১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

দেয়া আছে, 
x² - 1 = 2x
(x² - 1)/x = 2x/x
x²/x - 1/x = 2
x - 1/x = 2 

এখানে,
(x⁴ + 1)/x² = (x⁴/x² ) + (1/x²)
               = x² + 1/x²  
               =(x - 1/x)² + 2 .x.1/x 
               = 2² + 2
               = 4 + 2 
               = 6

দেয়া আছে,
x + y = - 2
x² + y²  = 4

আমরা জানি,
বা, (x + y)² = x² + y² + 2xy 
বা, (- 2)² = 4 + 2xy 
বা, 4 - 4 = 2xy 
বা, 2xy = 0
বা, xy = 0/2
বা, xy = 0

x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
            = (- 2)³ + 3.0.(- 2)
            = - 8 + 0
            = - 8

1/।3x - 5। > 2
বা, ।3x - 5। < 1/2
= - 1/2 < 3x - 5 < 1/2
= - 1/2 + 5 < 3x - 5 + 5 < 1/2 + 5
= (- 1 + 10)/2 < 3x < (1 + 10)/2
= 9/2 < 3x < 11/2
= 9/2× 3 < 3x/3 < 11/2 × 3
= 3/2 < x < 11/6

ধরি 
ট্যাংকে পানি ধরে x 

প্রশ্নমতে,
বা, (6x/7) - (2x/5) = 16 
বা, (30x - 14x)/35 = 16 
বা, 16x/35 = 16 
বা, x/35 = 1
বা, x = 35

x² - 3xy - 40y² 
= x² - 8xy + 5xy - 40y² 
= x(x - 8y) + 5y(x - 8y)
= (x - 8y)(x + 5y)

দেয়া আছে,
m - 1/m = √3

আমরা জানি,
(m  + 1/m)² = (m  - 1/m)² + 4.m.1/m
(m  + 1/m)² = (√3)² + 4 
(m  + 1/m)² = 3 + 4
(m  + 1/m)² = 7
m  + 1/m = √7

m² - 1/m²  = (m  + 1/m)(m  - 1/m)
                   = (√7)(√3)
                    = √21

3x - 2 > 2x - 1 
3x - 2x - 2 > 2x - 1 - 2x
x - 2 > - 1 
x - 2 + 2 > - 1 + 2 
x > 1

x³ - 6x² + 12x - 9 
= x³ - 3.x².2 + 3.x.2² - 2³ - 1
= (x - 2)³ - 1³
= (x - 2 - 1) {(x - 2)² + (x - 2)1 + 1²}
= (x - 3)(x² - 2.x.2 + 2² + x - 2 + 1)
= (x - 3)(x² - 4x + 4 + x - 1)
= (x - 3)(x² - 3x + 3)

মনেকরি,
ভগ্নাংশের লব x 
ভগ্নাংশের হর y 
 ভগ্নাংশটি = x /y 

১ম শর্তমতে,
(x + 5)/y = 2
x + 5 = 2y 
x - 2y = - 5 ...................(1)

২য় শর্তমতে,
x/y - 1 = 1 
x = y - 1
x - y = - 1................(2)

(2)নং - (1)নং ⇒
x - y  - x + 2y = - 1 + 5 
y = 4

(2) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই 
x - 4 = - 1
x = - 1 + 4 
x = 3 

 ভগ্নাংশটি = 3/4

।2x - 7। < 5 
- 5 < 2x - 7 < 5 
- 5 + 7 < 2x - 7 + 7 < 5 + 7
2 < 2x < 12 
2/2 < 2x /2 < 12/2
1 < x < 6 

2x + √2 = 3x  - 4 - 3√2 
2x - 3x = - 4 - 3√2 - √2
- x = - 4 - 4√2
- x = - 4(1 + √2)
x = 4(1 + √2)

3x² + x - 14
3x² + 7x - 6x - 14 
x(3x + 7) - 2(3x + 7)
(3x + 7)(x - 2)

মনেকরি,
দুই স্টেশনের দূরত্ব = x  কি.মি.

প্রশ্নমতে 
(x/25) - (x/ 30) = 10/60
(6x - 5x)/150 = 1/6
x/150 = 1/6
x = 150/6 
x = 25

2(x² - 9) + 9x = 0 
2x² - 18 + 9x =0
2x² + 9x - 18 = 0
2x² + 12x - 3x - 18 = 0
2x(x + 6) - 3(x + 6) = 0
(x + 6) (2x - 3) = 0
হয়                             অথবা 
x + 6 = 0                     2x - 3 = 0
x = - 6                           x = 3/2

4a⁴ - 27a² - 81 
4a⁴ - 36a² + 9a² - 81
4a²(a² - 9) + 9(a² - 9)
= (a² - 9)  (4a² + 9)
= (a² - 3²) (4a² + 9)
= (a + 3)(a - 3)(4a² + 9)

16y² - a² - 6a - 9 
(4y)² - (a² + 2.a.3 + 3²)
(4y)² - (a + 3)²
{4y + (a + 3)}{4y - (a + 3)}
(4y + a + 3)(4y - a - 3)

মনেকরি, 
ভগ্নাংশের লব x 
ভগ্নাংশের হর x + 4

ভগ্নাংশটি = x / x + 4 
ভগ্নাংশটির বর্গ  = x² /(x + 4)²
                         = x²/x² + 8x + 16 

প্রশ্নমতে
x² + 8x + 16  - x² = 40 
8x + 16 = 40
8x = 40 - 16 
8x = 24 
x = 3 

ভগ্নাংশটি = 3/3 + 4 = 3/7 

x² - 11x + 30 < 0
বা, (x - 5)(x - 6) < 0

অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 5 > 0 এবং x - 6 < 0 হয়।
x - 5 > 0
বা, x > 5
x - 6 < 0
বা, x < 6
x > 5 এবং x <6 অর্থাৎ x এর মান 5 এর চেয়ে বড় এবং 6এর চেয়ে ছোট হবে।

অসমতাটি সত্য হবে যদি 5 < x < 6 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 5 < x < 6

আবার,
অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 5 < 0 এবং x - 6 > 0 হয়।
x - 5 < 0
বা, x < 5
x - 6 > 0
বা, x > 6
x < 5 এবং x > 6 অর্থাৎ  5 এর চেয়ে ছোট এবং 6 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।

সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 5 < x < 6

দেয়া আছে,
a + 1 = 2√a
a/√a + 1/√a = 2√a/√a
√a + 1/√a = 2

(√a - 1/√a)² = (√a + 1/√a)² - 4 √a . 1/√a
                     = 2² - 4
                    = 4 - 4
                    = 0

x² - 3x + 2
x² - 2x - x + 2
x(x - 2) - 1(x - 2)
(x - 2)(x - 1)

দেয়া আছে,
(x - 2/x)² = 10

এখন 
(x + 2/x)² = (x - 2/x)² + 4. x. 2/x 
(x + 2/x)²  = 10 + 8 
(x + 2/x)² = 18 
(x + 2/x) = √18 
(x + 2/x) =√(9 × 2)
              = 3√2

দেয়া আছে,
3x - 5y + 9 = 0
5x - 3y - 1 = 0

3x - 5y = - 9....................(1) 
5x - 3y = 1....................(2)

(1) × 3 - (2) × 5 ⇒
9x - 15y - 25x + 15y = - 27 - 5 
- 16x = - 32
x = 2

(2)নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই 
5 × 2 - 3y = 1
10 - 3y = 1
- 3y = 1 - 10
- 3y = - 9 
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y)  =(2, 3)

দেয়া আছে,
a + b = 11
a - b = 7

আমরা জানি,
4ab = (a + b)²  - (a - b)²
4ab = 11² - 7²
4ab = 121 - 49 
4ab = 72
ab = 72/4 
ab = 18

মনেকরি,
একটি সংখ্যা x 
অপর সংখ্যা x + 3 

প্রশ্নমতে,
(x + 3)² + x² = 369 
x² + 2. 3 .x + 3² + x² = 369 
x² + 6x + 9 +x² = 369 
2x² + 6x - 360 = 0
x² + 3x - 180 = 0
x² + 15x - 12x - 180 = 0
x(x + 15) - 12 (x + 15) = 0
(x + 15) (x - 12) = 0

∴ x = 12 

একটি সংখ্যা 12 
অপর সংখ্যা 12 + 3 = 15 

সংখ্যা দুটির সমষ্টি = 15 + 12 = 27