IBA ফ্যাকাল্টি ভিত্তিক মডেল টেস্ট

প্রশ্ন: মা ও মেয়ের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৭ : ২। ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে ৮ : ৩। ১০ বছর পর মেয়ের বয়স কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
মায়ের বর্তমান বয়স = ৭ক বছর
মেয়ের বর্তমান বয়স = ২ক বছর

৫ বছর পর,
মায়ের বয়স হবে = ৭ক + ৫
মেয়ের বয়স হবে = ২ক + ৫

প্রশ্নানুসারে,
(৭ক + ৫)/(২ক + ৫) = ৮/৩
⇒ ৩(৭ক + ৫) = ৮(২ক + ৫)
⇒ ২১ক + ১৫ = ১৬ক + ৪০
⇒ ২১ক - ১৬ক = ৪০ - ১৫
⇒ ৫ক = ২৫
∴ ক = ৫

∴ মেয়ের বর্তমান বয়স = ২ক = ২ × ৫ = ১০ বছর
∴ ১০ বছর পর মেয়ের বয়স = ১০ + ১০ = ২০ বছর

প্রশ্ন: একটি দৌড় প্রতিযোগিতায় A এবং B এর গতিবেগের অনুপাত 3 : 4। গন্তব্যে পৌঁছাতে A এর চেয়ে B এর সময় 30 মিনিট কম লাগে। তাহলে A গন্তব্যে পৌঁছাতে কত ঘণ্টা সময় নেয়?

সমাধান:
ধরি,
A ও B এর গতিবেগ যথাক্রমে 3x ও 4x কিমি/ঘণ্টা
এবং উভয়ের জন্য দূরত্ব = D কিমি

আমরা জানি, 
সময় = দূরত্ব/গতি

∴ A এর সময় = D/3x
∴ B এর সময় = D/4x

প্রশ্নমতে,
D/3x - D/4x = 30 মিনিট
⇒ D/3x - D/4x = 30/60 ঘণ্টা
⇒ (4D - 3D)/12x = 1/2
⇒ D/12x = 1/2
⇒ D = 6x

তাহলে, A এর সময় = D/3x = 6x/3x = 2 ঘণ্টা

প্রশ্ন: যদি একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n কে 18 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 7 থাকে, তাহলে n কে 6 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
এখানে, ভাজ্য = n
ভাজক = 18
ভাগশেষ = 7
ধরি, ভাগফল = q

ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ 
∴ n = 18q + 7
⇒ n = (18q + 6) + 1
⇒ n = 6(3q + 1) + 1

যেহেতু 6(3q + 1) সংখ্যা, 6 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে, তাই ভাগশেষ থাকবে শুধু 1।

∴ n কে 6 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে = 1

প্রশ্ন: যদি P = 5 + √2  হয়, তবে P² এর মান কত?

সমাধান:
P = 5 + √2
∴ P² = (5 + √2)² 
⇒ P² = 5² + 2 . 5 . √2 + (√2)²
⇒ P² = 25 + 10√2 + 2
∴ P² = 27 + 10√2

প্রশ্ন: ৮ জন ছাত্রের গড় বয়স ২০ বছর। প্রথম ২ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৯ বছর এবং পরবর্তী ৩ জন ছাত্রের গড় বয়স ২১ বছর। যদি ৬ষ্ঠ ছাত্রের বয়স ৭ম ছাত্রের চেয়ে ২ বছর কম এবং ৮ম ছাত্রের চেয়ে ৩ বছর কম হয়, তবে ৮ম ছাত্রের বয়স কত?

সমাধান: 
৮ জনের গড় বয়স = ২০ বছর
∴৮ জনের মোট বয়স = ৮ × ২০ = ১৬০ বছর

প্রথম ২ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৯ বছর
∴প্রথম ২ জনের মোট বয়স = ২ × ১৯ = ৩৮ বছর

পরবর্তী ৩ জন ছাত্রের গড় বয়স ২১ বছর
∴ পরবর্তী ৩ জনের মোট বয়স = ৩ × ২১ = ৬৩ বছর

ধরি, ৬ষ্ঠ ছাত্রের বয়স = x বছর
∴ ৭ম ছাত্রের বয়স = x + ২ বছর
∴ ৮ম ছাত্রের বয়স = x + ৩ বছর

প্রশ্নমতে,
মোট বয়স = প্রথম ৫ জনের বয়স + শেষ ৩ জনের বয়স
⇒ ১৬০ = ৩৮ + ৬৩ + x + (x + ২) + (x + ৩)
⇒ ১৬০ =  ১০১ + ৩x + ৫
⇒ ৩x + ১০৬ = ১৬০
⇒ ৩x = ১৬০ - ১০৬
⇒ ৩x = ৫৪
∴ x = ১৮

∴ ৮ম ছাত্রের বয়স = x + ৩ বছর
= ১৮ + ৩ = ২১ বছর

প্রশ্ন: হাসান একটি পণ্য বিক্রি করে ২০% লাভ করে। যদি সে উক্ত পণ্যটি ১০% কম দামে কিনত এবং ৪০% লাভে বিক্রি করত, তাহলে সে ২৪ টাকা বেশি পেত। তাঁর প্রকৃত বিক্রয়মূল্য কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, প্রকৃত ক্রয়মূল্য = x টাকা
∴ ২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = x + x এর ২০%
= x + ২০x/১০০
= ১২০x/১০০
= ১২x/১০
= ৬x/৫

নতুন ক্রয়মূল্য = x − x এর ১০%
= x − ১০x/১০০
= ৯০x/১০০
= ৯x/১০

৪০% লাভে নতুন বিক্রয়মূল্য = (৯x/১০) + (৯x/১০) এর ৪০%
= (৯x/১০) + (৩৬x/১০০)
= (৯০x + ৩৬x)/১০০
= ১২৬x/১০০
= ৬৩x/৫০

প্রশ্নমতে,
নতুন বিক্রয়মূল্য − পূর্ব বিক্রয়মূল্য = ২৪
⇒ ৬৩x/৫০ − ৬x/৫ = ২৪
⇒ (৬৩x - ৬০x)/৫০ = ২৪
⇒ ৩x/৫০ = ২৪
⇒ ৩x = ২৪ × ৫০
⇒ x = (২৪ × ৫০)/৩
∴ x = ৪০০

∴ প্রকৃত বিক্রয়মূল্য = ৬x/৫ = (৬×৪০০)/৫
= ৪৮০ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি ট্রেন দুটি স্টেশন থেকে একসাথে যাত্রা শুরু করে পরস্পরের দিকে রওনা দেয়। স্টেশন দুটি ২০০ কিমি দূরে অবস্থিত। তারা একে অপরকে একটি স্টেশন থেকে ১১০ কিমি দূরত্বে অতিক্রম করে। ট্রেন দুইটির গতিবেগের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = ক কিমি/ঘণ্টা
দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = খ কিমি/ঘণ্টা

প্রথম ট্রেন অতিক্রম করে = ১১০ কিমি
দ্বিতীয় ট্রেন অতিক্রম করে = ২০০ - ১১০ = ৯০ কিমি

যেহেতু উভয় ট্রেন একসাথে শুরু করে এবং একই সময়ে একে অপরকে অতিক্রম করে, অতএব তাদের সময় সমান।

সময় = দূরত্ব/গতি

তাহলে,
১১০/ক = ৯০/খ
⇒ ক/খ = ১১০/৯০
⇒ ক : খ = ১১০ : ৯০
⇒ ক : খ = ১১ : ৯

∴ ট্রেন দুইটির গতির অনুপাত ১১ : ৯

প্রশ্ন: ৫৫০ এর ৯২.৫% সমান কত?

সমাধান:
৫৫০ এর ৯২.৫%
= ৫৫০ × (৯২.৫/১০০)
 = ৫৫০ × (৯২৫/১০০০)
= ৫০৮.৭৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮ এবং লসাগু ২০০। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে = ৫ক এবং ৮ক
∴ ৫x এবং ৮x এর লসাগু = ৪০ক

প্রশ্নানুসারে,
৪০ক = ২০০
⇒ ক = ২০০/৪০
∴ ক = ৫

∴ সংখ্যা দুইটি  হলো ৫ক = ৫ × ৫ = ২৫
এবং ৮ক = ৮ × ৫ = ৪০

প্রশ্ন: 7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান: 
7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে (n - 1)! উপায়ে।
= (7 - 1)! 
= 6!
= 720

প্রশ্ন: যদি m একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, নিচের কোনটি অবশ্যই একটি জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হবে?

সমাধান:
ধরি, m = ৩ (বিজোড় সংখ্যা)

ক) m + ১ = ৩ + ১ = ৪ (জোড়)
খ) m² = ৩² = ৯ (বিজোড়)
গ) ৩m = ৩ × ৩ = ৯ (বিজোড়)
ঘ) m² + m + ১ = ৯ + ৩ + ১ = ১৩ (বিজোড়)

প্রশ্ন: একটি কোম্পানি 'ক' মোট p টাকা লাভ করেছিল। লাভের অর্ধেক কোম্পানির প্রতিষ্ঠাতা পাওয়ার পর বাকি অর্ধেক সমানভাবে তাঁর চারজন অংশীদারের মধ্যে ভাগ করে দেয়া হয়। p-এর হিসেবে, প্রতিটি অংশীদার কত টাকা পেয়েছিলো?

সমাধান:
এখানে, কোম্পানি 'ক' এর মোট লাভ = p টাকা

প্রতিষ্ঠাতা পায় লাভের অর্ধেক  = p/2

∴ বাকি লাভ = (p − p/2) টাকা
= p/2 টাকা

বাকি অংশ 4 জন অংশীদারের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা হয়,
∴ প্রতিজন অংশীদার পায় = (p/2)/4
= (p/2) × (1/4)
= p/8

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রশ্ন: বার্ষিক ৫% মুনাফায় ১৬,০০০ টাকার ২ বছরের সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
মূলধন, P = ১৬০০০ টাকা
সুদের হার, R = ৫%
সময়, T = ২ বছর

সরল মুনাফা, I = (PRT)/১০০
= (১৬০০০ × ৫ × ২)/১০০
= ১৬০০০০/১০০
= ১৬০০ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে,
A = P × {১ + (R/১০০)}^T
= ১৬০০০ × {১ + (৫/১০০)}^২
= ১৬০০০ × (১.০৫)^২
= ১৬০০০ × ১.১০২৫
= ১৭৬৪০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, CI = A − P
= ১৭৬৪০ − ১৬০০০
= ১৬৪০ টাকা

∴ পার্থক্য = ১৬৪০ − ১৬০০ = ৪০ টাকা

প্রশ্ন: ∠P এবং ∠Q পরস্পর পূরক কোণ। যদি ∠P = ২০° + ৪ক এবং ∠Q = ৬ক হয়, তবে ∠Q এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
∠P = ২০° + ৪ক এবং ∠Q = ৬ক

পূরক কোণের ক্ষেত্রে,
∠P + ∠Q = ৯০°
⇒ (২০° + ৪ক) + ৬ক = ৯০°
⇒ ২০° + ৪ক + ৬ক = ৯০°
⇒ ২০° + ১০ক = ৯০°
⇒ ১০ক = ৯০° − ২০°
⇒ ১০ক = ৭০°
∴ ক = ৭°

∴ ∠Q = ৬ × ৭° = ৪২°

প্রশ্ন: যদি log_x(1/125) = - 3 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/125) = - 3
⇒ x^{- 3} = 1/125    [log_a(b) = c  ⇒  a^c = b]
⇒ 1/x³ = 1/125
⇒ x³ = 125
∴ x = 5

প্রশ্ন: একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটা ১০ মিনিটে কত ডিগ্রি কোণ অতিক্রম করে?

সমাধান:
আমরা জানি,
মিনিটের কাঁটা ৬০ মিনিটে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ ১০ মিনিটে অতিক্রান্ত কোণ = (৩৬০ × ১০)/৬০
= ৩৬০০/৬০
= ৬০°

প্রশ্ন: একটি দড়িকে বৃত্তাকারে বাঁকালে তার ব্যাসার্ধ হয় ৭ সেমি। যদি দড়িটিকে একটি বর্গের আকারে বাঁকানো হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৭ সেমি
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৭
= ৪৪ সেমি

ধরি,
বর্গের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সেমি
∴ বর্গের পরিসীমা = ৪ক

এখন,
বৃত্তের পরিধি = বর্গের পরিসীমা
⇒ ৪৪ = ৪ক
⇒ ক = ৪৪/৪ = ১১ সেমি

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = ক² = ১১² = ১২১ বর্গ সেমি