Math Master

প্রশ্ন: A = {x : x, 20 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20} তাহলে B - A = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ}
এখানে, 20 এর গুণনীয়কসমূহ: 1, 2, 4, 5, 10, 20
∴ A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

আবার,
B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
এখানে, 20 পর্যন্ত 5 এর গুণিতকসমূহ: 5, 10, 15, 20
∴ B = {5, 10, 15, 20}

এখন,
B - A  = {5, 10, 15, 20} - {1, 2, 4, 5, 10, 20}
= {15}

নির্ণেয় সেট: {15}

প্রশ্ন: 20 জন ছাত্রের ক্লাস থেকে 2 জন ছাত্রকে কতভাবে নির্বাচন করা যায়? 

সমাধান: 
20 জন ছাত্রের মধ্যে 2 জনকে নির্বাচন করার উপায়, 
20C2
= 20!/2!(20 - 2)!
= (20 × 19 × 18!)/(2  × 18!)
= 190

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৮টি লাল, ৭টি নীল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলো। বলটি লাল নয় এবং সবুজও নয়-এমন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট বল = ৮ + ৭ + ৬ = ২১টি
লাল নয় এবং সবুজও নয় 
অর্থাৎ, শুধু নীল বল। 
∴ নীল বলের সংখ্যা = ৭টি

আমরা জানি, 
সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল

∴ P(নীল বল) = ৭/২১ = ১/৩ ​

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, P = {1, 2, 5} এবং Q = {6, 7} হয়, তবে  P ∩ Q’ = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
P = {1, 2, 5} এবং Q = {6, 7}

এখন, 
Q’ = U - Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {6, 7}
= {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10}

P ∩ Q’ = {1, 2, 5} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10} = {1, 2, 5} = P

∴ P ∩ Q’ = P 

প্রশ্ন: 'LETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'BETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'LETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা:
মোট বর্ণ সংখ্যা: 6টি
পুনরাবৃত্ত বর্ণ:  E এবং T প্রত্যেকে 2 বার করে আছে। 

বিন্যাস সংখ্যা =  6!/(2! × 2!)
= 720/(2 × 2)
= 720/4
= 180

 আবার, 

'BETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা:
মোট বর্ণ সংখ্যা: 6টি
পুনরাবৃত্ত বর্ণ:  E এবং T প্রত্যেকে 2 বার করে আছে। 

বিন্যাস সংখ্যা =  6!/(2! × 2!)
= 720/(2 × 2)
= 720/4
= 180

সুতরাং, 'LETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'BETTER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 180/180 = 1 গুণ। 

প্রশ্ন: দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো।ছক্কায় সংখ্যা দুটির গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৬ × ৬ = ৩৬ 

এখন, 
গুণফল জোড় হওয়ার শর্ত, 
গুণফল জোড় হবে যদি অন্তত একটি সংখ্যা জোড় হয়। (অর্থাৎ, দুটোই বিজোড় হলে গুণফল বিজোড়।)

সুতরাং, দুইটা সংখ্যা বিজোড় হওয়ার ফলাফল = ৩ × ৩ = ৯ ; [বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫ = ৩ টি]

∴ গুণফল জোড় হওয়ার ফলাফল = ৩৬ - ৯ = ২৭ 

∴ P(গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা) = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল
= ২৭/৩৬ 
= ৩/৪ 

সুতরাং, দুটি ছক্কায় প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা ৩/৪।

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 13 < x < 17 এবং x মৌলিক সংখ্যা}, P(A) এর সদস্যা সংখ্যা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {x ∈ N : 13 < x < 17 এবং x মৌলিক সংখ্যা}
অর্থাৎ, যে সকল স্বাভাবিক মৌলিক সংখ্যা 13 অপেক্ষা বড় এবং 17 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট। কিন্তু প্রদত্ত শর্তানুযায়ী 13 অপেক্ষা বড় এবং 17 অপেক্ষা ছোট কোনো মৌলিক সংখ্যা নেই।
∴ Α = Ø
সুতরাং A এর উপাদান n = 0

∴ P(A) সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁰ = 1

প্রশ্ন: তিনজন ভদ্রলোক এবং তিনজন ভদ্রমহিলা দুটি শূন্যপদের জন্য প্রার্থী। একজন ভোটারকে দুজন প্রার্থীর জন্য ভোট দিতে হবে। তাহলে একজন ভোটার কতভাবে ভোট দিতে পারে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ভদ্রলোক (পুরুষ) = ৩ জন
ভদ্রমহিলা (মহিলা) = ৩ জন
মোট প্রার্থী = ৬ জন
ভোট দিতে হবে = ২ জন প্রার্থীকে

মোট উপায় = ^৬C_২ 
= ৬!/২!(৬ - ২)!
= (৬ × ৫ × ৪!) /(২ × ৪!) 
= ১৫ 

অর্থাৎ, একজন ভোটার ১৫ উপায়ে ভোট দিতে পারবে। 

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হল। কমপক্ষে ২টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ২ × ২ × ২ = ৮ টি 

∴ সম্ভাব্য ফলাফলগুলো = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

আবার,
কমপক্ষে ২টি হেড এর অর্থ 
২টি হেড বা ৩টি হেড

 অনুকূল ফলাফল,
৩টি হেড = HHH = ১টি
২টি হেড, HHT, HTH, THH = ৩টি
∴ মোট অনুকূল = ১ + ৩ = ৪টি

