১.
A = {2, 3} এবং B = {3, 7} হলে P(A) ∩ P(B) = ?
ব্যাখ্যা
P(A) = {{∅, {2}, {3}, {2, 3}}
P(A) = {{∅, {3}, {7}, {3, 7}}
∴ P(A) ∩ P(B) = {∅, {3}}
P(A) = {{∅, {3}, {7}, {3, 7}}
∴ P(A) ∩ P(B) = {∅, {3}}
১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি
মোট প্রশ্ন২৮
সিলেবাস
সেট, বিন্যাস ও সমাবেশ, পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা।
সোর্সঃ যেকোনো গাইড বই, ষষ্ঠ থেকে SSC বোর্ড বই।
১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি
১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি · তারিখ অনির্ধারিত · ২৮ প্রশ্ন
২.
A = {1, 2, 3} এবং B = {1, 3} হলে -
ব্যাখ্যা
A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3)}
B × B = {(1, 1), (1, 3), (3, 1) (3, 3)}
∴ A × A ⊂ B × B.
B × B = {(1, 1), (1, 3), (3, 1) (3, 3)}
∴ A × A ⊂ B × B.
৩.
একটা ক্লাসের ৫০ জন ছাত্রছাত্রীর ১৮ জন মিউজিক, ২৬ জন আর্ট এবং ২ জন উভয় বিষয় নিয়েছে। কতজন শিক্ষার্থী এই দু’টোর একটিও নেয় নি?
ব্যাখ্যা
মিউজিক নিয়েছে n(A) = ১৮ জন, আর্ট নিয়েছে n(B) = ২৬ জন
উভয় বিষয় নিয়েছে n(A∩B) = ২ জন
∴ যেকোনো একটি নিয়েছে n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
= ১৮ + ২৬ - ২
= ৪২ জন
∴ দু’টোর একটিও নেয়নি = ৫০ - ৪২
= ৮ জন।
উভয় বিষয় নিয়েছে n(A∩B) = ২ জন
∴ যেকোনো একটি নিয়েছে n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
= ১৮ + ২৬ - ২
= ৪২ জন
∴ দু’টোর একটিও নেয়নি = ৫০ - ৪২
= ৮ জন।
৪.
একটি আবাসিক এলাকায় ৯০% লোকের একটি গাড়ি আছে। ১৫% লোকের একটি মোটর সাইকেল আছে। প্রত্যেকের একটি গাড়ি অথবা একটি মোটর সাইকেল অথবা উভয়ই আছে। কত শতাংশ গাড়ি মালিকের মোটর সাইকেল আছে?
ব্যাখ্যা
গাড়ি অথবা মোটর সাইকেল আছে = (৯০ + ১৫) = ১০৫%
∴ উভয় বাহন আছে = (১০৫ - ১০০)% = ৫%
∴ মোটর সাইকেল থাকা গাড়ি মালিকের হার = ((৫ × ১০০)/৯০)% = ৫.৫৬%
∴ উভয় বাহন আছে = (১০৫ - ১০০)% = ৫%
∴ মোটর সাইকেল থাকা গাড়ি মালিকের হার = ((৫ × ১০০)/৯০)% = ৫.৫৬%
৫.
n(A) = 30, n(B) = 54 এবং n(A∩B) = ২৩ হলে n(A-B) = ?
ব্যাখ্যা
n(A) = 30
∴ n(A-B) = n(A) - n(A∩B)
= 30 - 23
= 7
∴ n(A-B) = n(A) - n(A∩B)
= 30 - 23
= 7
৬.
চিত্রে, n(A) = 92, n(B) = 93
n(A∩B) = 65, n(S) = 127
তাহলে, n(A′∩B′) = ?
n(A∩B) = 65, n(S) = 127
তাহলে, n(A′∩B′) = ?
ব্যাখ্যা
n(A′∩B′) = n(A∩B)′ = n(S) - n(A∪B)
= n(s) - {n(A) + n(B) - n(A∩B)}
= 127 - (92 + 93 - 65)
= 127 - 120
= 7
= n(s) - {n(A) + n(B) - n(A∩B)}
= 127 - (92 + 93 - 65)
= 127 - 120
= 7
৭.
২, ৪, ৮, ৬, ৯ এই অংকগুলো দ্বারা ৪ অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়?
ব্যাখ্যা
৫টি অংক হতে প্রতিবার ৪টি করে নিয়ে গঠিত সংখ্যা = ৫P৪ = ১২০।
৮.
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5 অংকগুলো দিয়ে সাত অংক বিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে?
ব্যাখ্যা
7!/(2!3!)
= 5040/12
= 420
= 5040/12
= 420
৯.
JOEBIDEN শব্দের বর্ণগুলোর সবগুলো একত্রে নিয়ে কত উপায়ে সাজানো যায়, যেন ১ম ও শেষ অক্ষর E থাকে?
ব্যাখ্যা
শব্দটিতে মোট 8টি বর্ণ আছে, যাদের মধ্যে ২টি E।
১ম এবং শেষ E নির্দিষ্ট রেখে অবশিষ্ট বর্ণগুলো সাজানো যায় 6! = 720 উপায়ে
১ম এবং শেষ E নির্দিষ্ট রেখে অবশিষ্ট বর্ণগুলো সাজানো যায় 6! = 720 উপায়ে
১০.
SINOVAC শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা, VACCINE শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?
ব্যাখ্যা
SINOVAC শব্দে 7 টি বিভিন্ন অক্ষর আছে যাদেরকে সাজানোর উপায় 7!
VACCINE শব্দে 7 টি বর্ণ আছে যাদের ২টি C সুতরাং এক্ষেত্রে সাজানোর উপায় 7!/2!
∴ ১ম বিন্যাস/২য় বিন্যাস = 7! × 2!/7!
= 2!
= 2
VACCINE শব্দে 7 টি বর্ণ আছে যাদের ২টি C সুতরাং এক্ষেত্রে সাজানোর উপায় 7!/2!
∴ ১ম বিন্যাস/২য় বিন্যাস = 7! × 2!/7!
= 2!
= 2
১১.
৫, ১, ৯, ৪ অংকগুলি দ্বারা ৫০০০ এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরী করা যায়?
ব্যাখ্যা
এক্ষেত্রে,
সংখ্যার ১ম অংকটি ৫ বা ৯ দ্বারা পূর্ণ করতে হবে। যা ২ উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট ৩টি অংক পূর্ণ করা যায় ৩! = ৬ উপায়ে
সুতরাং তৈরী সংখ্যা = ২ × ৬ = ১২টি।
১২.
একটি মিটিংয়ে উপস্থিত ৭ জন সদস্য প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলে, মোট করমর্দনের সংখ্যা -
ব্যাখ্যা
একটি করমর্দন ২ জনের সমাবেশ থেকে সংগঠিত হয়।
সুতরাং মোট করমর্দন = ৭C২ = ২১
সুতরাং মোট করমর্দন = ৭C২ = ২১
১৩.
৪ জন কর্মকর্তা এবং ৬ জন কর্মচারীর মধ্য থেকে ৪ জনের কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যায় যাতে ১ জন বিশেষ কর্মকর্তা সর্বদা বিদ্যমান থাকে?
ব্যাখ্যা
মোট সদস্য = ৪+৬ = ১০
গঠিত কমিটির সদস্য = ৪
∴ কমিটি গঠনের উপায় = ১০-১C৪-১
= ৯C৩
= ৮৪
গঠিত কমিটির সদস্য = ৪
∴ কমিটি গঠনের উপায় = ১০-১C৪-১
= ৯C৩
= ৮৪
১৪.
6 টি গণিতের এবং 6 টি পদার্থের বই থেকে 5 টি বই কত উপায়ে বাচাই করা যায় যেখানে গণিতের 3 টি বই থাকবে এবং বাকীগুলো পদার্থ বিজ্ঞানের বই।
ব্যাখ্যা
6 টি গণিতের বই থেকে 3 টি বাছাই করা যায় = 6C3 = 20 উপায়ে
6 টি পদার্থবিজ্ঞানের বই থেকে 2 টি বাছাই করা যায় = 6C2 = 15 উপায়ে
∴ 5 টি বই বাছাইয়ের উপায় = 20×15 = 300
6 টি পদার্থবিজ্ঞানের বই থেকে 2 টি বাছাই করা যায় = 6C2 = 15 উপায়ে
∴ 5 টি বই বাছাইয়ের উপায় = 20×15 = 300
১৫.
৬৩ বাহু বিশিষ্ট বহুভূজের কয়টি কর্ণ আছে?
ব্যাখ্যা
কর্ণের সংখ্যা = ৬৩C২ - ৬৩
= ১৯৫৩ - ৬৩
= ১৮৯০
= ১৯৫৩ - ৬৩
= ১৮৯০
১৬.
1m, 2m, 3m, 4m দৈর্ঘ্যের বাহু দ্বারা কয়টি ত্রিভুজ গঠন করা যায়?
ব্যাখ্যা
4টি বাহু থেকে প্রতিবার 3টি বাহু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজ সংখ্যা = 4C3 = 4টি
কিন্তু {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4} সমাবেশ ত্রিভুজ গঠন করেনা। [যেহেতু, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।]
∴ মোট ত্রিভুজ = 4 - 3 = 1টি
১৭.
১০০ জন ছাত্রের মতামত অনুসারে ৪০ জন কবিতা পড়ে না, ২০ জন উপন্যাস পড়ে না। ১০ জন কোনটাই পড়ে না। একজন ছাত্রকে নির্বিচারে নেওয়া হলে সে কবিতা পড়ে কিন্তু উপন্যাস না পড়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
P(K) = ৪০/১০০
P(N) = ২০/১০০
P(K∩N) = ১০/১০০
∴ শুধু কবিতা পড়ার সম্ভাবনা = P(K) - P(K∩N)
= ৩০/১০০
= ৩/১০
P(N) = ২০/১০০
P(K∩N) = ১০/১০০
∴ শুধু কবিতা পড়ার সম্ভাবনা = P(K) - P(K∩N)
= ৩০/১০০
= ৩/১০
১৮.
কালামের বাড়ি থেকে অফিসে যাওয়ার পাঁচটি পথ আছে সে কতভাবে বাড়ি থেকে অফিসে গিয়ে আবার বাড়ির ফিরে আসতে পারে?
ব্যাখ্যা
অফিসে যাওয়ার উপায় = ৫
অফিস থেকে ফেরার উপায় = ৫
∴ গণনার গুণন বিধি অনুসারে অফিসে গিয়ে আবার ফিরে আসার উপায় = ৫×৫ = ২৫
অফিস থেকে ফেরার উপায় = ৫
∴ গণনার গুণন বিধি অনুসারে অফিসে গিয়ে আবার ফিরে আসার উপায় = ৫×৫ = ২৫
১৯.
৬, ৮, ১০ এর গাণিতিক গড় ৭, ৯ এবং কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?
ব্যাখ্যা
(৬+৮+১০)/৩ = (x+৭+৯)/৩ [সংখ্যাটি x ধরে নেই]
বা, ২৪ - ১৬ = x
∴ x = ৮
বা, ২৪ - ১৬ = x
∴ x = ৮
২০.
দু’টি সংখ্যার অন্তরফল ২ এবং গুণফল ১৫ হলে সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্নমতে,
x - y = 2
xy = 15
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
= 22 + 60
= 64
∴ x + y = 8
তাহলে, গড় = 8 / 2 = 4
২১.
২, ৫, ৯, ১০, ৪, a সংখ্যাগুলোর মধ্যক ৬ হলে a এর মান কত?
ব্যাখ্যা
উপাত্তগুলো = ২, ৫, ৯, ১০, ৪, a মোট ৬টি
মানের ক্রমানুসারে সাজালে = ২, ৪, ৫, ৯, ১০ এবং a
∴ মধ্যক ৬ = (৫ + অন্য একটি সংখ্যা)/২
এখানে a ছাড়া অন্য কোনটা ধরলে মধ্যক ৬ হয় না। সুতরাং ধরে নেয়া যায় যে সংখ্যাটি a হবে।
∴ (৫+a)/২ = ৬
বা, ৫+a = ১২
∴ a = ৭
২২.
১৫, ৫, ৭, ১২, ১৩, ৭, ২ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক কত?
ব্যাখ্যা
এখানে ৭ সংখ্যাটি একাধিকবার আছে।
সুতরাং প্রচুরক = ৭
সুতরাং প্রচুরক = ৭
২৩.
N-1 থেকে শুরু করে তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?
