সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৩৩। সংখ্যা তিনটির গুণফল কত?

মনেকরি,
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে = ক , ক + ১ এবং ক + ২

শর্তমতে,
⇒ ক + ক + ১ + ক + ২ = ৩৩
⇒ ৩ক + ৩ = ৩৩
⇒ ৩ক = ৩৩ - ৩
⇒ ৩ক = ৩০
∴ ক = ১০

সুতরাং, সংখ্যা তিনটির গুণফল = ১০ × (১০ + ১) × (১০ + ২)
= (১০ × ১১ × ১২)
= ১৩২০

প্রশ্ন: তুহিনের কাছে ৮০টি সবুজ এবং ১০০টি হলুদ মার্বেল আছে। সে সমান সংখ্যক মার্বেলের প্যাকেট তৈরি করতে চায় যাতে প্রতি প্যাকেটে সব সবুজ অথবা সব হলুদ মার্বেল থাকে। সে প্রতি প্যাকেটে সর্বোচ্চ কতটি মার্বেল রাখতে পারবে?

সমাধান:
৮০ ও ১০০ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় সংখ্যা।
৮০ ও ১০০ এর গ.সা.গু = ২০টি

∴ তুহিন প্রতি প্যাকেটে সর্বোচ্চ ২০টি মার্বেল রাখতে পারবে।

প্রশ্ন: কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৮ অংশ স্ত্রীকে, ১/২ অংশ পুত্রকে, ও ১/৪ অংশ মেয়েকে দান করলেন। তাঁর অবশিষ্ট সম্পত্তির মূল্য ২৪,০০০ টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
মোট দান করলেন = (১/৮) + (১/২) + (১/৪) অংশ
= (১ + ৪ + ২)/৮ অংশ
= ৭/৮ অংশ

অবশিষ্ট রইলো = ১ - (৭/৮)অংশ
= (৮ - ৭)/৮ অংশ
= ১/৮ অংশ

১/৮ অংশ সম্পত্তির মূল্য = ২৪,০০০ টাকা
১ বা সম্পূর্ণ অংশ সম্পত্তির মূল্য = (২৪,০০০ × ৮) টাকা = ১৯২,০০০ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৮৯ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ১৮৯
⇒ ক^২+ ২ক + ১ - ক^২ = ১৮৯
⇒ ২ক = ১৮৯ - ১
⇒ ২ক = ১৮৮
⇒  ক = ১৮৮/২
∴ ক = ৯৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = (ক + ১)
= ৯৪ + ১ = ৯৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৬০০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ৮০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৩৬০০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৮০

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৬০০ = ৮০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৩৬০০/৮০
∴ গ.সা.গু = ৪৫

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশ গুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

সমাধান:
৩/৪ = ০·৭৫
৭/৯ = ০·৭৮
৫/৬ = ০·৮৩
৮/১১ = ০·৭৩
৫/৬ > ৭/৯ > ৩/৪ > ৮/১১

∴ ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি হলো ৮/১১।

প্রশ্ন: ০.০০০০১৪৪৪ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
০.০০০০১৪৪৪ এর বর্গমূল = √(০.০০০০১৪৪৪)
= ০.০০৩৮

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ৫ এবং ১০০। একটি সংখ্যা ২৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
২৫ × ক = ৫ × ১০০
⇒ ২৫ক = ৫০০
⇒ ক = ৫০০/২৫
∴ ক = ২০

প্রশ্ন: একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য ১ এবং সমষ্টি ৯ ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের হর = ক 
এবং ভগ্নাংশের লব = ক + ১

প্রশ্নানুসারে,
ক + ক + ১ = ৯
বা, ২ক + ১ = ৯
বা, ২ক = ৯ - ১
⇒ ২ক = ৮
∴ ক = ৪

∴ ভগ্নাংশটি = (৪ + ১)/৩
= ৫/৩

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ২১৪ এবং অন্তরফল ১০ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
∴ ছোট সংখ্যাটি = ক - ১০

প্রশ্নমতে,
ক + (ক - ১০) = ২১৪
⇒ ২ক - ১০ = ২১৪
⇒ ২ক = ২১৪ + ১০
⇒ ২ক = ২২৪
∴ ক = ১১২
∴ বড় সংখ্যাটি = ১১২

∴ ছোট সংখ্যাটি = ক - ১০
= ১১২ - ১০
= ১০২

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে ১ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৮, ১০ ও ১২ এর ল. সা. গু. এর সঙ্গে ১ যোগ করলে নির্ণেয় সংখ্যা পাওয়া যায়।
∴৮, ১০ ও ১২ এর ল. সা. গু. = ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (১২০ + ১)
= ১২১

প্রশ্ন: ৩ এর তিনটি ক্রমিক গুণিতকের যোগফল যদি ৯০ হয় তাহলে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সবচেয়ে ছোট গুণিতকটি = ৩ক
২য় গুণিতকটি = ৩(ক + ১)
৩য় গুণিতকটি = ৩(ক + ২)

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৩(ক + ১) + ৩(ক + ২) = ৯০
⇒ ৩ক + ৩ক + ৩ + ৩ক + ৬ = ৯০
⇒ ৯ক + ৯ = ৯০
⇒ ৯ক = ৯০ - ৯
⇒ ৯ক = ৮১
∴ ক = ৯

∴ সবচেয়ে ছোট গুণিতকটি = (৩ × ৯) = ২৭

প্রশ্ন: x এবং y উভয়ই জোড় সংখ্যা হলে, কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
ধরি,
বিজোড় সংখ্যা দুইটি x = 3 এবং y = 5,
ক) x + y + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 ⇒ বিজোড় সংখ্যা।
খ) xy + 3 = (2 × 4) + 3 = 8 + 3 = 11 ⇒ বিজোড় সংখ্যা।
গ) x + 3y = 2 + (3 × 4) = 14 ⇒ জোড় সংখ্যা।
ঘ) xy + 3 + 2 = 2 × 4 = 9 ⇒ বিজোড় সংখ্যা।

∴ x + 3y জোড় সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৪১, ৫২ ও ৭৪ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২ ও ৪ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৪১ - ১ = ৪০
৫২ - ২ = ৫০
৭৪ - ৪ = ৭০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৪০, ৫০ ও ৭০ এর গ. সা. গু = ১০
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১০

[৫, ১০ দুইটি সংখ্যা দ্বারা ৪১, ৫২ ও ৭৪ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২ ও ৪ ভাগশেষ থাকবে, কিন্তু বৃহত্তম সংখ্যা বলায় উত্তর হবে ১০]

প্রশ্ন: ১-১০০ পর্যন্ত লিখতে '১' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯" সংখাগুলো আছে ২০ বার করে।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "১" সংখ্যাটি আছে ২১ বার।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে "০" আছে ১১ বার।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭২০ থেকে যত বড়ো ১০০০ থেকে তত ছোটো। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৭২০ = ১০০০ - ক
বা, ২ক = ১০০০ + ৭২০
বা, ২ক = ১৪৭০
⇒ ক = ১৪৭০/২
∴ ক = ৮৬০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের গ.সা.গু ৫ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ৩ক
অপর সংখ্যা = ৪ক

সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু = ক
সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু = ১২ক

প্রশ্নমতে,
ক = ৫

∴ সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু = ১২ক
= ১২ × ৫
= ৬০

∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৬০

প্রশ্ন: ০, ১, ৩, ৫ ও ৬ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
০, ১, ৩, ৫ ও ৬ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৬৫৩১০
০, ১, ৩, ৫ ও ৬ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০৩৫৬

∴ বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যোগফল = (৬৫৩১০ - ১০৩৫৬)
= ৫৪৯৫৪

প্রশ্ন: ১০০ থেকে ১৩০ এর মধ্যবর্তী সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মৌলিক সংখার যোগফল কত?

সমাধান:
১০০ থেকে ১৩০ এর মধ্যবর্তী,
সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা = ১২৭
সর্বনিম্ন মৌলিক সংখ্যা = ১০১

∴ পার্থক্য = (১২৭ + ১০১) = ২২৮

প্রশ্ন : ২/৫, ৩/১০ ও ১/৪ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান :
২/৫, ৩/১০ ও ১/৪
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব গুলোর ল.সা.গু / হর গুলোর গ.সা.গু

