শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 4} = 81 হয়, তবে 3^2x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{x + 4} = 81
⇒ 3^{x + 4} = 3⁴
⇒ x + 4 = 4
⇒ x = 4 - 4
∴ x = 0

∴ 3^2x = 3^{2 × 0}
= 3⁰
= 1

প্রশ্ন: log_ab = 1, log_ac = 2 এবং log_ad = 3 হলে log_a(b³c³/d) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ab = 1 ⇒ a = b
log_ac = 2 ⇒ a² = c
log_ad = 3 ⇒ a³ = d

∴ log_a(b³c³/d) = log_a{a³ ⋅ (a²)³}/a³
= log_aa⁶
= 6log_aa
= 6

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log_x(1/256) = - 4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/243) = - 4
⇒ x^{- 4} = 1/256
⇒ x^{- 4} = 1/4⁴
⇒ x^{- 4} = 4^{- 4}
∴ x = 4

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, 96 ⋅ 4^{3a - 4} = 24 হবে?

সমাধান:
96 ⋅ 4^{3a - 4} = 24
⇒ 96 ⋅ 4^{3a - 4} = 24
⇒ 4^{3a - 4} = 24/96
⇒ 4^{3a - 4} = 1/4
⇒ 4^{3a - 4} = 4^-1
⇒ 3a - 4 = - 1
⇒ 3a = - 1 + 4
⇒ 3a = 3
∴ a = 1

প্রশ্ন: log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

সমাধান:
log₂√6 + log₂√(2/3)
= log₂√(3 ⋅ 2) + log₂√2/√3
= log₂√3 + log₂√2 + log₂√2 - log₂√3
= 2 log₂√2
= 2 log₂2^1/2
= 2 ⋅ (1/2) log₂2
= 1 ⋅ 1
= 1

প্রশ্ন: log(p/q) + logq - logp = log(p + q) হলে,নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান;
log(p/q) + logq - logp = log(p + q)
⇒ log(p/q) + log(q/p) = log (p + q)
⇒ log {(p/q) × (q/p )} = log (p + q)
⇒ log1 = log(p + q)
⇒ p + q = 1
∴ p = 1 - q

প্রশ্ন: 2^{x - 6} = 4a^{x - 8} এবং a > 0, a ≠ 2 হলে, x² এর মান কত?

সমাধান:
2^{x - 6} = 4a^{x - 8}
⇒ 2^{x - 6} = 2² ⋅ a^{x - 8}
⇒ 2^{x - 6}/2² = a^{x - 8}
⇒ 2^{x - 6 - 2} = a^{x - 8}
⇒ 2^{x - 8} = a^{x - 8}
⇒ 2^{x - 8}/a^{x - 8} = 1
⇒ (2/a)^{x - 8} = (2/a)⁰ [∵ (2/a)⁰ = 1]
⇒ x - 8 = 0
⇒ x = 8
∴ x² = 64

প্রশ্ন: ​log_3​log₃​27 এর মান কত?

সমাধান:
​log_3​log₃​27
​= log₃​log₃​3³
= ​log₃ 3​log₃3
= log₃ 3 · 1 [log_aa = 1]
= log₃3
= 1

প্রশ্ন: 4³ × 16² ÷ 8³ = 2^?

সমাধান:
ধরি,
4³ × 16² ÷ 8³ = 2^a
⇒ (2²)³ × (2⁴)² ÷ (2³)³  = 2^a
⇒ 2⁶ × 2⁸ ÷ 2⁹ = 2^a
⇒ 2^{6 + 8 - 9} = 2^a
⇒ 2⁵ = 2^a
∴ a = 5

প্রশ্ন: 6³ + 6³ + 6³ + 6³ + 6³ + 6³ = ?

সমাধান:
6³ + 6³ + 6³ + 6³ + 6³ + 6³
= 6³ (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 6³ × 6
= 6^{3 + 1}
= 6⁴
= 1296

প্রশ্ন: log_x324 = 4 হলে, 1/x এর মান কত?

সমাধান:
log_x324 = 4
⇒ x⁴ = 324
⇒ x⁴ = 81 × 4
⇒ x⁴ = 3⁴ × 2²
⇒ x⁴ = 3⁴ × (√2)⁴
⇒ x⁴ = (3√2)⁴
⇒ x = 3√2
∴ x = 1/3√2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log6 = 0.7781 এবং log3 = 0.4771 হলে, log 18 এর মান কত?

সমাধান:
log18 = log(6 × 3)
= log6 + log3
= 0.7781 + 0.4771
= 1.2552

প্রশ্ন: 3^{p + q} = 243 এবং 3^{p - q} = 27 হলে, √p এর মান কত?

সমাধান:
3^{p + q} = 243
⇒ 3^{p + q} = 3⁵
⇒ p + q = 5

আবার,
3^{p - q} = 27
⇒ 3^{p - q} = 3³
⇒ p - q = 3

তাহলে, p + q + p - q = 5 + 3
⇒ 2p = 8
⇒ p = 4
∴ √p = 2

প্রশ্ন: 3125 এর 5 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
3125 এর 5 ভিত্তিক লগারিদম = log₅3125
= log₅5⁵
= 5 log₅5
= 5 × 1
= 5

প্রশ্ন: √2 = 1.414 হলে,  এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: log_x(9/16) = - 1/2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে 2^{4k - 10} = 1024 হবে?

সমাধান:
 2^{4k - 10} = 1024
⇒ 2^{4k - 10} = 2¹⁰
⇒ 4k - 10 = 10
⇒ 4k = 10 + 10
⇒ k = 20/4
∴ k = 5

প্রশ্ন: log2+ log4 + log8 + .............. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log21 + log2² + log2³ +............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 +  ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log2(1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 10)
= log2{10(10 + 1)/2}
= log2(5 × 11)
= log2 × 55
= 55log2

প্রশ্ন: 1 + [2 - (3^{- 1})^{- 1}]^{- 1} = কত?

সমাধান:
1 + [2 - (3^{- 1})^{- 1}]^{- 1} 
= 1 + [2 - (1/3)^{- 1}]^{- 1}
= 1 + [2 - 3]^{- 1}
= 1 + [- 1]^{- 1}
= 1 + [- 1/1]
= 1 - 1
= 0

প্রশ্ন: log_2√5400 এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
log_2√5400 = p
⇒ (2√5)^p = 400
⇒ (2√5)^p = 2⁴ ⋅ 5²
⇒ (2√5)^p = 2⁴ ⋅ (√5)⁴
⇒ (2√5)^p = (2√5)⁴
⇒ p = 4

∴ log_2√5400 = 4

প্রশ্ন:

সমাধান: