Math Master

প্রশ্ন: ২৫২০ টাকা রনি, জনি ও অমির মধ্যে ১ : ২ : ৩ অনুপাতে ভাগ করে দিলে জনি কত টাকা পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রনি : জনি : অমি = ১ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ৩
= ৬

∴ জনি পাবে = ২৫২০ × (২/৬)
= ৮৪০ টাকা

প্রশ্ন: ২০০ এর (১/২)% এর সাথে ১০০ যোগ করলে সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
২০০ এর (১/২)% + ১০০
= ২০০ এর (১/২) × (১/১০০) + ১০০
= (২০০/২) × (১/১০০) + ১০০
= ১ + ১০০
= ১০১

প্রশ্ন: প্রতি ডজন ডিম ৪৮ টাকায় ক্রয় করে প্রতি কুড়ি কী দরে বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
 আমরা জানি,
১ ডজন = ১২ টি
১২ টি ডিমের ক্রয়মূল্য = ৪৮ টাকা
∴ ২০ টি ডিমের ক্রয়মূল্য = (৪৮ × ২০)/১২ টাকা
= ৮০ টাকা

২৫% লাভে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা
= ১২৫ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২৫ × ৮০)/১০০ টাকা
= ১০০ টাকা

প্রশ্ন: ৫১৭ টাকাকে ৫ : ৪ : ২ অনুপাতে ভাগ করলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের সমষ্টি কত টাকা?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৪ + 2)
= ১১
বৃহত্তম অংশ = ৫১৭ এর ৫/১১
= ২৩৫ টাকা
ক্ষুদ্রতম অংশ =  ৫১৭ এর ২/১১
= ৯৪ টাকা

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = (২৩৫ + ৯৪) টাকা
= ৩২৯ টাকা

প্রশ্ন: x + y = 2 এবং x² + y² = 4 হলে x³ + y³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 2
x² + y² = 4

এখন,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ 2xy = (x + y)² - (x² + y²)
⇒ 2xy = (2)² - 4
∴ xy = 0

প্রদত্ত রাশি = x³ + y³
= (x + y)³ - 3xy (x + y)
= (2)³ - 3 . 0 . 2
= 8

প্রশ্ন: (1 + √7) ও (1 - √7) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনে করি,
মূলদ্বয়, α = 1 + √7 এবং β = 1 - √7
মূলদ্বয়ের যোগফল, α +  β = 1 + √7 + 1 - √7
∴ α +  β = 2

মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = (1 + √7) . (1 - √7)
= (1)² - (√7)²
= 1 - 7
∴ αβ = - 6

∴ নির্ণেয় সমীকরণ x² - (α +  β) x + αβ = 0
বা, x² - 2x - 6 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x² - 2x - 6 = 0

প্রশ্ন: 1 + 6 + 11 + ................... + 96 সমান্তর ধারাটির যোগফল কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 1 = 5
পদ সংখ্যা, n = {(96 - 1)/5} + 1
= (95/5) + 1
= 20

∴ 20 তম পদের সমষ্টি = (20/2) × {2a + (n - 1)d}
= 10 × {(2 × 1) + (20 - 1) × 5}
= 10 × {2 + (19 × 5)}
= 10 × ( 2 + 95)
= 10 × 97
= 970

প্রশ্ন: একজন দালালের কমিশনের হার ৪% থেকে ৫% এ বৃদ্ধি পেলেও আয় অপরিবর্তিত থাকে। ব্যবসা শতকরা কত কমে গিয়েছে?

সমাধান: 
মনে করি,
ব্যবসায় টাকার পরিমাণ ১০০
∴ কমিশন = (১০০ × ৪%) = ৪ টাকা

আবার,
ধরি, ব্যবসায় নতুন টাকার পরিমাণ m
কমিশন = (m × ৫%) = m/২০ টাকা

প্রশ্নমতে,
 m/২০ = ৪
বা, m = ৮০ টাকা

∴ ব্যবসায় টাকা কমেছে = (১০০ - ৮০) টাকা
= ২০ টাকা

প্রশ্ন: 1 থেকে 30 পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
1 থেকে 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো 2, 3 , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
অর্থাৎ 1 থেকে 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 10 টি
1 থেকে 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা নয় = (30 - 10) টি
= 20 টি

∴  মৌলিক সংখ্যা না হবার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 20/30
= 2/3

প্রশ্ন: x⁴ - 5x³ + 7x² - a বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে a এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - a
যেহেতু, (x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।
∴ x - 2 = 0
⇒ x = 2

∴ x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখানে,
f(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - a
∴ f(2) = 2⁴ - 5 . (2)³ + 7 . (2)² - a
= 16 - 40 + 28 - a
= 4 - a

শর্তমতে,
f(2) = 0
∴ 4 - a = 0
a = 4

প্রশ্ন: {(a - b)/ab}+ {(b - c)/bc} + {(c - a)/ca} = কত?

সমাধান: 
{(a - b)/ab}+ {(b - c)/bc} + {(c - a)/ca}
= (ac - bc + ab - ac + bc - ab)/abc
= 0/abc
= 0

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 4 বেশি। ভগ্নাংশটি বর্গ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তার হর, লব অপেক্ষা 40 বেশি হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
x লব হলে, হর = x + 4

ভগ্নাংশের বর্গ = {x/(x + 4)}²
= x²/(x² + 8x + 16)

প্রশ্নানুসারে,
x² + 8x + 16 = x² + 40
বা, x = 3

∴ হর = 7
ভগ্নাংশটি = 3/7

প্রশ্ন: x ≤ (x/4) + 3 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
x ≤ (x/4) + 3 
⇒ 4x ≤ x + 12
⇒ 3x ≤ 12
∴ x ≤ 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x ≤ 4}

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 210টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
মোট উপস্থিত = n জন
মোট করমর্দন = ⁿC₂

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 210
⇒ n(n - 1)/1 × 2 = 210
⇒ n² - n = 420
⇒ n² - n - 420 = 0
⇒ n² - 21n + 20n - 420 = 0
⇒ n (n - 21) + 20(n - 21) = 0
⇒ (n - 21) (n + 20) = 0

হয়, n - 21 = 0
∴ n = 21

অথবা, n + 20 = 0
∴ n = - 20
যা গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা জনসংখ্যা কখনও ঋণাত্বক হতে পারে না।

∴ মোট উপস্থিত 21 জন।

প্রশ্ন: 5x যদি 20 থেকে 5 বেশি হয়, তাহলে 2x - 2 = কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
5x - 5 = 20
⇒ 5x = 25
∴ x = 5

∴ 2x - 2 = (2 × 5) - 2
= 10 - 2
= 8

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র অনুসারে (A ∩ B) ∪ C এর মান নিচের কোনটি?
 


সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে পাই,
A = {2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7}
C= {5, 6, 8}

এখন,
A ∩ B = {2, 3, 4, 5} ∪ {4, 5, 6, 7}
= {4, 5}

∴ (A ∩ B) ∪ C = {4, 5} ∪ {5, 6, 8}
= {4, 5, 6, 8}

প্রশ্ন: tanθ = - 1 এবং sinθ = - 1/2 হলে, cosec(- θ) - 2cot(- θ) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = - 1
sinθ = - 1/2

এখন,
cosec(- θ) - 2cot(- θ)
= - cosecθ - 2(- cotθ)
= - 1/sinθ + 2cotθ
= -1/sinθ + 2 (1/tanθ)
= - 1/(- 1/2) + 2 (1/ -1)
= 2 - 2
= 0

প্রশ্ন: m - 5 = 7/m হলে (m² - 5m - 6)^-1 এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
m - 5 = 7/m
বা, m² - 5m = 7

প্রদত্ত রাশি = (m² - 5m - 6)^-1
= 1/(m² - 5m - 6)
= 1/( 7 - 6)
= 1/1
= 1

প্রশ্ন: নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে?

সমাধান: 
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4.  যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: 2 × (2²)^{x + 3} = 256 হলে x = কত?

সমাধান:
 2 × (2²)^{x + 3} = 256
⇒ 2^{1 + 2x + 6}  = 2⁸
⇒ 2^{2x + 7} = 2⁸
⇒ 2x + 7 = 8
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির নিকট যাকাতের ৫০০ টাকা আছে। কিছু সংখ্যক লোকের প্রত্যেককে ৮ টাকা করে দিলে ১০০ টাকা কম পরে। লোকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
লোকের সংখ্যা = ক জন
প্রশ্নমতে,
৮ক - ১০০ = ৫০০ 
বা, ৮ক = ৬০০
∴ ক = ৭৫

∴ লোকের সংখ্যা = ৭৫ জন।

প্রশ্ন: বার্ষিক মুনাফা 8% বেড়ে 10% হওয়ায় কবির 6 বছরে 180 টাকা বেড়ে গেল। তার মূলধন কত ছিল?