P(কমপক্ষে ২টি হেড) = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= ৪/৮ 
= ১/২ 

প্রশ্ন: f(x) = x³ - x - 24 হলে, x এর কোন মানের জন্য  f(x) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
f(x) = x³ - x - 24 
⇒ x³ - x - 24 = 0   ;  [f(x) = 0]
⇒ x³ - 3x² + 3x² - 9x + 8x - 24 = 0 
⇒ x²(x - 3) + 3x(x - 3) + 8(x - 3) = 0
∴ (x - 3)(x² + 3x + 8) = 0
হয়, x - 3 = 0
∴ x = 3
অথবা, x² + 3x + 8 = 0 

অতএব, x = 3 হলে f(x) = 0 হবে।

প্রশ্ন: 'POSTAGE' শব্দটির অক্ষরগুলি কত রকমে সাজানো যায় যেন স্বরবর্নগুলো জোড়াস্থানে থাকে?

সমাধান:
POSTAGE শব্দটিতে 3টি স্বরবর্ণ (O, A, E) এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ (P, S, T, G) আছে।
এখন 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 এই সাতটি স্থানের মধ্যে তিনটি জোড়স্থান (2, 4, 6) রয়েছে।

সুতরাং তিনটি জোড়স্থানে 3 টি স্বরবর্ণ রেখে বাকী 4 টি স্থান 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা পূরণ করা যায়
= 4P4
= 4!
= 24 উপায়ে।

 এবং 3 টি স্বরবর্ণ দ্বারা 3 টি জোড় স্থান পূরণ করা যায়
= 3!
= 6 উপায়ে

সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা
= 24 × 6
= 144 উপায়ে।

প্রশ্ন: যদি P(A) = 1/3, P(B) = 2/5 এবং A ও B স্বাধীন হয়, তাহলে P(A|B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/3
P(B) = 2/5
A ও B স্বাধীন ঘটনা।

আমরা জানি, স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে,
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
এবং শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্র হলো P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

এখন,
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = (1/3) × (2/5)
= 2/15

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = (2/15)/(2/5)
= (2/15) × (5/2)
= 1/3

প্রশ্ন: নিচের চিত্রানুসারে (A ∩ B)^c = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভেনচিত্র হতে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}

এখন, A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5, 6}
= {3, 4}

(A ∩ B)^c = U - (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {3, 4}
= {1, 2, 5, 6}

প্রশ্ন: 16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
অধিনায়ক বাছাই,
16 জন সদস্যের মধ্যে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ¹⁶C₁ = 16

আবার, 
সহঅধিনায়ক বাছাই,
অধিনায়ক বাছাই হয়ে গেলে বাকি সদস্য = 16 - 1 = 15  জন
সহঅধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ¹⁵C₁ = 15

∴ মোট উপায় = 16 × 15 = 240

সুতরাং, 240 ভাবে অধিনায়ক ও সহঅধিনায়ক বাছাই করা যাবে। 

প্রশ্ন: ৭১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
৭১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা = ১০০ - ৭১ + ১ = ৩০ টি সংখ্যা

আবার, 
৭১ থেকে ১০০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো 
৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭

অর্থাৎ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৬ টি

∴ P(মৌলিক) = মৌলিক সংখ্যা​/মোট সংখ্যা
= ৬/৩০ 
= ১/৫ 

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 200 জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে 120 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে, 100 জন ভলিবল খেলা পছন্দ করে এবং 80 জন উভয় খেলা পছন্দ করে। কতজন ছাত্র কোন খেলাই পছন্দ করে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্রিকেট পছন্দ করে = 120 জন
ভলিবল পছন্দ করে = 100 জন
উভয় খেলা পছন্দ করে = 80 জন

∴ শুধু ক্রিকেট পছন্দ করে = 120 - 80 = 40 জন
∴ শুধু ভলিবল পছন্দ করে = 100 - 80 = 20 জন

∴  অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে = 40 + 20 + 80 = 140 জন

∴ কোন খেলাই পছন্দ করে না = 200 - 140 = 60 জন

প্রশ্ন: ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120 হলে, r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120

আমরা জানি, 
ⁿP_r = ⁿC_r × r!
⇒ 720 = 120 × r!
⇒ r! = 720/120
⇒ r! = 6 = 3!
∴ r = 3

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস টানা হলে তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট ঘটনার সংখ্যা = ৫২
মোট টেক্কার অনুকূল ঘটনা = ৪

∴  তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা  = ৪/৫২ = ১/১৩

প্রশ্ন: ২০২৪ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে কোনো শহরে ১৯ দিন বৃষ্টিপাত হয়েছে। ৪ ফেব্রুয়ারি বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০২৪ সাল অধিবর্ষ হওয়ায় ফেব্রুয়ারী মাস = ২৯ দিন 

বৃষ্টিপাত হয়েছে = ১৯ দিন
∴ বৃষ্টিপাত হয়নি = ২৯ - ১৯ = ১০ দিন

∴ ৪ ফেব্রুয়ারী বৃষ্টিপাত না হওয়ার সম্ভাবনা = ১০/২৯ 

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 6, 7, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 6 টি।

4 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= ⁶P₄
= (6!)/(6 - 4)!
= 6!/2!
= 720/2
= 360

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 360 টি।