ব্যাখ্যা
n-1 থেকে শুরু করে তিনটি ক্রমিক সংখ্যা = n-1, n, n+1
∴ গড় = ((n-1) + n +n (n+1))/3 - n
∴ গড় = ((n-1) + n +n (n+1))/3 - n
২৪.
একটি চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা ১/৫ হলে, চাকরিটি পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
চাকরিটি না পাওয়ার সম্ভাবনা ১/৫
∴ চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৫) = ৪/৫
∴ চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৫) = ৪/৫
২৫.
একটি ব্যাগে ১৫টি কলম, ২৫টি পেন্সিল এবং ২০টি রাবার আছে। দৈবভাবে একটি উঠালে জিনিসটি কলম বা রাবার হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
ব্যাগে, কলম সংখ্যা = ১৫টি
পেন্সিল সংখ্যা = ২৫টি
রাবার সংখ্যা = ২০টি
মোট = ১৫ + ২৫ + ২০ = ৬০
∴ কলম অথবা রাবার আছে = ১৫+২০ = ৩৫
∴ কলবা অথবা রাবার হওয়ার সম্ভাবনা = ৩৫/৬০ = ৭/১২
পেন্সিল সংখ্যা = ২৫টি
রাবার সংখ্যা = ২০টি
মোট = ১৫ + ২৫ + ২০ = ৬০
∴ কলম অথবা রাবার আছে = ১৫+২০ = ৩৫
∴ কলবা অথবা রাবার হওয়ার সম্ভাবনা = ৩৫/৬০ = ৭/১২
২৬.
একটি পাত্রে ৩টি সাদা, ৪টি লাল এবং ২টি সবুজ বল আছে। নিরপেক্ষভাবে ২টি বল নেওয়া হলে বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
মোট বল = ৩ + ৪ + ২ = ৯টি
∴ ২টি বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ৩C২/৯C২ = ৩/৩৬
∴ ২টি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৪C২/৯C২ = ৬/৩৬
∴ ২টি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ২C২/৯C২ = ১/৩৬
∴ বলদ্বয়ের একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = ৩/৩৬ + ৬/৩৬ + ১/৩৬
= ১০/৩৬
= ৫/১৮
∴ ২টি বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ৩C২/৯C২ = ৩/৩৬
∴ ২টি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৪C২/৯C২ = ৬/৩৬
∴ ২টি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ২C২/৯C২ = ১/৩৬
∴ বলদ্বয়ের একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = ৩/৩৬ + ৬/৩৬ + ১/৩৬
= ১০/৩৬
= ৫/১৮
২৭.
১-১৫ সংখ্যা গুলো থেকে একটিকে নির্বাচন করলে তা মৌলিক বা জোড় বা ৩ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
১-১৫ এর মধ্যে মোট সংখ্যা = ১৫টি
১-১৫ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা = {২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩} = ৬টি
১-১৫ এর মধ্যে জোড়া বা ২ এর গুণিতক = {২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪} = ৭টি
১-১৫ এর মধ্যে জোড়া বা ৩ এর গুণিতক = {৩, ৬, ৯, ১২, ১৫} = ৫টি
∴ মৌলিক বা জোড় বা ৩ এর গুণিতক এরূপ সংখ্যা = {২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫} = ১৪টি
∴ সম্ভাবনা = ১৪/১৫
১-১৫ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা = {২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩} = ৬টি
১-১৫ এর মধ্যে জোড়া বা ২ এর গুণিতক = {২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪} = ৭টি
১-১৫ এর মধ্যে জোড়া বা ৩ এর গুণিতক = {৩, ৬, ৯, ১২, ১৫} = ৫টি
∴ মৌলিক বা জোড় বা ৩ এর গুণিতক এরূপ সংখ্যা = {২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫} = ১৪টি
∴ সম্ভাবনা = ১৪/১৫
২৮.
১ প্যাকেট তাস হতে হরতনের রাজা এবং টেক্কা সরিয়ে রেখে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস নেয়া হলো, তাসটি কালো টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
মোট তাস = ৫২-২ - ৫০টি
কালো টেক্কা = ২টি
∴ সম্ভাবনা - ২/৫০
= ১/২৫
কালো টেক্কা = ২টি
∴ সম্ভাবনা - ২/৫০
= ১/২৫