + 9q - 10q - 15
= 3q(2q + 3) - 5(2q + 3)
= (2q + 3)(3q - 5)

∴ 6q² - q - 15 এর একটি উৎপাদক 2q + 3 হলে, অপর উৎপাদকটি হবে 3q - 5.

প্রশ্ন: a² + b² + c² = 9 এবং ab + bc + ca = 8 হলে,  a + b + c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² + c² = 9
ab + bc + ca = 8

আমরা জানি,
(a + b + c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca)
= 9 + ( 2 × 8)
= 9 + 16
= 25

∴ a + b + c = √25 = 5

প্রশ্ন: x³ - 6x² + 12x - 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
x³ - 6x² + 12x - 9
= x³ - 3 ⋅ x² ⋅ 2 + 3 ⋅ x ⋅ 2² - 2³ - 1
= (x - 2)³ - 1
= (x - 2)³ - 1³
= (x - 2 - 1){(x - 2)² + (x - 2) ⋅ 1 + 1²)}
= (x - 3){x² - 2 ⋅ x ⋅ 2 + 2² + x - 2 + 1)
= (x - 3){x² - 4x + 4 + x - 2 + 1)
= (x - 3)(x² - 3x + 3)

প্রশ্ন: (x²/y²) + 2(x/y) এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
(x²/y²) + 2(x/y)
= (x/y)² + 2 ⋅ (x/y) ⋅ 1 + 1² - 1
= {(x/y) + 1}² - 1

∴ (x²/y²) + (2x/y) এর সাথে 1 যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে।

প্রশ্ন: p³ - 7p - 6 এর উৎপাদকগুলো হলো-

সমাধান:
p = - 1 হলে,
p³ - 7p - 6 = (- 1)³ - 7(- 1) - 6
= 1 + 7 - 6
= 0

∴ (p + 1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

∴  p³ - 7p - 6 = p³ + p² - p² - p - 6p - 6
= p²(p +1) - p(p + 1) - 6(p + 1)
= (p + 1)(p² - p - 6)
= (p + 1)(p² - 3p + 2p - 6)
= (p + 1){p(p - 3) + 2(p - 3)}
= (p + 1)(p + 2)(p - 3)

প্রশ্ন:

সমাধান: