লগ ইননিবন্ধন
পরীক্ষা আর্কাইভ

৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১]

পরীক্ষা৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১]তারিখতারিখ অনির্ধারিতসময়30 minutes২১ বৈধ · ১ অসম্পূর্ণ
মোট প্রশ্ন২২
সিলেবাস
Exam - 5 Topics: 1. Sets of real numbers, Supremum and infimum, the completeness axiom Dedekind’s theorem, The Archimendian property. 2. Convergence of infinite sequences and series of real numbers, Standard theorems and tests of convergence. Absolute convergence. 3. Continuous functions. Intermediate value theorem. Uniform continuity [Source: Class - 5 and Relevant Books]
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১]

৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১] · তারিখ অনির্ধারিত · ২২ প্রশ্ন

১.
If a, b ∈ R then a + b = b + a is -
  1. ক
    Associative law
  2. খ
    Closure law
  3. গ
    Commutative law
  4. ঘ
    Distribution law
সঠিক উত্তর: গ
Commutative law
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
Commutative law
গ
ব্যাখ্যা

২.
Which is correct?
  1. ক
    ।a + b। ≤ ।a। - ।b।
  2. খ
    ।a + b। ≥ ।a। + ।b।
  3. গ
    ।a - b। ≤ ।a। - ।b।
  4. ঘ
    ।a - b। ≥ ।a। - ।b।
সঠিক উত্তর: ঘ
।a - b। ≥ ।a। - ।b।
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
।a - b। ≥ ।a। - ।b।
ঘ
ব্যাখ্যা

If a and b are real numbers then 
​1. ।a - bΙ≥ΙaΙ-ΙbΙ
​2. Ιa+bΙ≤ΙaΙ+ΙbΙ
​3. ΙabΙ=ΙaΙΙbΙ
​4. ΙaΙ=Ι-aΙ

৩.
If x is a positive real number, y is any real number and n is any positive integer then-
  1. ক
    nx < y
  2. খ
    nx > y
  3. গ
    nx = y
  4. ঘ
    xy > n
সঠিক উত্তর: খ
nx > y
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
nx > y
খ
ব্যাখ্যা

Archimedian property: If x is a positive real number and y is any real number , then there exists a positive integer n such that n x>y

৪.
If x is real number, then ΙxΙ ?
  1. ক
    x if x ≥ 0 and - x if x > 0
  2. খ
    x if x ≥ 0 and x if x < 0
  3. গ
    x if x ≤ 0 and - x if x < 0
  4. ঘ
    x if x ≥ 0 and - x if x < 0
সঠিক উত্তর: ঘ
x if x ≥ 0 and - x if x < 0
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
x if x ≥ 0 and - x if x < 0
ঘ
ব্যাখ্যা

 If x is real number, then ΙxΙ = x if x≥0 and -x if x<0

৫.
What is the supremum of 
  1. ক
    √3/4
  2. খ
    √3/5
  3. গ
    √3/2
  4. ঘ
    √3/7
সঠিক উত্তর: গ
√3/2
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
√3/2
গ
ব্যাখ্যা


​The set A is bounded above by √3/2. so sup A=√3/2

৬.
The sequence cn= 1 + (1/n) , n ∈ N is-
  1. ক
    divergent, monotone, bounded, oscillatory and constant
  2. খ
    monotone, bounded, oscillatory and constant
  3. গ
    convergent, oscillatory and constant
  4. ঘ
    convergent, monotone and  bounded
সঠিক উত্তর: ঘ
convergent, monotone and  bounded
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
convergent, monotone and  bounded
ঘ
ব্যাখ্যা


​ 1< n ≤2 ⇒ is bounded and the sequence is a monotonically decreasing 
​sequence as the terms decreases when the value of n increases.
​
​Thus,    n>  is convergent, monotone and  bounded.
​

৭.

  1. ক
    p > 1, p ≥ 1
  2. খ
    p > 1, p < 1
  3. গ
    p > 1, p ≤ 1
  4. ঘ
    p < 1, p ≤ 1
সঠিক উত্তর: গ
p > 1, p ≤ 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
p > 1, p ≤ 1
গ
ব্যাখ্যা


​is covergent when p > 1 and divergent when p ≤ 1

৮.
What will the following sequence be?
​
  1. ক
    convergent
  2. খ
    divergent
  3. গ
    convergent and divergent
  4. ঘ
    non
সঠিক উত্তর: ক
convergent
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
convergent
ক
ব্যাখ্যা

৯.
What will the sequence be? 
​
  1. ক
    Convergent
  2. খ
    divergent
  3. গ
    Convergent & divergent
  4. ঘ
    none
সঠিক উত্তর: ক
Convergent
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
Convergent
ক
ব্যাখ্যা

১০.
When is the following series convergent? 
​
  1. ক
    x > (1/e)
  2. খ
    x < (1/e)
  3. গ
    x ≤ (1/e)
  4. ঘ
    x ≥ (1/e)
সঠিক উত্তর: খ
x < (1/e)
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
x < (1/e)
খ
ব্যাখ্যা

১১.
The geometric series is -
  1. ক
    divergent, when the common ratio - 1 < r < 1
  2. খ
    divergent, when the common ratio r = -1
  3. গ
    divergent, when the common ratio r ≥ 1
  4. ঘ
    divergent, when the common ratio r < -1
সঠিক উত্তর: গ
divergent, when the common ratio r ≥ 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
divergent, when the common ratio r ≥ 1
গ
ব্যাখ্যা

The geometric series is -
​1. convergent, when the common ratio -1< r < 1
​2. divergent, when the common ratio r ≥1
​3. finitely oscillating, when the common ratio r=-1
​4. infinitely oscillating, when the common ratio r<-1

১২.
what will be the infimum of the following set ?
​
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    does not exist 
সঠিক উত্তর: খ
2
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
2
খ
ব্যাখ্যা

১৩.
What will be the supremum of the following set?
​
  1. ক
    1
  2. খ
    0
  3. গ
    2
  4. ঘ
    does not exist
সঠিক উত্তর: ক
1
উত্তর
সঠিক উত্তর: ক
1
ক
ব্যাখ্যা

১৪.
What will be the limit point of the set ?
​
  1. ক
    1
  2. খ
    0
  3. গ
    0,2
  4. ঘ
    0,1
সঠিক উত্তর: ঘ
0,1
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
0,1
ঘ
ব্যাখ্যা

১৫.
What is the function f(x) at x= 0 ? where
  1. ক
    Continuity
  2. খ
    Discontinuity
  3. গ
    simple continuity
  4. ঘ
    ক + গ
সঠিক উত্তর: খ
Discontinuity
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
Discontinuity
খ
ব্যাখ্যা

১৬.
What will be the series Un? where
  1. ক
    divergent
  2. খ
    convergent
  3. গ
    divergent & convergent
  4. ঘ
    none
সঠিক উত্তর: খ
convergent
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
convergent
খ
ব্যাখ্যা

১৭.
Which is Existence of additive inverse law?
  1. ক
    A. ∀a, b ∈ R such that a+ b = b +a
  2. খ
    A. ∀a, b ∈ R, such that ab = ba
  3. গ
    A. ∀a ∈ R, ∃ 0 ∈ R such that a + 0 = 0 + a = a
  4. ঘ
    A. ∀a ∈ R, ∃ 0 ∈ R such that a + 0 = 0 - a = a
অনির্ধারিত
ব্যাখ্যা

 লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নটি ছিলো' Which is Existence of additive inverse law?' কিন্তু
প্রশ্নটি হওয়ার কথা- Which is Existence of additive identity law?
উত্তর: (গ) ∀a ∈ R, ∃ 0 ∈ R such that a + 0 = 0 + a = a
​∀ a∈ R,∃ 0∈R such that a+0=0+a=a  is called Existence of additive identity law 

লাইভ পরীক্ষায় প্রশ্ন ভুল থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো।

১৮.
What is the function f(x) on R? where
  1. ক
    Continuous 
  2. খ
    uniform Continuous
  3. গ
    discontinuous
  4. ঘ
    ক + খ
সঠিক উত্তর: ঘ
ক + খ
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
ক + খ
ঘ
ব্যাখ্যা

১৯.
Which is not correct? when a b c and d ∈ R
  1. ক
    a < b ⇒ ac < bc, when c > 0 and ac > bc when c < 0
  2. খ
    a < b and b < c ⇒ a < c
  3. গ
    a > 0, b > 0 and a < b ⇒ (1/a) < (1/b)
  4. ঘ
    a > 0, b > 0 and a < b ⇒ (1/a) > (1/b)
সঠিক উত্তর: গ
a > 0, b > 0 and a < b ⇒ (1/a) < (1/b)
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
a > 0, b > 0 and a < b ⇒ (1/a) < (1/b)
গ
ব্যাখ্যা
Some axioms (স্বীকার্য )of inequality 
If a b c and d ∈ R then
1.a > 0, b > 0 and a < b ⇒ (1/a) > (1/b)
2.a <b  and c < d  ⇒ a + c < b + d
3.a <b  and b < c  ⇒ a < c
4.a <b  ⇒  a + c< b + c and a - c < b - c
২০.
 If a function f is continuous in the closed interval [a ,b] then f(x) must take at least once all values between f(a) and f(b) is called ?
  1. ক
    Bolzano’s Theorem
  2. খ
    Intermediate value Theorem
  3. গ
    Second kind discontinuity Theorem
  4. ঘ
    none
সঠিক উত্তর: খ
Intermediate value Theorem
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
Intermediate value Theorem
খ
ব্যাখ্যা

 If a function f is continuous in the closed interval [a ,b] then f(x) must take at least once all values between f(a) and f(b) is called Intermediate value theorem

২১.
Which is not correct?
  1. ক
    b + c < a; a > b > c
  2. খ
    2a > b - c ; a > b > c
  3. গ
    2c > a + b; a > b > c
  4. ঘ
    a + b > 2b + c; a > b > c
সঠিক উত্তর: গ
2c > a + b; a > b > c
উত্তর
সঠিক উত্তর: গ
2c > a + b; a > b > c
গ
ব্যাখ্যা

Sln : since a > b > c so, 2c >a +  b is not correct 

২২.
The series of ln(1 + x) is possible-
  1. ক
    x ≤ 1
  2. খ
    x < -1
  3. গ
    - 1 < x < 1
  4. ঘ
    - 1< x ≤ 1
সঠিক উত্তর: ঘ
- 1< x ≤ 1
উত্তর
সঠিক উত্তর: ঘ
- 1< x ≤ 1
ঘ
ব্যাখ্যা