এখানে,
লব = ২, ৩ ও ১ এর ল.সা.গু = ৬
হর = ৫, ১০ ও ৪ এর গ.সা.গু = ১

∴ ২/৫, ৩/১০ ও ১/৪ এর ল.সা.গু = ৬/১ = ৬

প্রশ্ন: ৪০০ থেকে ৭০০ এর মধ্যে ১১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
৪০০ কে ১১ দ্বারা ভাগ করলে, ভাগফল = ৩৬ [ভাগশেষ = ৪]
৭০০ কে ১১ দ্বারা ভাগ করলে, ভাগফল = ৬৩ [ভাগশেষ = ৭]

∴ ৪০০ থেকে ৭০০ এর মধ্যে ১১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = (৬৩ - ৩৬) টি
= ২৭ টি

প্রশ্ন: ছয়টি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার প্রথম তিনটির যোগফল 36 হলে, শেষ তিনটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ছয়টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যাগুলো হলো x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5

প্রশ্নমতে,
x + x + 1 + x + 2 = 36
⇒ 3x + 3 = 36
⇒ 3x = 36 - 3
⇒ 3x = 33
∴ x = 11

∴ শেষ তিনটির যোগফল = x + 3 + x + 4 + x + 5
= 3x + 12
= (3 × 11) + 12
= 33 + 12
= 45

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৬, ৯, ও ১৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টা গুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৪, ৬, ৯, ও ১৫ এর ল. সা. গু = ১৮০

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ১৮০ সেকেন্ড পর
= (১৮০/৬০) মিনিট পর  [∵ ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট]
= ৩ মিনিট

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব < হর।
∴ প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১।

যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর ছোট তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎঅপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব > হর।
∴ অপ্রকৃত ভগ্নাংশ > ১।

১০/৭ = অপ্রকৃত ভগ্নাংশ
৬/১১ = প্রকৃত ভগ্নাংশ।
২/৫ = প্রকৃত ভগ্নাংশ।
৭/১১ = প্রকৃত ভগ্নাংশ।

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ২১ বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/২) + ৬ = ২ক - ২১
⇒ ৬ + ২১ = ২ক - (ক/২)
⇒ ২৭ = (৪ক - ক)/২
⇒ ২৭ = ৩ক/২
⇒ ৩ক = ২৭ × ২
⇒ ক = (২৭ × ২)/৩
∴ ক = ১৮

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ১২০ এবং গ.সা.গু ৮ হলে, তাদের ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ল.সা.গু = দুইটি সংখ্যার গুণফল/গ.সা.গু
⇒ ল.সা.গু = ১২০/৮
∴ ল.সা.গু = ১৫

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ২০/২১। এদের একটি ৪/৭ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দুটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২০/২১
একটি ভগ্নাংশ = ৪/৭

আমরা জানি,
অপর ভগ্নাংশটি = ভগ্নাংশ দুটির গুণফল ÷ একটি ভগ্নাংশ
∴ অপর ভগ্নাংশটি = (২০/২১)/(৪/৭)
= (২০/২১) × (৭/৪)
= ৫/৩

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ৩ এর বর্গ হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
শর্তমতে,
√ক + ৫ = (৩)^২
⇒ √ক + ৫ = ৯
⇒ √ক = ৯ - ৫
⇒ √ক = ৪
⇒ (√ক)^২ = (৪)^২
∴ ক = ১৬

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করার সময় ১০, ১৫ এবং ২০ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ স্কুলে কমপক্ষে কতজন ছাত্র আছে?

সমাধান:
১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু = ৬০
= (২ × ২) × ৩ × ৫
যা বর্গাকারে সাজানো সম্ভব নয়।

(২ × ২) × ৩ × ৫ কে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে ৩ ও ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ১০, ১৫ এবং ২০ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য স্কুলে ছাত্রদের সংখ্যা হবে
= (২ × ২) × (৩ × ৩) (৫ × ৫) জন
= ৪ × ৯ × ২৫
= ৯০০ জন

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৩ অংশ মাটির নিচে, ১/৪ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ৫ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
খুটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

তাহলে,
মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (১/৩) + (১/৪) × ক অংশ
= (৭ক/১২) অংশ
এবং পানির উপরে আছে = {১ - (৭ক/১২)}
= (৫ক/১২) অংশ

প্রশ্নমতে,
৫ক/১২ = ৫
⇒ ৫ক = ৫ × ১২
⇒ ৫ক = ৬০
∴ ক = ১২