সমাধান:
এখানে,
মুনাফার হার, r = (10 - 8)% = 2%
মুনাফা, I = 180
সময়, n = 6 বছর

আমরা জানি,
I = Pnr
⇒ P = I/nr
⇒ P = (180 × 100)/(2 × 6)
∴ P = 1500 

∴ মূলধন = 1500 টাকা

প্রশ্ন: 1 + 1/2 + 1/4 + ............ ধারাটির প্রথম 7টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1 = 1/2 < 1
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a (1 - rⁿ)/1 - r
7 টি পদের সমষ্টি = a × (1 - r⁷)/(1 - r)
= 1 × {1 - (1/2)⁷}/{1 - (1/2)}
= (1 - 1/128)/{(2 - 1)/2}
= (127/128)/(1/2)
= (127/128) × 2
= 127/64

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি কক্ষের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মি. 20 মি. 25 মি. হলে এর ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a = 15 মি. B = 20 মি. C = 25 মি.
পরিসীমা, 2s = (15 + 20 + 25) মি.
বা, s = 60/2 মি. = 30 মি.

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a) (s - b) (s - c)}
= √{30 (30 - 15) (30 - 20) (30 - 25)} বর্গমিটার
= √(30 x 15 x 10 x 5) বর্গমিটার
= √22500 বর্গমিটার
= 150 বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = 150/2 বর্গমিটার
= 75 বর্গমিটার

প্রশ্ন: 3 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোন বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরত্বের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:

মনে করি, 
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ব্যাসার্ধ, OA = 3 সে.মি.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে দূরত্ব, OB = 5 সে.মি.
যেহেতু, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও স্পর্শক পরস্পর লম্ব।

∴ ΔOAB হতে পাই,
OB² = OA² + AB²
⇒ AB² = OB² - OA²
⇒ AB² = 5² - 3²
⇒ AB² = 25 - 9
⇒ AB = √16
∴ ⇒ AB = 4

∴ অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = 4 সে.মি.

প্রশ্ন: x² - 6x + 5 = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 হলে মূলদ্বয়ের পার্থক্য কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, x² - 6x + 5 = 0
একটি মূল 5
ধরি,
অপর মূল α

মূলদ্বয়ের সমষ্টি, α + 5 = - (- 6/1)
⇒ α + 5 = 6
⇒ α = 1
∴ অপর মূল = 1

মূলদ্বয়ের পার্থক্য = 5 - 1 = 4

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যাতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 2 ডিগ্রী হলে ক্ষুদ্রতম কোণ কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = x
অপর সূক্ষ্মকোণ = x + 2

প্রশ্নমতে,
x + x + 2 = 90°
⇒ 2x + 2 = 90°
⇒ 2x = 88°
∴ x = 44°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 44°

প্রশ্ন: a² - b² - c² - 2bc এবং b² - c² - a² - 2ca রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = a² - b² - c² - 2bc
= ‍a² - (b² + 2bc + c²)
= a² - (b + c)²
= (a + b + c) (a - b - c)

২য় রাশি = b² - c² - a² - 2ca 
= b² - (a² + 2ac + c²)
= b² - (a + c)²
= (a + b + c) (b - a - c)

∴ প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক (a + b + c)

প্রশ্ন: ΔPQR -এ ∠Q = 90° হলে sin²P + sin²R = ?

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যানুসারে,
∠Q = 90°
∴ P + R = 90°
বা, P = 90° - R
বা, sinP = sin(90° - R)
বা, sinP = cosR

∴ sin²P + sin²R
= cos²R + sin²R
= 1

প্রশ্ন: ৬০ জন শ্রমিক কোনো কাজ ১৪ দিনে সম্পূর্ণ করতে পারে। কাজ শুরু করার ৮ দিন পর ৪২ জন শ্রমিক চলে গেলে বাকি শ্রমিক কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
যেহেতু, কাজ শুরু করার ৮ দিন পর ৪২ জন শ্রমিক চলে যায়।
∴ অবশিষ্ট শ্রমিক = (৬০ - ৪২) জন
= ১৮ জন

