Math Master

এখানে,
f(-1) = 0
∴ (x+1) প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।
এখন,
3x³ + 2x² - 21x - 20
= 3x³ + 3x² - x^{2 -} x - 20x - 20
= 3x² (x+1) - x (x+1) - 20 (x+1)
= (x+1) (3x² - x - 20)

(x+2) (x+3) (x+4) (x+5) - 48
= (x+2) (x+5) (x+3) (x+4) - 48
= (x² + 7x + 10) (x² + 7x + 12) - 48

ধরি,
x² + 7x = a

তাহলে,
(a + 10) (a + 12) - 48
= a² + 12a + 10a +120 - 48
= a² + 22a +72
= a² + 18a + aa + 72
= a(a+18) + a(a+18)
= (a+4) (a+18)
= (x² + 7x + 4) (x² + 7x + 18)

x² - {a + (1/a)}x + 1
= x² - ax - x/a + 1
= x(x - a) - 1/a (x - a)
= (x - 1) (x - 1/a)

 p⁶ − q⁶
= (p³)² − (q³)²
= (p³ − q³) (p³ + q³)
= {(p − q) (p² + pq + q²)} (p³ + q³)
= (p − q)(p² + pq + q²) {(p + q) (p² − pq + q²)}
= (p − q) (p² + pq + q²) (p + q) (p² − pq + q²)

2x⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 2
= 2x⁴ - 2x³ - 3x³ + 3x² + 3x² - 3x -2x + 2
= 2x³(x-1) - 3x²(x-1) + 3x(x-1) - 2(x-1)
= (x-1) (2x³ - 3x² + 3x - 2)

মনে করি,
f(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - a

যেহেতু, (x-2) একটি উৎপাদক, তাই,
f(2) = 0
⇒ 2⁴ - 5(2)³ + 7(2)² - a = 0
⇒ 16 - 40 + 28 - a = 0
∴ a = 4

x² + 2xy - 2y - 1
= x² - (1)² + 2xy - 2y
= (x+1) (x-1) + 2y(x-1)
= (x-1) (x + 2y + 1)

8x³ - 27(x - y)³

= (2x)³ - {3(x-y)}³ 
= (3y - x) (19x² - 24xy + 9y²) [a³ - b³ = (a-b) (a² + ab + b²) ফর্মুলা দিয়ে করলেই হবে।]

(a + b)x² + 2bxy - (a-b)y²
= (a + b)x² + {(a+b) - (a-b)}xy - (a-b)y² 
= (a + b)x² + (a+b)xy - (a-b)xy - (a-b)y² 
= x (a + b) (x + y) - y (a - b) (x + y)
= (x + y) (ax + bx - ay + by)

4a⁴ - 27a2 - 81
= 4a⁴ - 36a² + 9a² - 81
= 4a² (a² - 9) + 9 ( a² - 9)
= (4a² + 9) (a² - 9)
= (a + 3) (a - 3) (4a2 + 9)

(x² - x)² + 3(x² - x) - 40

ধরি,
(x² - x) = a

তাহলে প্রদত্ত রাশি,
a² + 3a - 40
= a² + 8a - 5a - 40
= a (a+8) - 5 (a+8)
= (a+8) (a-5)

a এর মান বসিয়ে,
 (x² - x + 8) (x² - x - 5)

x² - 7x + 6
= x² - 6x - x + 6
= x(x-6) - 1 (x-6)
= (x-6) (x-1)

a³ - 21a - 20
এখানে f(a) = a³ - 21a - 20 ধরে অপশনগুলো থেকে a এর মান নিয়ে সমাধান করাটা সহজ হবে।
সবগুলো অপশন থেকে মান নিয়ে যাচাই করলে দেখা যায় যে, f(-1) = 0 হয়।
অর্থাৎ, (a+1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক হবে।

14(x+z)² - 29 (x+z) (x+1) - 15 (x+1)²

ধরি,
x+z = a
x+1 = b

প্রদত্ত রাশি,
14a² - 29ab - 15b²
= 14a² + 6ab - 35ab - 15b²
= 2a( 7a + 3b) - 5b(7a + 3b)
= (7a + 3b) (2a - 5b)
= (10x + 7z + 3) (2z - 3x - 5) [a ও b এর মান বসিয়ে]

{x² - (1/x²)}²
= {x² + (1/x²)}^{2 -} 4 . x . (1/x)
= 3² - 4
= 5
∴ {x² - (1/x²)} = √5
সুতরাং, {x² - (1/x²)}³ = 5√5

4a² + (1/4a²) - 2 + 4a - (1/a)
= 2a² - 2 . 2a(1/2a) + (1/2a²) + 2{2a - (1/2a)}
= {2a - (1/2a)}² + 2{2a - (1/2a)}
= (2a - 1/2a) (2a - 1/2a + 2)

a³ - 21a - 20
এখানে f(a) = a³ - 21a - 20 ধরে অপশনগুলো থেকে a এর মান নিয়ে সমাধান করাটা সহজ হবে।
সবগুলো অপশন থেকে মান নিয়ে যাচাই করলে দেখা যায় যে, f(-1) = 0 হয়।
অর্থাৎ, (a+1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক হবে।

ধরি,
a-b = x
b-c = y
c-a = z

তাহলে, x + y + z = a - b -b - c + c - a = 0

আমরা জানি যদি, x + y + z = 0 হয় তাহলে,
x³ + y³ + z³ = 3xyz

অর্থাৎ, প্রদত্ত রাশি = 3 (a-b) (b-c) (c-a)
= -3 (c-b) (b-a) (a-c)