Math Master

প্রশ্ন: x = siny হলে x এর সর্বনিম্ন মান কত?
​
​সমাধান:
আমরা জানি,
​ sin ফাংশনের পরিসর হল - 1 ≤ siny ≤ 1
​এর অর্থ হল siny এর সর্বোচ্চ মান 1 এবং সর্বনিম্ন মান - 1। 

​সুতরাং siny সর্বনিম্ন মান - 1

প্রশ্ন: sin A + cos A = √2 হলে, A এর মান কত হবে?
​
​​সমাধান:
​অপশন টেস্ট করে পাই,
A = ​45° হলে,
​sin 45° + cos 45°
​= (1/√2) + (1/√2)
​= (1 + 1)/√2
​= 2/√2
​= (√2 × √2)/√2
​= √2
​
​∴ A = 45°

প্রশ্ন: sinx = 3/4 হলে, tanx এর মান কত ?
​
​​সমাধান:
​আমরা জানি,
​sin²x + cos²x = 1
​cos²x = 1 - ​sin²x
​= 1 - (3/4)²
​= 1 - (9/16)
​= (16 - 9)/16
​= 7/16
∴ ​cosx =​ √7/4
​
​এখন,
​tanx = sinx/cosx
​= (3/4)/(√7/4)
​= (3/4) × (4/√7)
∴ ​tanx ​= 3/√7

প্রশ্ন:  secA + tanA = 7/3 হলে, secA - tanA=?
​
​​​সমাধান:
​আমরা জানি,
​sec²A - tan²A = 1
⇒ ​(secA - tanA)(secA + tanA) = 1
⇒ ​(7/3)(secA + tanA) = 1
⇒ ​(secA + tanA) = 1/(7/3)
⇒ ​(secA + tanA) = 3/7

প্রশ্ন: 
​
​
​​​​সমাধান:

​

প্রশ্ন: sin²23° + sin²67° = ?
​
​​​​​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​sin²23° + sin²67°
​sin²23° + sin²(90 - 23)°
​= sin²23° + cos²23°
​= 1

প্রশ্ন: cosA secA + 2 এর মান কত?
​
​সমাধান:
 cosA secA  + 2
​= cosA (1/cosA) + 2
​= 1 + 2
​= 3

প্রশ্ন: sec²θ + cosec²θ = ?
​
​সমাধান:
​sec²θ + cosec²θ
​= (1/cos²θ) + (1/sin²θ)
​= (sin²θ + cos²θ)/(cos²θ. sin²θ)
​= 1/(cos²θ. sin²θ)
​= (1/cos²θ). (1/sin²θ)
​= sec²θ. cosec²θ

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 30°) = 1 হয়, তবে θ এর মান কত?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
sin(θ + 30°) = 1
​⇒ sin(θ + 30°) =sin90°
​⇒ θ + 30° = 90°
​⇒ θ = 90° - 30°
​∴ θ = 60°
​
​∴ θ এর মান 60° হবে।

প্রশ্ন: কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?
​
​সমাধান: 
tan90° এর মান = অসংজ্ঞায়িত।

​​অন্যদিকে, 
sin60° এর মান = √3/2,
​cos90° এর মান = 0 
​এবং sec0° এর মান = 1 
​
​

প্রশ্ন: A = 40° হলে cos(3A/2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 40°

এখন,
cos(3A/2)
= cos{(3 × 40°)/2}
= cos60°
= 1/2

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 75 মিটার দূরে ভূমিস্থ একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

চিত্রে,
গাছটির উচ্চতা = AB,
ভূমিস্থ নির্দিষ্ট বিন্দু = O এবং গাছটির শীর্ষবিন্দু = B
∠AOB = 30° এবং OA = 75 মিটার

এখন,
ΔAOB এ-
tan30° = AB/OA
বা, 1/√3 = AB/75
বা, AB√3 = 75
বা, AB = 75/√3
বা, AB = 75√3/(√3.√3)
বা, AB = 75√3/3
∴ AB = 25√3

∴ গাছটির উচ্চতা, AB = 25√3 মিটার।

প্রশ্ন: tanθ = Cotθ হলে θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = Cotθ
⇒ tanθ = 1/tanθ
⇒ tan²θ = 1
⇒ ​tanθ = √1 = 1
​⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: sinA + sin²A = 1 হলে cos²A + cos⁴A = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA + sin²A = 1
বা, sinA = 1 - sin²A
∴ sinA = cos²A

এখন,
cos²A + cos⁴A
= cos²A + (cos²A)²
= cos²A + (sinA)²
= cos²A + sin²A
= sin²A + cos²A
= 1

প্রশ্ন: tan²A = 1/3 হয়, তবে cos^⁡4A + sin⁡⁴A = ?
​
​সমাধান:
দেওয়া আছে,
​tan2A = 1/3
⇒ tanA = 1/√3 = tan30°
​∴ A = 30°
​
​প্রদত্ত রাশি,
​ cos⁡⁴A + sin⁡⁴A 
​= cos⁡⁴30° + sin⁡⁴30°
​= (√3/2)⁴ + (1/2)⁴
​= (9/16) + (1/16)
​= (9 + 1)/16
​= 10/16
​= 5/8

প্রশ্ন: sec2θ = 2/√3 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
sec2θ = 2/√3
⇒ sec2θ = sec30°
⇒  2θ = 30°
⇒  θ = 30°/2
∴ θ = 15°