প্রাইমারি ডেইলি কুইজ

প্রশ্ন: ৪, ৫, ৬, ৭, ৮ এবং ৯ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে একক স্থানীয় অংকটি ৫ হতে হবে।
৫ ব্যতীত আর অঙ্ক থাকে ৫টি এবং ঘর বাকি থাকে (৬ - ১) = ৫টি

১ম ঘর সাজানো যাবে ৫টি অঙ্ক দিয়ে
২য় ঘর সাজানো যাবে ৪টি অঙ্ক দিয়ে
৩য় ঘর সাজানো যাবে ৩টি অঙ্ক দিয়ে
৪র্থ ঘরে থাকবে শুধুমাত্র ৫ অর্থাৎ ১টি অঙ্ক

∴ মোট সংখ্যা হবে = (৫ × ৪ × ৩ × ১) টি
= ৬০টি

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় মোট ৬টি বিষয়ের উপর পরীক্ষা হয়। কোন পরীক্ষার্থী সেই পরীক্ষায় কত উপায়ে ফেল করতে পারবে?

সমাধান:
পরিক্ষার্থী পরীক্ষায় ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬ এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক উপায়ে ফেল করতে পারে।

∴ মোট ফেলের উপায় = ^৬C_১ + ^৬C_২ + ^৬C_৩ + ^৬C_৪ + ^৬C_{৫ +} ^৬C_৬
= (৬ + ১৫ + ২০ + ১৫ + ৬ + ১)
= ৬৩

প্রশ্ন: ¹²P_r = 1320 হলে r এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
¹²P_r = 1320
⇒ 12!/(12 - r)! = 10 × 11 × 12
⇒ (12 - r)! × 10 × 11 × 12 = 12!
⇒ (12 - r)! = (12 × 11 × 10 × 9!)/(10 × 11 × 12)
⇒ (12 - r)! = 9!
⇒ (12 - r) = 9
⇒ r = 12 - 9
∴ r = 3

প্রশ্ন: 16 বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 16

∴ কর্ণের সংখ্যা = ⁿC₂ - n
= ¹⁶C₂ - n
= {16!/2!(16 - 2)!} - 16
= {(16!/2!) × 14!} - 16
= 120 - 16
= 104

প্রশ্ন: ১, ২, ৩, ৪ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ৩০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
যদি সংখ্যাটি ৩০০০ অপেক্ষা বড় হয় তবে প্রথম অঙ্কটি অবশ্যই ৩ অথবা ৪ হতে হবে।

প্রথম অঙ্কটি ৩ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

অনুরূপভাবে,
প্রথম অঙ্কটি ৪ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

∴ ৩০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা যায় = (৬ + ৬)টি
= ১২টি

প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্যে 4 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে নিদির্ষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট পুস্তক, n = 10
সর্বদা বাদ থাকবে, m = 2
এবং প্রতিবার নিতে হবে, r = 4

∴ বাছাই করার উপায় = ^{n - m}C_r = ^{(10 - 2)}C₄
= ⁸C₄
= 8!/4!(8 - 4)!
= 8!/(4! × 4!)
= 70

প্রশ্ন: 'QUESTION' শব্দটি হতে প্রতিবারে 4 টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
'QUESTION' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 8টি

∴ 'QUESTION' শব্দটির 4টি করে বর্ণ নিয়ে সাজানোর উপায় = ⁸P₄
= 8!/(8! - 4!)
= 8!/4!
= 1680

প্রশ্ন: 'LEMON' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
LEMON' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5টি,
স্বরবর্ণ আছে = 2টি।
LEMON' শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

1টি উপাদানের বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাদান সংখ্যা
= 120/5
= 24

∴ 2টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (24 × 2) = 48টি

সুতরাং , 48টি বিন্যাসের শুরুতে স্বরবর্ণ থাকবে।

প্রশ্ন: 'ABILITY' শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
'ABILITY' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 7 টি
I আছে = 2 টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= 2520

∴ 'ABILITY' শব্দটির সব বর্ণ একত্রে নিয়ে 2520 প্রকারে সাজানো যায়।