১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

• Shall I compare thee to a summer’s day?
Thou art more lovely and more temperate.
- এই উদ্ধৃতিটি শেক্সপীয়রের 'Sonnet 18' থেকে নেওয়া হয়েছে, যেখানে কবি তার প্রিয়জনকে গ্রীষ্মকালীন দিনের সাথে তুলনা করছেন। তবে, কবি বলেছেন যে তার প্রিয়জন গ্রীষ্মকালের চেয়েও "more lovely and more temperate". এখানে "temperate" মানে হচ্ছে "শান্ত" বা "মৃদু," যা গ্রীষ্মকালীন দিনের উত্তাপ বা ঝড়ের মতো অসুবিধা থেকে মুক্ত।

• Sonnet 18/ Shall I Compare Thee to a Summer's Day?:
- এটি Shakespeare রচিত।
- এটি একটি Sonnet.
- কবিতাটি শুরু হয় 'Shall I Compare Thee to a Summer's Day?' এই লাইনটি দ্বারা। 
- উইলিয়াম শেকসপিয়ারের সনেট ১৮, "Shall I Compare Thee to a Summer's Day," প্রেমের এক অনন্য সৌন্দর্য ও অমরত্বকে উদযাপন করে।

• শেকসপিয়ারের সনেট ১৮-এ কবি তার প্রিয়জনকে গ্রীষ্মের দিনের সাথে তুলনা করেন। তবে তিনি বলেন, গ্রীষ্মের দিনগুলি কখনো অত্যধিক গরম বা ঝড়ো হতে পারে, এবং তার সময়ও সীমিত। কিন্তু তার প্রিয়জনের সৌন্দর্য চিরকাল স্থায়ী, কারণ এটি কবিতার মাধ্যমে অমর হয়ে থাকবে। কবি বলছেন, প্রিয়জনের সৌন্দর্য কখনো ম্লান হবে না, এবং মৃত্যুও তাকে আক্রমণ করতে পারবে না। যতদিন মানুষ বাঁচবে এবং চোখে দেখা যাবে, এই কবিতা তার সৌন্দর্যকে চিরকাল জীবিত রাখবে।

---------------------

Shall I compare thee to a summer’s day?
Thou art more lovely and more temperate.
Rough winds do shake the darling buds of May,
And summer’s lease hath all too short a date.
Sometime too hot the eye of heaven shines,
And often is his gold complexion dimmed;
And every fair from fair sometime declines,
By chance, or nature’s changing course, untrimmed;
But thy eternal summer shall not fade,
Nor lose possession of that fair thou ow’st,
Nor shall death brag thou wand’rest in his shade,
When in eternal lines to Time thou grow’st.
    So long as men can breathe, or eyes can see,
    So long lives this, and this gives life to thee.

- Sonnet 18/ Shall I Compare Thee to a Summer's Day?
----------------By William Shakespeare.

• Shakespeare:
- তার জন্মস্থান Stratford Avon.
- তিনি একাধারে একজন English poet, dramatist এবং actor.
- তাকে English national poet বলা হয়।
- তাকে 'Bard of Avon' বলা হয়।
- He is considered by many to be the greatest dramatist of all time. 

• Notable works: 
• Tragedy:
- Hamlet,
- Othello,
- King Lear,
- Macbeth,
- Julius Caesar.

• Comedy:
- As You Like It,
- The Tempest,
- Twelfth Night,
- A Midsummer Night's Dream etc.

• Famous poem:
- Shall I Compare Thee to a Summer Day/Sonnet 18,
- The Rape of Lucrece,
- Venus and Adonis.

Source: britannica.com

• Amoretti is a sonnet cycle written by Edmund Spenser in the 16th century. 
- Amoretti was first published in 1595.
- Edmund Spenser belongs to The Elizabethan period.
- তিনি একজন English poet.
- তার long allegorical poem, 'The Faerie Queene' is one of the greatest in the English literature.

• Notable work:
- A View of the Present State of Ireland,
- Amoretti,
- Colin Clouts Come Home Again,
- Complaints,
- The Faerie Queene,
- The Shepheard's Calender.

Source: Britannica.

• Volpone:
- নাটকটির পুরো নাম Volpone; Or, the Fox.
- এটি একটি 5-act drama.
- এটি Ben Jonson লিখিত একটি comedy play.
- এটি 1607 সালে প্রকাশিত হয়।
- It is considered as a Beast Fable.
- Beast fable, মূলত একটি prose/verse fable or short story যাতে সচরাচর একটি moral থাকে।
- Beast Fable এ animals characters গুলোকে মানুষ এর মত উপস্থাপন করা হয় এবং মানুষের এর সকল অনুভূতি এবং উদ্দেশ্যে গুলকেও উপস্থাপন করা হয়।
- Ben Jonson এর Volpone তে বিভিন্ন প্রানীকে মনুষ্য চরিত্র হিসেবে দেখান হয়েছে এবং কেন্দ্রীয় চরিত্র Volpone মূলত একটি fox বা খেঁকশিয়াল।
-  Volpone (“Fox”), a wealthy Venetian without heirs, devises a scheme to become wealthier by playing on people’s greed.

• এটি একটি পাঁচ অঙ্কের হাস্যরসাত্মক নাটক, যা 1605/06 সালে রচিত হয়। নাটকের প্রধান চরিত্র, Volpone, একজন ধনী ভেনিসবাসী যাদের কোনো উত্তরাধিকারী নেই। তিনি মানুষের লোভকে কাজে লাগিয়ে আরও ধনী হওয়ার জন্য একটি ছলনা তৈরি করেন। তার সঙ্গী, Mosca, Volpone এর সাহায্যকারী হিসেবে কাজ করে। Volpone মৃত্যুর অভিনয় করে তিনজন ভাগ্যবান শিকারী থেকে মূল্যবান উপহার গ্রহণ করে, যারা ভেবে বসে যে তারা একমাত্র ভলপোনের উত্তরাধিকারী হতে যাচ্ছে।

• এই নাটকটি মানুষের লোভ এবং প্রতারণার বিরুদ্ধে একটি তীব্র ব্যঙ্গাত্মক সমালোচনা। Volpone এবং Mosca তাদের প্রতারণা দিয়ে চরিত্রগুলোর লোভ ও দুর্নীতিকে প্রকাশ করে এবং শেষ পর্যন্ত তাদের পতন ঘটে।

• Ben Jonson:
- তিনি একজন English writer.
- তিনি একাধারে English Stuart dramatist, lyric poet এবং literary critic.
- তাকে Father of Comedy of Humours বলা হয়।

• Best plays:
- Every Man in His Humour (1598),
- Volpone (1605),
- Epicoene; or, The Silent Woman (1609),
- The Alchemist (1610), and
- Bartholomew Fair (1614).

Source: Britannica

• Francis Bacon is credited with popularizing 'Essays' in English literature.
- তিনি একজন lawyer, statesman, philosopher এবং master of the English tongue.
- ফ্রান্সিস বেকন ইংরেজি সাহিত্যকে সমৃদ্ধ করার জন্য বিশেষভাবে পরিচিত তার "Essay" রচনার মাধ্যমে। 
- এজন্য তাকে প্রায়শই "Father of the English Essay" বলা হয়।
- তিনি ১৫৯৭ সালে তার প্রথম প্রবন্ধ সংকলন "Essays" প্রকাশ করেন। এটি ইংরেজি সাহিত্যের অন্যতম প্রথম সংক্ষিপ্ত গদ্য রচনা হিসেবে পরিচিত।
- বেকনের প্রবন্ধ সংক্ষিপ্ত, সহজ-সরল এবং গভীর ভাবপূর্ণ। তার লেখা প্রবন্ধগুলোতে বাস্তব জীবন, মানব প্রকৃতি, নৈতিকতা এবং ব্যবহারিক জ্ঞান ফুটে ওঠে।

• তার বিখ্যাত কিছু quotes - 
- “Wives are young men’s mistresses; companions for middle age, and old men’s nurses.”
- “Reading maketh a full man; conference a ready man, and writing an exact man.”
- “It is impossible to love and to be wise.”
- “Some books are to be tasted, others to be swallowed, and some few to be chewed and digested.”
- "Wonder is the seed of knowledge."
- "A false friend is more dangerous than an open enemy."
- "Beauty itself is but the sensible image of the Infinite."
- "Silence is the sleep that nourishes wisdom."

Source: Enotes.com and Britannica.

• Coriolanus:
- উইলিয়াম শেকসপিয়ারের 'political tragedy' নামক বিখ্যাত নাটকের মধ্যে শেষটি।
- পাঁচ-অঙ্গের নাটকটি, Gnaeus Marcius Coriolanus-র জীবন নিয়ে ভিত্তি করে, যিনি ৬ষ্ঠ শতকের শেষ ও ৫ম শতকের শুরুতে একটি কিংবদন্তি রোমান নায়ক ছিলেন।

• নাটকের কাহিনি চলে Caius Marcius (পরবর্তীতে Caius Marcius Coriolanus) এর ক্যারিয়ারের বিভিন্ন পর্বের মধ্য দিয়ে। তাকে প্রথমে শান্তিপূর্ণ সময়ে এক অহংকারী যুবা আচার্য হিসেবে, তারপর Corioli শহরের বিরুদ্ধে রক্তাক্ত ও সাহসী যোদ্ধা হিসেবে, পরবর্তী সময়ে একজন বিনম্র বিজয়ী হিসেবে এবং অবশেষে একজন অনিচ্ছুক consul প্রার্থী হিসেবে দেখানো হয়েছে।

• যখন সে রোমান নাগরিকদের প্রশংসা করতে অস্বীকার করে, যাদের প্রতি তার অবজ্ঞা রয়েছে, বা তাদের ভোট জেতার জন্য তার আঘাতের চিহ্ন দেখাতে অস্বীকার করে, তখন তারা তার বিরুদ্ধে হয়ে যায় এবং তাকে বহিষ্কার করে। এতে তিনি অত্যন্ত ক্ষুব্ধ হয়ে তার শত্রু Aufidius-র সাথে, যে একটি Volscian, হাত মেলান এবং রোমের বিরুদ্ধে লড়াইয়ের জন্য প্রস্তুত হন। Coriolanus সাধারণ মানুষের প্রতি তার অবজ্ঞাসূচক মনোভাব ও রাজনৈতিক ব্যবস্থার সাথে তার সংগ্রামের কারণে তার পতন ঘটে। 

• শত্রুরা শহরের প্রান্তে পৌঁছালে, তার মা Volumnia—যিনি সঙ্গে নিয়ে আসেন Coriolanus-র স্ত্রী Virgilia ও তার ছেলে—তার উপর প্রভাব বিস্তার করে রোমের সাথে শান্তি করতে রাজি করান। শেষ পর্যন্ত, তাকে তার Volscian সহযোগীর প্ররোচনায় হত্যা করা হয়।

• Shakespeare:
- তার জন্মস্থান Stratford Avon.
- তিনি একাধারে একজন English poet, dramatist এবং actor.
- তাকে English national poet বলা হয়।
- তাকে 'Bard of Avon' বলা হয়।
- He is considered by many to be the greatest dramatist of all time. 

• Notable works: 
• Tragedy:
- Hamlet,
- Othello,
- King Lear,
- Macbeth,
- Julius Caesar.

• Comedy:
- As You Like It,
- The Tempest,
- Twelfth Night,
- A Midsummer Night's Dream etc.

• Famous poem:
- Shall I Compare Thee to a Summer Day/Sonnet 18,
- The Rape of Lucrece,
- Venus and Adonis.

Source: britannica

• 'Utopia' is a work of fiction and socio-political satire by Sir Thomas More.
- 'Utopia' রচনা করে 'Thomas More' বিখ্যাত হয়ে আছেন।
- এটি রচনার কাল ১৫১৬ খ্রিস্টাব্দ এবং মূলত তিনি 'Utopia' লিখেছেন ল্যাটিন ভাষায়। 
- 'Utopia' গ্রিক অর্থ হচ্ছে কোথাও না -  অর্থাৎ কোথাও কোনোদিন যা ছিল না।
- এর দ্বারা একটি কাল্পনিক দ্বীপকে বোঝানো হয়।
- বইটির কাহিনী দুইটি ভাগে বিভক্ত এবং এর প্রধান বিষয়বস্তু হচ্ছে Humanity.
- Sir Thomas Moore এর এই লেখার উপর ভিত্তি করে পরবর্তী তে সাহিত্যে একটি নতুন genre - Utopian fiction তৈরি হয়েছে।
- Utopia কি একটি satire নাকি tragedy তা নিয়ে বিতর্ক থাকলেও, এটি মূলত satire হিসেবেই ইংরেজি সাহিত্যে সুপরিচিত।

• Thomas More:
- English humanist and statesman.
- রাজা অষ্টম হেনরিকে চার্চ অফ ইংল্যান্ডের প্রধান হিসেবে মেনে নিতে অস্বীকার করার কারণে তার শিরশ্ছেদ করা হয়েছিল।
- তিনি রোমান ক্যাথলিক চার্চ দ্বারা একজন সাধু বা saint হিসাবে স্বীকৃত।

• Some other famous works of Thomas More: 
- The Life of Pico della Mirandola.
- The History of King Richard the Third.
- The Four Last Things.

Source: ইংরেজি সাহিত্যের ইতিহাস , ড. শীতল ঘোষ and Live MCQ Lecture.

• John Webster created the characters "Bosola, Ferdinand & Cariola".

• The Duchess of Malfi
- এটি একটি 5 acts বিশিষ্ট tragedy play যা Revenge Tragedy/ Tragedy of Suffering হিসেবে পরিচিত।
- এটি ১৬১৩-১৪ সালে লেখা এবং ১৬২৩ সালে প্রকাশিত হয়। 
- The Duchess of Malfi tells the story of the spirited duchess and her love for her trustworthy steward Antonio.
- তার দুই ভাই Ferdinand (ক্যালাব্রিয়ার ডিউক) এবং Cardinal বিরোধিতা সত্ত্বেও তারা গোপনে বিয়ে করে।
- পরবর্তীতে তাদের তিনটি সন্তান জন্ম নেয়  কিন্তু জিজ্ঞাসাবাদের মুখে তিনি কখনো তাঁর ভাইদের কাছে তাঁর বাচ্চাদের নাম বলেন নি।
- Duchess এর ভাইয়েরা সকল খবর বের করার জন্য তার বিরুদ্ধে Bosola নামক একজন গোয়েন্দা ( Bosola) নিযুক্ত করে।
-  Bosola বিভিন্ন কৌশলে Dutchess এর কাছ থেকে তাড় স্বামি সন্তানদের খবর জেনে তার ভাইদেরকে বলে দেয় এবং তাদের আদেশে এদেরকে গ্রেফতার করতে যায়।
- নাটকের শেষে দেখা যায় সবাই মারা গিয়েছে কেবল মাত্র Dutchess এর বড় সন্তানটি ছাড়া যে কিনা পরবর্তীতে Malfi এর শাসক হয়।
- Webster’s The Duchess of Malfi কে সচরাচর last great tragedy of the Elizabethan and Jacobean eras হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

• Major Characters: 
- Bosola,
- The Duchess,
- Ferdinand,
-Cardinal,
- Antonio,
- Delio,
- Cariola,
- Julia, etc.

• John Webster: 
- তিনি একজন English Dramatist. 
- তাঁর জন্ম ১৫৮০ সালে এবং ১৬৩২ সালে তিনি মৃত্যুবরণ করেন। 
- তিনি Jacobean যুগের একজন সাহিত্যিক। 

• Famous characters of John Webster's another famous creation "The White Devils":
- Vittoria Corombona,
- Duke Bracciano,
- Flamineo,
- Cornelia,
- Isabella,
- Francisco de Medici,
- Lodovico,
- Marcello,
- Giovanni,
- Zanche, etc.

Source: Ab ABC of English Literature by Dr M Mofizar Rahman and Britannica.

প্রশ্ন: 7 + p + q + 448 + .......... একটি গুণোত্তর ধারা হলে (p, q) = কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ ৪র্থ পদ, ar^{4 - 1} = 448
⇒ 7 · r³ = 448
⇒ r³ = 448/7
⇒ r³ = 64
⇒ r³ = 4³
∴ r = 4

২য় পদ, p = ar^{2 - 1} = ar = 7 × 4 = 28
৩য় পদ, q = ar^{3 - 1} = ar² = 7 × 4² = 7 × 16 = 112
∴ (p, q) = (28, 112)

প্রশ্ন: 13 + 10 + 7 + ...... ধারাটির কোন পদ - 5?

সমাধান:
১ম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 13 = - 3
n তম পদ = - 5

∴ n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ - 5 = 13 + (n - 1) · (- 3)
⇒ - 5 = 13 - 3n + 3
⇒ - 5 = 16 - 3n
⇒ - 5 - 16 = - 3n
⇒ - 21 = - 3n
⇒ 21 =  3n
∴ n = 7

প্রশ্ন: 8^{(x + 5)} = 64^{(5x - 6)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
8^{(x + 5)} = 64^{(5x - 6)}
⇒ 8^{(x + 5)} = (8²)^{(5x - 6)}
⇒ 8^{(x + 5)} = 8^{(10x - 12)}
⇒ x + 5 = 10x - 12
⇒ x - 10x = -12 - 5
⇒ - 9x = - 17
⇒ 9x = 17
⇒ x = 17/9

প্রশ্ন: (1/9) + (1/9²) + (1/9³) + ........ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, ১ম পদ, a = 1/9
সাধারণ অনুপাত, r = (1/9²) ÷ (1/9)
= (1/9²) × (9/1)
= 1/9

∴ S_∞ = a/(1 - r) [যেহেতু r < 1]
= (1/9)/{1 - (1/9)}
= (1/9)/(8/9)
= (1/9) × (9/8)
= 1/8

প্রশ্ন: log_x4 + log_x8 + log_x16 + log_x32 = 14 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x4 + log_x8 + log_x16 + log_x32 = 14
⇒ log_x(4 × 8 × 16 × 32) = 14
⇒ log_x(2² × 2³ × 2⁴ × 2⁵) = 14
⇒ log_x(2¹⁴) = 14
⇒ 14 log_x2 = 14
⇒ log_x2 = 1
∴ x = 2

প্রশ্ন: সিহাব একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 9টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 18টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 36টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে 7 দিনে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 9, 18, 36, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 9
অনুপাত, r = 18/9 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 9 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 9 × 127
= 1143

∴ সিহাব 7 দিনে মোট 1143 টি পণ্য তৈরি করবে।

প্রশ্ন: log_0.10.001 + log_3√7189√7 = ?

সমাধান:
log_0.10.001 + log_3√7189√7
= log_0.1(0.1)³ + log_3√7(3√7)³
= 3 + 3
= 6

প্রশ্ন: 5 + 5√3 + 15 + 15√3 + .......... ধারাটির কোন পদ 1215 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ
= 5√3/5 = √3
১ম পদ a = 5
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 1215
⇒ 5 × (√3)^{n - 1} = 1215
⇒ (√3)^{n - 1} = 243
⇒ (3^1/2)^{n - 1} = 3⁵
⇒ 3^{(n - 1)/2} = 3⁵
⇒ (n - 1)/2 = 5
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
⇒ n = 11

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ..............+ 84 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 84
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1 = 1

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (84/2){2 · 1 + (84 - 1) · 1}
= 42(2 + 83)
= 42 × 85
= 3570

প্রশ্ন: 7 থেকে 77 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/(সাধারণ অন্তর) + 1}
= {(77 - 7)/(1) + 1}
= 70 + 1
= 71

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/2} × পদসংখ্যা
= {(77 + 7)/2} × 71
= (84/2) × 71
= 42 × 71
= 2982

প্রশ্ন: log₄[log₄(log₄x)] = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log₄[log₄(log₄x)] = 1
⇒ log₄(log₄x) = 4¹
⇒ log₄(log₄x) = 4
⇒ log₄x = 4⁴
⇒ log₄x = 256
⇒ x = 4²⁵⁶

প্রশ্ন: 8 + 16 + 32 + 64 .................. ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 8184 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 8
সাধারণ অনুপাত, r = 16/8 = 2 >1

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 8184
⇒ a{(rⁿ - 1)/(r - 1)} = 8184
⇒ 8 × {(2ⁿ - 1)/(2 - 1)} = 8184
⇒ 2ⁿ - 1 = 8184/8
⇒ 2ⁿ = 1023 + 1
⇒ 2ⁿ = 1024
⇒ 2ⁿ = 2¹⁰
∴ n = 10

প্রশ্ন: 9^x × 2²⁰ = (3 × 2)²⁰ হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
9^x × 2²⁰ = (3 × 2)²⁰
⇒ (3²)^x × 2²⁰ = 3²⁰ × 2²⁰
⇒ 3^2x × 2²⁰ = 3²⁰ × 2²⁰
⇒ 3^2x = 3²⁰
⇒ 2x = 20
⇒ x = 20/2
∴ x = 10

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমের ১ম পদ 2 এবং ২য় পদ 8 হলে অনুক্রমটির ১ম 20টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 2 = 6
এবং পদ সংখ্যা, n = 12

∴ সুতরাং, 20টি পদের সমষ্টি = (20/2){2 × 2 + (20 - 1)6}
= 10{4 + (19 × 6)}
= 10(4 + 114)
= 10 × 118
= 1180

প্রশ্ন: log_x(1/196) = - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/196) = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/196
⇒ 1/x² = 1/196
⇒ x² = 196
⇒ x² = 14²
∴ x = 14

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদটি 81 এবং ষষ্ঠ পদটি 2187 হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^{(n - 1)}
সুতরাং, তৃতীয় পদ = aq^{(3 - 1)} = aq² = 81
∴ a = 81/q² ......... (i)

আবার, ষষ্ঠ পদ = aq^{(6 - 1)} = aq⁵ = (81/q²)q⁵ = 81q³

প্রশ্নমতে,
81q³ = 2187
⇒ q³ = 2187/81
⇒ q³ = 27
⇒ q³ = 3³
∴ q = 3

সুতরাং, প্রথম পদ = 81/(3)²
= 81/9
= 9

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + .............. ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ............... + প্রথম আটটি পদের সমষ্টি
= log3¹ + log3² + log3³ +............... + প্রথম আটটি পদের সমষ্টি
= 1 log3+ 2 log3 + 3 log3 + ............... + প্রথম আটটি পদের সমষ্টি
= log3 (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 8)
= log3 {8(8 + 1)/2}
= log3 (4 × 9)
= log3 × 36
= 36 log3

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ……… + 15³ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {15(15 + 1)/2}²
= {(15 · 16)/2}²
= (240/2)²
= (120)
= 14400

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 7 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n = 5
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1
= 1/2 ;যা 1 থেকে ছোট

∴ 7 টি পদের সমষ্টি = a × {(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= 1 × [{1 - (1/2)⁷}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/128)}/{1 - (1/2)}
= {(128 - 1)/128}/{(2 - 1)/2}
= (127/128)/(1/2)
= (127/128) × (2/1)
= 127/64

প্রশ্ন: 5 + 20 + 80 + … গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 5120 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 20/5 = 4

ধরি,
n তম পদ = 5120
⇒ ar^{n - 1} = 5120
⇒ 5 × 4^{n - 1} = 5120
⇒ 4^{n - 1} = 1024
⇒ 4^{n - 1} = 4⁵
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1
⇒ n = 6

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 6 এবং তৃতীয় পদটি 30 হলে অষ্টম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
তৃতীয় পদ = 30
∴ a + (3 - 1) × 6 = 30
⇒ a + 2 × 6 = 30
⇒ a + 12 = 30
⇒ a = 30 - 12
⇒ a = 18

∴ অষ্টম পদ = 18 + (8 - 1) ×‌ 6
= 18 + 7 ×‌ 6
= 18 + 42
= 60

প্রশ্ন: 5 + (5/3) + (5/9) + .....................ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 5
২য় পদ = 5/3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (5/3)/5
= (5/3) × (1/5)
= 1/3