∴ অবশিষ্ট দিন = (১৪ - ৮) দিন
= ৬ দিন

৬০ জনে কাজটি সম্পূর্ণ করে = ৬ দিনে
∴ ১ জনে কাজটি সম্পূর্ণ করে = (৬০ × ৬) দিনে
∴ ১৮ জনে কাজটি সম্পূর্ণ করে = (৬০ × ৬)/১৮ দিনে
= ২০ দিন

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 146 এবং বর্গের যোগফল 333 হলে, সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাদ্বয়  x ও y

১ম শর্তমতে,
xy = 146
২য় শর্তমতে,
x² + y² = 333

এখন,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (x + y)² = 333 + (2 × 146)
⇒ (x + y)² = 333 + 292
⇒ (x + y)² = 625
⇒ x + y = √625
∴ x + y = 25

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 25

প্রশ্ন: 3x + 3/x = 6 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 3/x = 6
বা, 3(x + 1/x) = 6
বা, x + 1/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

প্রশ্ন: log 3+log9+log27+.......... ধারাটির ১ম 19 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
log3 + log9 + log27 + ...........+ 19তম পদ
= log3 + log3² + log3³ + ........+ 19তম পদ
= log3 + 2log3 + 3log3 + ............+ 19log3
= (1 + 2 + 3+.............+19)log3
= 19(19 + 1)/2 log3 [n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2]
= 190 log3

প্রশ্নঃ সমাধান করুনঃ ∛(1 + a) + ∛(1 - a) = ∛2

সমাধানঃ
 ∛(1 + a) + ∛(1 - a) = ∛2
⇒ {∛(1 + a) + ∛(1 - a)}³ = (∛2)³ [ ঘন করে ]
⇒ {∛(1 + a)}³ + {∛(1 - a)}³ + 3 . ∛(1 + a) . ∛(1 - a) . {∛(1 + a) + ∛(1 - a)} = 2    
⇒ 1 + a + 1 - a + 3 . (1 + a)^1/3 . (1 - a)^1/3 {∛2} = 2    [ যেহেতু,  ∛(1 + a) + ∛(1 - a) = ∛2]
⇒ 2 + 3 (1 + a)^1/3 . (1 - a)^1/3 .  2^1/3 = 2
⇒ 3 (1 + a)^1/3 . (1 - a)^1/3 .  2^1/3 = 0
⇒ (1 + a)^1/3 . (1 - a)^1/3 = 0
⇒ (1 + a) (1 - a) = 0

হয়, 1 + a = 0
বা, a = - 1

অথবা, 
1 - a = 0
বা, a = 1

∴ a = 1, -1

প্রশ্ন:   
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে x এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে,
বৃত্তস্থ কোণ ∠BAD = (1/2) ∠BOD
= (1/2) × 104°
∴ ∠BAD = 52°

∠BAD এবং ∠BCD বা x হলো বৃত্তস্থ চর্তুভূজের বিপরীত কোণ।
তাহলে, ∠BAD + ∠BCD = 180°
⇒ 52° + x = 180°
⇒ x = 180° - 52°
∴ x = 128°

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি অপেক্ষা অতিভুজ 3 সে.মি. বড়, কিন্তু লম্ব, ভুমি অপেক্ষা 3 সে.মি. ছোট হলে ত্রিভুজটির লম্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের ভূমি = x সে.মি.
ত্রিভুজের লম্ব = (x - 3) সে.মি.
ত্রিভুজের অতিভুজ = (x + 3) সে.মি.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
 x² + (x - 3)² = (x + 3)² 
বা, x² + x² - 6x + 9 = x² + 6x + 9
বা, 2x² - 6x + 9 - x² - 6x - 9 = 0
বা, x² - 12x = 0
বা, x(x - 12) = 0

হয়, x = 0 [গ্রহণ যোগ্য নয়, কেননা অতিভুজ কখনও 0 বা ঋণাত্বক হতে পারে না]

অথবা, x - 12 = 0
∴ x = 12

ত্রিভুজের লম্ব = (x - 3) সে.মি.
= (12 - 3) সে.মি.
= 9 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে দুইটি তাস নিলে তাস দুইটি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক প্যাকেটে তাস থাকে = 52 টি
মোট রাজা থাকে = 4টি
4টি রাজা থেকে 2টি রাজা নেওয়া যায় = ⁴C₂ = 6
52টি তাস থেকে 2টি তাস নেওয়া যায় = ⁵²C₂ = 1326

∴ সম্ভাবনা = 6/1326 = 1/221