প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: রশ্মির প্রান্তবিন্দু কয়টি?

সমাধান:
• রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।

রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য ৫ মিটার হলে, ঘনকটির তলগুলোর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য, a = ৫ মিটার

আমরা জানি,
ঘনকের তলগুলোর ক্ষেত্রফল = ৬a^২ বর্গমিটার
= ৬ × ৫^২
= ৬ × ২৫
= ১৫০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ২৬০° কোণটি হলো -

সমাধান:
৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ২৬০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)² =16πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr² - πr² = 15πr²
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘরের প্রস্থ = ক মিটার

তাহলে,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
ঘরের ক্ষেত্রফল = ক × ২ক
= ২ক^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
২ক^২ = ৩৩৮
বা, ক^২ = ৩৩৮/২
বা, ক^২ = ১৬৯
∴ ক = ১৩ মিটার

∴ পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (২ক + ক)
= ২ × ৩ক
= ৬ক
= ৬ × ১৩
= ৭৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজে কয়টি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়?

সমাধান:
• বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।

প্রশ্ন: ABCD সামন্তরিকের AB = 15 সে.মি. এবং D বিন্দু থেকে AB এর লম্ব দূরত্ব 7 সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 15 × 7
= 105 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের কতটি প্রতিসাম্য রেখা আছে?

সমাধান:

যদি কোনো সরলরেখা বরাবর কোনো চিত্র ভাঁজ করলে তার অংশ দুইটি সম্পূর্ণভাবে মিলে যায় সেক্ষেত্রে সরলরেখাটিকে প্রতিসাম্য রেখা বলা হয়।
∴ একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিসাম্য রেখা আছে ৩টি।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি., ৪০ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ২০ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল-

সমাধান:
য়ামরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (২৪ + ৪০) × ২০
= (১/২) × ৬৪ × ২০
= ৬৪০ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা= n(n - 3)/2

∴ আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণ আছে = 8(8 - 3)/2 = 20 টি

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ৪ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটি কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক
বৃহত্তম কোণ = ক + ৪°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৪° = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪°
⇒ ক = ৮৬°/২
∴ ক = ৪৩°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 10 সে.মি. এবং 8 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি কত?

সমাধান;
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ² = ভুমি² + লম্ব²
⇒ 10² = 8² + লম্ব²
⇒ লম্ব² = 100 - 64
⇒ লম্ব² = 36
∴ লম্ব = 6 সে.মি.

∴ অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি = 10 + 6 = 16 সে.মি.

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ১০০° হলে, বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ তার কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১০০° হলে, বৃত্তস্থ কোণ হবে = ১০০°/২
= ৫০°

প্রশ্ন: চতুর্ভূজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণ সমদ্বিখন্ডিত করলে সেই চতুর্ভূজকে কী বলে?

সমাধান:
রম্বস: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোন কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতির জমির ভূমির পরিমাপ ৫০ মিটার এবং উচ্চতা ৩০ মিটার। জমিটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমির পরিমাপ = ৫০ মিটার
উচ্চতা = ৩০ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ৫০ × ৩০
= ২৫ × ৩০
= ৭৫০ বর্গমিটার

∴ জমিটির ক্ষেত্রফল ৭৫০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৪ মিটার। ১৬ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১৬ কিলোমিটার = ১৬০০০ মিটার

৪ মিটার গেলে ঘুরে = ১ বার
∴ ১ মিটার গেলে ঘুরে = ১/৪ বার
∴ ১৬০০০ মিটার গেলে ঘুরে = (১ × ১৬০০০)/৪ বার
= ৪০০০ বার

প্রশ্ন: ৬০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ৫০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের মাঝখান দিয়ে আড়াআড়ি ৪ মিটার চওড়া দুইটি রাস্তা আছে। রাস্তা দুইটির মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৬০ × ৪) বর্গমিটার
= ২৪০ বর্গমিটার

প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৫০ - ৪) × ৪ বর্গমিটার
= ৪৬ × ৪ বর্গমিটার
= ১৮৪ বর্গমিটার

রাস্তা দুইটির মোট ক্ষেত্রফল = (২৪০ + ১৮৪) বর্গমিটার
= ৪২৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ৪৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৪৫° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৪৫°
= ৪৫°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৫ : ৮ হলে, ত্রিভুজটি হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের একটি কোণ যদি অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৫ : ৮

এখানে,
৩ + ৫ = ৮
অর্থাৎ, দুইটি কোণের সমষ্টি তৃতীয় কোণের সমান।

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

প্রশ্ন: রম্বসের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?

সমাধান:
• রম্বসের বৈশিষ্ট্য:
- রম্বসের প্রত্যেকটি বাহুই সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় অসমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০°।